资源简介

　　　22.3 实际问题与二次函数（第3课时）（教学设计）
1.教学内容
本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.3实际问题与二次函数第3课时，内容为用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题----抛物线型问题。
内容解析
本节课是在上二节课学习了二次函数实际应用的基础上，进一步研究二次函数在利润问题中的实际应用，学生在学习了二次函数的图象和性质的基础上，借助二次函数的最大（小）值去解决实际中的抛物线型问题。二次函数是描述现实世界变量之间关系中重要的数学模型，其实际应用充分体现了新课标中的“三会”，反映了其一致性、阶段性和整体性的特征。又为高中阶段学习函数知识打下坚实的理论和方法基础，起到承上启下的作用，同时也是中考的热点考点。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想。
教学目标
（1）会求二次函数的最小(大)值。
（2）使学生学会将实际问转化为数学问题；学会从现实生活中抽象出二次函数的关系，并会用二次函数的最值解决抛物线型问题。
（3）通过自主探索和合作交流经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，发展合情推理，体会到数学来源于生活，又服务于生活。
2.目标解析
（1）二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，本课时是利润问题的探讨。通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型。
(2)在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模,使学生学会将实际问转化为数学问题；学会从现实生活中抽象出二次函数的关系，并会用二次函数的最值解决抛物线型问题。
(3)通过自主探索和合作交流经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，发展合情推理，体会到数学来源于生活，又服务于生活。
学生已经掌握一元二次方程的应用、函数的基础知识，能识别函数的增减性和最值，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的初步经验。他们初步具备几何直观、应用意识、模型观念等核心素养。有一定的应用意识，但还不能熟练地应用所学知识解决问题。本节课利用二次函数解决抛物线型问题，将进一步提高学生利用所学知识构建数学模型和解决实际问题的能力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便。
创设情景，引入新课
生活中你一定见过各式各样的抛物线形的物体吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？本节课我们就来探讨这个问题.
（设计意图：生活中的实际问题引发学生思考，及如何运用数学知识解决实际问题，为后面的例题及能力提升做出铺垫，为后面探索二次函数在利润等问题上的应用做好铺垫。）
探索点1 二次函数抛物线型问题中的应用
问题 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
追问1：图中抛物线拱桥的顶点在哪？试着把它放在平面直角坐标系里面去，怎么放比较好？
抛物线拱桥的顶点是抛物线的最高点，把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系。
追问2：“当拱顶离水面2m时，水面宽4m”，这个信息有什么作用？
求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标等。
追问3：快速准确地解决这个问题的关键是什么？
求出函数解析式，进而求点的坐标；求函数解析式应该用待定系数法。
【详解】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为，由抛物线经过点，可得，所以抛物线的函数解析式为
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3，把y=-3代入函数解析式，得，
所以当水面下降1m时，水面宽度米.所以米，则水面宽度将增加米.
追问4:还有其他建坐标系的方式吗
(活动方法:指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答，学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致.)
解法2：如下图，设水面AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，
则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2)，通过以上条件可设解析式为顶点式.将点A的坐标（-2，0）代入解析式，得,所以抛物线的函数解析式为把代入上式，得.
所以当水面下降1m时，水面宽度米.所以米，则水面宽度将增加米.
如图，还有其他的方法建立平面直角坐标系，根据题意找出题目中的点的坐标，从而求出抛物线
可用图象解决实际问题：
(设计意图：通过给学生提问的方引导学生思考，让学生总结出用数学知识解决实际问题，建立函数模型，根据函数的图象得出函数的类型，利用建立平面直角坐标系，将已知条件转化成点的坐标，求出函数解析式，进而得出实际问题的解，让学生掌握探究的方法，知道利用知识的本质特征解决实际问题.)
归纳总结：
解决某些运动轨迹为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：
（1)建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
（3）恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.
典例分析
例1.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式；
(2)因降暴雨水位上升米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．
（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入求出x值，再求出可通过船的最大宽度，将其与比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线顶点坐标为
设抛物线函数关系式为，
把代入，得，
，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）水位上升后船顶部距原来水面高：
把代入得，
，
，
∴此时对应的桥孔宽度为．
，
∴暴雨后这艘船不能从这座拱桥下通过．
例2.如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度米，大门顶端距离地面4米．为了迎接国庆节，需在大门C，D两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为米时，求此彩色丝带所需要的长度．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式，再根据点，的纵坐标，求出对应的横坐标，即可求出答案．
【详解】解：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
大门顶端距离地面4米．
抛物线顶点坐标为，
米，
点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
丝带到大门顶端的距离为米，
点，的纵坐标为，
当时，，
解得，
（米），
答：此彩色丝带所需要的长度为米．
例3.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
0 5 …

(1)根据表中数据预测足球落地时，______m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，
当时，，
时，；
（2）由（1）知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
（3）当，
∴，
∴守门员不能成功防守．
（设计意图：强化二次函数解决生活中利润问题. ）
1.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解；
（2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可；
（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．
【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：
则，，
抛物线的顶点坐标为，，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
解得：，
，
∴水面上升2米后的水面宽度为米，
（3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，

∵货船的高为米，宽为米，
∴米，，
设米，则米，
∴点的坐标为，
将代入，得：
解得，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米．
（设计意图：强化利用二次函数解决利润的最值问题。）
1.桥洞为抛物线形，水面宽米，桥洞顶点C到水面的距离为3米，

(1)求这个桥洞所在抛物线的解析式．
(2)若水面再上升1米，求水面的宽度．（结果保留根号）
【详解】（1）解：由图得：，
米，
米，
，
则可设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）当时，，
解得：，
此时水面的宽度为：米．
2.阅读思考，并解答下列问题：
在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 14 48
(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；

(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；
(3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：）
【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：

（2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s与t的函数关系式为，
将代入，得： ，
解得：，
∴s与t的函数关系式可近似地表示为；
（3）解：把代入得：，
∴，
解得：（舍去），
答：推测滑雪者滑行的时间是10秒．
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．(2025 连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 ______ m．
【解答】解：由题意，OA＝1.6m，
得A(0，1.6)，
将A(0，1.6)代入y＝a(x－3)2＋2.5，
得：1.6＝a(0－3)2＋2.5，
解得：，
∴，
令y＝0，得，
解得：x1＝8，x2＝－2，
∴OB为8m，
故答案为：8．
2．(2025 广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为(0，0.0015)，，
即A(0.85，0.18)，
设该抛物线的表达式为y＝ax2＋0.0015，
将A(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.0015，
得0.18＝0.852a＋0.0015，
解得，
∴该抛物线的表达式为．
3．(2025 陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长．
【解答】解：（1）∵BO＝4m，
∴抛物线L1的顶点B坐标为(0，4)，
设抛物线L1的函数表达式为y＝a(x－0)2＋4，
∵AC＝16m，
结合二次函数的对称性得 A(－8，0)，C(8，0)，
将C(8，0)代入y＝a(x－0)2＋4，
得0＝64a＋4，
则，
∴；
（2）由（1）得抛物线L1的函数表达式，
∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.，且抛物线L3的函数表达式为，
∴，
整理得x2－3(x－4)2＝24，
解得x1＝x2＝6，
∴MN＝2×6＝12(m)．
4．(2025 新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计)．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
（2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可．
【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即(6，8)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x－6)2＋8(a≠0)，
代入点(12，0)得a(12－6)2＋8＝0，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）能安全通过，理由如下：如图，
由题意得：，
将x＝2代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
解决某些运动轨迹为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：
（1)建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
（3）恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式；
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.
设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：习题22.3第6、7题
3.小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由．
【详解】（1）解：根据题意，
点的坐标为，点坐标为，
设此抛物线对应的解析式为：，，
抛物线经过，
，
，
抛物线的解析式为：．
（2）篮圈中心的坐标为，
将坐标代入解析式中，得，
当时，，
故此球能投中．
探究性作业：1．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米，
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．
(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
由题意知，隧道的最大高度为米；米，米，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，
则有，
，，
抛物线的解析式为，
（2）由题意得，
当时，，
，．
当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时，
当时，此时刚好违反交通规则，
汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，
的取值范围是．
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 22.3 实际问题与二次函数（第2课时） 探究点1 二次函数在利润问题中的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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