资源简介

1.4 线段垂直平分线与角平分线（第2课时 角平分线的性质）
教学设计
1.教学内容
本节选自苏科版2024八年级数学上册第1章《三角形》中“1.4 线段垂直平分线与角平分线（第二课时）”，核心知识点为角平分线的性质及其逆定理。通过折纸操作与图形构建，让学生理解并掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”，并能运用该定理解决简单几何证明与计算问题。
2.内容解析
本节以折纸画出 的平分线为引入，结合构造垂线段的方法，启发学生发现：角平分线上的点到角两边的距离相等，且若一点到角两边距离相等，则该点必在角平分线上。通过探索—猜测—证明的活动，学生在体会轴对称特性的同时，形成对角平分线本质的深刻理解，并发展几何推理能力与空间观念。教学重点是角平分线性质定理及其逆定理，难点在于利用辅助线（垂线段）完成严谨的几何推导。
1.教学目标
经历探索角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念。
掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明。
通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力。
2.目标解析
通过操作折纸与构造垂线段，学生能直观感受到角平分线保持对称的几何特征，完成目标1。
利用“角平分线上的点到角两边等距”及其逆命题的论证与应用，学生加深对定理与证明的理解，完成目标2。
在探索与归纳的过程中，学生推理能力与综合思维得到强化，完成目标3。
学生已具备基本的几何初步知识，对线段垂直平分线已有了解，但对角平分线的性质需要进一步挖掘、论证与应用。学生易在构造辅助线及判定过程中出现思路中断，需通过折纸演示与引导归纳来理解角平分线与等距性的关联。
创设情景，引入新课
“在一张薄纸上画 ，然后对折这张纸，使折痕恰好将平分，折痕即为这只角的角平分线。”
如图：
【师生活动】
o 教师：请同学们动手折一折，观察角平分线与角的关系。
o 学生：动手实践，用纸的折痕初步感受“角平分线”等距离的特点。
【设计意图】
通过与日常生活或工程问题相联系，激发学生兴趣。
结合“折纸”活动，回顾并强化学生对几何中“对称”与“等距离”的认知，顺势引出本节课要研究的角平分线性质。
探究点1：角平分线的性质定理
问题引入：“角平分线上的任意一点 到角的两边的距离有什么关系？如何证明？”
证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB，
∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °.
∵OP是∠AOB的角平分线
∴∠COP＝∠DOP
在△COP和△DOP中，
∴ △PCO ≌△PDO(AAS).
∴PC＝PD.
因此可得：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
用符号语言表述：
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD
（角平分线上的点 到角两边的距离相等）.
用途：证明线段相等.
【师生活动】
教师演示：在几何软件或黑板图中标出“角平分线”上的一个任意点，分别向两边作垂线并度量长度。
学生观察度量结果，发现确实相等，加深对定理的理解。
探究点2：角平分线性质定理的逆定理
问题引入：“如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？”
证明：连接OQ．
∵QC⊥OA，QD⊥OB，
∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°．
在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中，
∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)．
∴ ∠COQ∠DOQ．
∴ 点Q在∠AOB 的平分线上．
因此可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
用符号语言表述：
∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB，
∴点Q在∠AOB的平分线上 .
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）.
用途：确定点在角平分线上，即可以判定角平分线.
典例分析
例1如图， 的角平分线 相交于点 。求证：点 在 的平分线上。
证明：过点 作 ，垂足分别为 。
平分 ，点 在 上，且
同理可得
在 的平分线上。
归纳总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
例2利用网格画图：
（1）在 上找一点 ，使 到 和 的距离相等；
（2）在射线 上找一点 ，使
例3如图， 是 的角平分线，，垂足为 。求证： 垂直平分 .
证明：
点 在 的垂直平分线上
垂直平分
【设计意图】
分层次探究：分别在“定理的正向应用”与“定理的逆向应用”中，引导学生理解所需的辅助线画法和全等判定。
通过上述典例问题与图形操作，不仅能帮助学生加深对角平分线性质定理的记忆与应用，还能培养学生的推理能力与数学表达能力，为后续综合题目的学习打下坚实基础。
讨论交流
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？
解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，
垂足分别为M，N．
∵尺的宽度相等，
∴PM＝PN．
在Rt△OPM 和Rt△OPN 中，
∴ Rt△OPM≌Rt△OPN (HL)．
∴ ∠POM＝∠PON．
∴ OP平分∠AOB．
1.如图，判断 的外角 、 的平分线的交点是否在 的平分线上，并证明你的结论。
解： 的外角平分线的交点在 的平分线上。
证明：如图，、 的平分线 、 交于点 。过 点作 ，，，垂足分别为 ，，。
点 在 的平分线上，，，
。
同理 。
。
，，
点 在 的平分线上 。
2. 如图，在 中，，点 在 上，，，垂足分别为 、，且 。求证： 是 的中点。
证明：连接 。
，，且 ，
是 的平分线，
。
在 和 中，
。
是 的中点。
3. 如图， 的平分线与 的垂直平分线相交于点 ，，，垂足分别为 ，。求证：。
证明：
为 的角平分线上的一点，，，
。
为 的垂直平分线上的一点，
。
在直角三角形 和直角三角形 中，
。
【设计意图】上述三道练习题紧密围绕“角平分线性质及其逆定理”展开，通过不同几何元素的组合与综合运用，帮助学生进一步熟悉、掌握判定与性质定理在几何证明中的应用策略。同时训练学生作辅助线、识别直角三角形、验证线段长度相等的综合能力，为后续学习打下坚实的推理基础。
1.通过折纸操作与观察，学生直观感受到角平分线体现的轴对称性，并在“动手—观察—总结”中逐步加深对轴对称及角平分线核心性质的认识。
2.在探究“角平分线上的点到角两边距离相等”与“到角两边距离相等的点必在角平分线”这两条性质定理（及其逆定理）的过程中，学生经历“实验—猜想—论证”的推理过程，掌握了核心几何结论及应用方法。
3.借助典型例题与思维拓展，让学生认识到三角形角平分线的应用价值，加深对“点到边垂线段相等即在平分线”这一思路的理解，进一步提升几何推理和综合运用的能力。
【设计意图】引导学生在几何直观与推理论证之间建立联系，突出角平分线的轴对称特性，帮助学生形成系统的空间观念与逻辑思维。
1.标题：1.4 线段垂直平分线与角平分线（第2课时）
2.操作引入（折纸画角平分线，激发直观认识）
3.（1）性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等
（2）逆定理：到角两边距离相等的点必在角平分线上
4.例题：
5.课堂小结：归纳“一个点、两距离、两条垂线段”的主要思路
1. 基础练习：完成课本相应习题中与“角平分线性质定理及逆定理”相关的题目，巩固“判断某点是否在角平分线”以及“利用距离相等判定角平分线”的方法。
2. 拓展思考：课本习题或资料卷中关于“角平分线与其他几何元素组合应用”的综合题2～3道，要求学生在作图过程中主动寻找辅助线，深化对定理应用范围与条件的认识。
3. 探究实践：尝试用折叠方法在实际物体上确认“角平分线上的点到角两边的距离相等”的现象，并用照片或图示简要记录操作过程与结论。
本节课在目标达成度方面，学生对角平分线性质定理及其逆定理已有初步理解，通过示范性的折纸操作和几何画图让学生感受到角平分线与轴对称的关联，帮助他们直观掌握了定理的核心内涵。与此同时，绝大部分学生能够运用“距离相等”与角平分线“判定”间的逻辑关系处理简单的几何证明问题，基本达成了概念理解目标。然而，由于几何论证需要多步推理，有部分学生在构造辅助线时还是缺乏灵活性，对一些更复合的几何结构不够熟悉，需要进一步训练。今后教学中，我计划增加合作探究环节，引导学生小组讨论多种辅助线的做法，互相启发，提升解决新情境下问题的能力。同时，在练习设计上，也会注重由易到难、循序渐进地培养学生的推理素养。

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