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21.3实际问题与一元二次方程第三课时教学设计
1.教学内容
本课时是人教版九年级上册第二十一章一元二次方程，21.3实际问题与一元二次方程第三课时，内容为封面设计问题模型。
2.内容解析
本节课讨论是以封面设计为问题情境，建立一元二次方程模型。这类问题在现实世界中也有许多原型，本节中讨论的是已知封面及正中央矩形的长宽比都是9: 7，由此可以推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9∶7，这一关系在解决问题中是很重要的，根据它可以合理地设未知数，问题中方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，必须根据它们值的大小，来确定哪个更合乎实际，这种取舍更多地要考虑问题的实际意义，这是检验数学模型的解是否符合实际的过程。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：分析实际问题中的数量关系，合理地设未知数列一元二次方程及检验数学模型的解是否符合实际。
1.教学目标
(1)能根据以封面设计问题情境，讨论封面设计的问题的数量关系列一元二次方程并求解，能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理。
(2)学生通过在独立思考、解决问题的基础上进行合作讨论，用一元二次方程解决身边的问题。
(3)在分析解决问题的过程中更深入地体会一元二次方程的应用价值，体会应用数学知识的价值，提高学生学习数学的兴趣。
2.目标解析：
（1）通过以封面设计为问题情境，讨论封面设计问题中的数量关系，正确地分析问题中的数量关系，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，合理地设未知数是建立一元二次方程模型的关键。
（2）在分析解决问题的过程中，学生通过独立思考、解决问题的基础上进行合作讨论，能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理。
（3）根据具体问题的实际意义，体会一元二次方程的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。
本节课进一步以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决封面设计实际问题，问题中的数量关系更复杂些，目的是使学生更深入地认识一元二次方程与现实生活的联系性，加强建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。分析实际问题中的数量关系，合理地设未知数列一元二次方程，注意让学生经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程，应用数学知识解决实际问题。在于如何找出问题中的数量关系，正确地分析问题中的数量关系，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，是建立一元二次方程模型的主要难点。
根据以上分析，本课的教学难点正确地分析问题中的数量关系，合理地设未知数建立一元二次方程模型。
创设情景，引入新课
前面我们学习了流感病毒两轮的传播、平均变化率模型解决实际问题，本节讨论以封面设计问题情境，合理地设未知数列一元二次方程问题模型解决实际问题。
(设计意图：提出问题引入新课)
探究点1 封面设计
探究 要设计一本书的封面,封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位)
追问1：这本书的封面的长宽之比是多少？封面中央的矩形的长宽之比是？
封面的长宽之比是,中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。
追问2：正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？
设中央的矩形的长和宽分别是和,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是。
追问3：如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，怎样设置未知数，建立方程比较方便？可以列出什么方程？
设上、下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为，则的中央的矩形长为宽，依题意可得。
追问4：解出方程的解，怎样检验是否符合实际？
解方程，得，即.
当时，上、下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为，符合题意；
当时，上、下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为，不符合题意。
(活动方法：通过追问的形式激发学生思考，引导学生先独立思考怎样合理地设未知数建立方程，然后再交流，在检验中要充分考虑是否符合实际.教师相机指导，最后写出解题过程.)
思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题 请你试一试.
(活动方法：让学生先独立思考完成，然后再交流，学生尝试用多种方法解决问题.)
预设：学生比较多用的方法是设中央矩形的长、分别为，，列方程.
(设计意图：尝试用多种方法解决问题)
典例分析
例1．如图，一幅长，宽的图案中有一横两竖的彩条，横彩条与竖彩条是宽度比为，若图案中的三条彩条面积是，求横、竖彩条的宽度。
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，根据三条彩条所占面积是，则空白部分面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键。
【详解】解：设竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，
答：竖彩宽度为，横彩条的宽度为．
例2．如图，要使用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃．
(1)若要围成面积为的花圃，则的长为多少米？
(2)能否围成面积为的花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【分析】（）的长为，则，列出方程即可求解；
（）的长为，则，列出方程然后判断有无实数根即可求解；
此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设的长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，（舍去），
当时，，
答：的长为米；
（2）假设花圃的面积等于平方米，则，
整理得：，
，
∴此方程无实数根，
所以花圃的面积不能等于平方米．
(设计意图：巩固用一元二次方程解决实际问题)
1．我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半．
(1)阅读探究过程并完成填空；
当已知矩形的边长分别是和时．
设所求矩形的一边长是，则另一边长为，
根据题意，得，
整理，得；
∵，
∴______；______；
∴满足要求的矩形存在；
(2)请你继续解决下列问题：
如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形；
如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？
【详解】（1），
∴，，
故答案为：，；
（2）①设所求矩形的一边长是，则另一边长为，
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴不存在矩形；
②设所求矩形的一边长是，则另一边长为，
根据题意，得，
整理，得，
要使矩形存在，此方程需有解，即，
即，
整理，得，
∴当时，矩形存在．
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
【详解】解：设最小数为，则另外三个数为，
根据题意可列方程，得，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴，，，，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵，
故选：C．
2．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意，列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨元，
由题意可得，，
故选：．
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．（2024上·上海市西延安中学校考期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？

【详解】解：设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，，
依题意得，，整理得，，
，
解得，或（舍去），
∴，
∴长方形相邻两边的长分别为米、米．
2．（2023上·山东潍坊九年级统考期中）某旅行社组织甲、乙两旅行团到某地旅游．原计划，甲乙两团均由20人组成，甲旅行团每人每天的平均花费为500元，旅行4天；乙旅行团每人每天的平均花费为400元，旅行3天．实际上，甲旅行团旅行天数不变但又增加了部分人员，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团旅行天数、人数均不变．甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，试求甲旅行团实际增加的人数是多少？
【详解】解：设甲旅行团实际增加了人，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：甲旅行团实际增加的人数是6人．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
列一元二次方程解实际问题的基本步骤：由实际问题得到数学问题,分析问题中的已知量、未知量、等量关系，合理设置未知数列一元二次方程，解一元二次方程，检验解的合理性，作答。
（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：习题21.3第1（5、6）、8、9题。
探究性作业：习题21.3 第10题.
主板书 21.3实际问题与一元二次方程第三课时 探究点1 封面设计 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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