资源简介

2.1.2 认识实数（第2课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书 数学》八年级上册（以下统称“教材”）第章“认识实数”2.1.2认识实数（2），内容包括：理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类，会在数轴上表示实数。
2.内容解析
学生在学习认识实数的第二课时之前已经掌握了无限不循环小数的概念与特征. 无限不循环小数和本节中的无理数本质上是同一种数，这为学生学习实数的定义和分类提供了良好的认知基础. 但实数不一定是无理数，而无理数一定是实数，这种差异也正是学生学习过程中需要重点关注和区分的地方. 实数作为代数知识最基础的存在，是对数的范围的更一步拓展. 有理数和无理数共同构成了代数学中研究基础数学的基本数域. 通过学习无理数，从而将数的认知拓宽到实数，该过程的学生不仅能帮助学生提升对代数部分的认识，更能在今后解题中，获得解决更为复杂题目的基础。.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：无理数的概念与判定以及实数的分类体系.
1.教学目标
（1）理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类.
（2）经历在数轴上表示无理数的方法的探索过程，体会数形结合思想．
（3）在观察小数特征的过程中，归纳实数的分类标准，培养抽象概括能力．
2.目标解析
（1）学生要能准确识别一个数字是有理数还是无理数，明确其特征. 在对数的分类方面，学生应能熟练从不同的角度对题目中所给的实数进行分类，并且理解分类的依据，能准确无误地将每一个数按照分类标准放入不同位置，得出正确答案.
（2）学生在学习过程中，要回忆有理数在数轴上的表示方式，并巧妙地结合勾股定理，正确的将无理数在数轴上表示. 在表示地过程中中，明白如何借助勾股定理，将无理数用有理数的形式展现，感受数形结合思想的作用，提高分析问题和解决问题的能力.
（3）学生在归纳实数概念和分类的过程中，提高抽象概括能力，培养严谨认真的学习态度. 学生要能从所给的数据中归纳出有理数和无理数，运用所学知识解决实际问题，增强对数学知识实用性的认识.
学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数和非有理数的相关知识，包括概念和区别，这为学习无理数乃至实数奠定了一定基础. 但在数轴上表示实数时，学生可能会受到以往有理数在实数上表示的思维方式的影响，在表示无理数时，不会结合勾股定理，化无理数为有理数模型. 另外，对于从实际问题中借助数形结合思想解决数学问题，部分学生可能存在困难，因为这需要较强的观察和理解能力.
1.在数轴上表示无理数时，受有理数在数轴上表示的思维定式影响，可能直接取个大概位置，导致解题错误. 因此，在教学过程中应加强对学生的引导，引导学生结合勾股定理，让学生通过练习强化记忆，并且引导学生总结规律，加深通过数形结合的方式用有理数表示无理数的方法的理解.
2.在教学过程中多使用动态视图的教学案例，如构造三角形之后，将斜边旋转至坐标轴上的过程，引导学生逐步观察解决问题时，如何构造直角三角形，如何表示无理数. 同时，鼓励学生小组合作交流，共同探讨分析解决问题的方法，培养学生的合作能力和思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在数轴上表示无理数.
1.温故知新
本节课将进入一元一次不等式的学习，先回顾以下问题：
(1)有理数的特征是什么？
总可以表示为分数．
(2)无限无限不循环小数的本质？
不能表示为分数.
(3)一无限不循环小数又是什么特征？
小数位数无限；数字排列无循环性．
通过以上问题，猜测一下：什么是实数？实数包含什么？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾无限不循环小数的有关概念，有利于学生类比无限不循环小数展开无理数以及实数的学习）
2.情景引入
上节课我们学习了无限不循环数的概念，谁能回忆一下：什么是无限不循环小数？（请学生回答）
大家有没有想过——“所有的无限不循环小数是否都可以归为一类？”“所有学过的数是否有一个总的概括此？”。
(设计意图：导入需聚焦“无理数的存在性”，通过“旧知回顾→问题冲突→直观体验”的流程，激发学生学习兴趣)
探究点1　无理数的概念
1、观察下列各数：
将以上各数表示为小数：
3=3.0 ，=0.8， = = =0.
以上每个数字转化后的小数都是有限小数和无限循环小数
2、在以上的数中，没有一个数是无限不循环小数，而无限不循环小数也不是有理数，那么这种数是什么呢？
概念形成：无限不循环小数称为无理数
（设计意图：引入无理数的概念）
（教学建议：教师引导学生通过观察、计算，自行归纳得到无理数的概念，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识）
典例分析
1、一些数学中我们常见的或者是可能误认为有循环节的小数，如：
（1）是无理数
（2）0.585885888588885 (相邻两个5之间8的个数逐次加1)是无理数
探究点2　实数的意义及表示
例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
3.14， ， 0.57， 0.1010001000001 （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。
解：有理数：3.14， ， 0.57； 无理数: ：0.1010001000001 （两个 1 之间 0 的个数加 2）
1、概念形成：有理数和无理数统称为实数。
2、在例题中，我们区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，则
正数是：3.14，0.57，0.1010001000001 （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）；负数是：
3、还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？
有理数可分为正有理数、负有理数和0；类似的，可将实数分为正实数、负实数和0
4、实数运算规则（核心迁移内容）
（1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的完全一样；
（2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；
5.前面讨论的两个正方形，边长分别是 a, b，且满足 .;
如图，数轴上点 A 对应 a, b 中的哪个数？
事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的．
（设计意图：通过结合有理数和无理数的概念，使思考与感悟实数的概念，从而获得对实数进行分类的思路.）
（教学建议：把一元一次方程和一元一次不等式进行对比，实现了知识的自然迁移，使学生在自主探索和合作交流的过程中不知不觉地学到了新知识，理解并掌握了一元一次不等式的解法，教学重点得以基本达成，教学难点也取得相应突破．在归纳出一元一次不等式的解法之后，引导学生将一元一次方程的解法与其进行对比，加深理解，体会化归思想和类比思想．注意强调：解一元一次不等式的五个步骤不一定全都用到，要灵活选用．要特别注意，当不等式的两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变．）
典例分析
1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
近似计算例子：求与的和（保留两位小数）
1.414， 3.141， ≈4.56
2、试一试：将下列实数填入相应的集合中（每个数只能填一次）：
、 3、、、、、、 、0
（1）无理数集合：____
（2）有理数集合：__ 3、、 、0_
（3）正实数集合：__、、、、、
（4）负实数集合：_ 3、
（5）非负实数集合：、、、、、、0_
在数轴上找到与对应的点，并说明你是如何画出来的。
解：① 作直角边长为_1和2的直角三角形；
② 以原点O为圆心，以_斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b
（设计意图：对于实数常规考题进行强化练习.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：此类要求将无理数在数轴上表示的题目，先要作出相应的直角三角形，然后确定斜边的长途为相应的无理数．在确定相应的直角三角形时，一定要注意标注每条边值，以达到形象直观、一目了然的目的）
1. 下列各数中，属于无理数的是（ B ）
A. B. （相邻两个1之间0的个数逐次加1）
C. D.
2. 实数的正确分类是（ B ）
A. 正数、负数和0 B. 有理数和无理数
C. 整数和分数 D. 有限小数和无限小数
3. 下列说法正确的是（ C ）
A. 无理数都是带根号的数 B. 有理数都是有限小数
C. 无限不循环小数是无理数 D.
4. 比较大小 -3.14 > .
5.请你列举出一个无理数：，列举出一个实数：10（答案不唯一）
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
类型一：有理数与无理数的识别
1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
有理数：
无理数：
类型二：实数的分类
2.将下列数分类：
0.6，，0，0.121121112 （相邻两个2之间1的个数逐次加1）
有理数： 0.6，，0
无理数：0.121121112 （相邻两个2之间1的个数逐次加1）
类型三：实数性质迁移应用
3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 ，则它的倒数如何表示？
解: a的相反数是-a； a的绝对值是|a|
a的倒数是（a
类型四：
4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形：
（1）使它的三边中恰有一边边长是无理数；
（2）使它的三边中恰有两边边长是无理数；
（3）使它的三边边长都是有无理数。
1.（2023 北京）下列实数中，是无理数的是（A ）
A. √3 B. C. 0.666… D. -2．
2.（2023 南京）请写出一个比2大且比3小的无理数：______．
3. 3.（2023 广东）下列关于实数的分类，正确的是（ A）
A. 正实数包括正有理数和正无理数 B. 负数包括负整数和负分数
C. 有理数包括整数、分数和无理数 D. 无理数包括正无理数、0和负无理数
4.（2024 湖北）在实数- 、0、3.14、中，有理数有____3__个
5.（2024 浙江）估计数轴上的位置介于（A ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时体现无理数，实数的的核心内容，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习第1、2题
2.探究性作业：习题2.1 第5、7题.
2.1.2认识实数 1. 无理数：无限不循环小数（核心特征） 2. 实数：有理数+无理数 3. 数轴表示无理数：构造直角三角形→求斜边长→画弧找对应点（方法）

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