资源简介

4.1 函数 教学设计
1.教学内容
本节课是背师大版《义务教育教科书 数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函数”4.1 函数，内容包括：函数的概念及一般表示方法；自主量的取值范围 ；函数值．
2.内容解析
《函数》是北师大版八年级上册第四章第一节的内容。在教材体系中，它承接七年级下册所学的“变量之间的关系”，学生在之前的学习中已经对变量、常量有了初步认识，也体会到现实世界中变量之间存在联系 ，这为学习函数奠定了基础。而本节课正式给出函数定义，是后续学习一次函数、反比例函数、二次函数等具体函数类型的基石，起到承上启下的关键作用。教材从多个实际问题出发，引导学生观察变量之间的关系，抽象出函数概念，符合学生从具体到抽象的认知规律，同时体现数学与生活的紧密联系。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：函数概念的建立，理解“唯一对应”关系.
教学目标
（1）理解函数的概念，了解函数的三种表示方法（图象法、列表法、关系式法）.
（2）通过函数概念的探索过程，体会归纳思想、数形结合和建模思想．
（3）在探索函数概念的过程中，培养合作和团队精神，发展抽象能力，培养应用意识．
2.目标解析
（1）学生能准确理解变量、常量的概念，深入理解函数的概念，熟练判断两个变量之间的关系是否为函数关系；学会用含一个变量的代数式表示另一个变量，清晰了解函数的三种表示方法（图象法、列表法、关系式法、）。
（2）通过对大量实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳、抽象的思维能力；经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，提升学生运用数学语言表达和交流的能力，初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力。
（3）通过丰富的生活实例，激发学生对数学的好奇心和求知欲，使学生积极主动参与数学活动；在小组合作探究中，培养学生的合作意识和团队精神 ，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心 。
八年级学生已具备一定的数学基础和思维能力，在之前学习有理数运算、一元一次方程以及“变量之间的关系”时，积累了初步的代数知识和研究变量的经验 ，能够理解简单的数量关系和变化规律。但函数概念较为抽象，其动态变化和抽象的对应关系，与以往知识差异较大，学生理解两个变量间复杂的依赖关系可能存在困难，从实际问题中抽象出函数模型对部分学生来说挑战较大。此外，该阶段学生好奇心强，对贴近生活的实例兴趣浓厚，但注意力易分散，自主探究能力有待提升 。
1．具象化引入，突破概念抽象性。从学生熟悉的生活实例入手（如“打车费用与里程的关系”“电费与用电量的关系”），通过具体数据列表让学生观察“一个里程对应一个费用”的规律，直观感知“唯一性对应”。
2．分步拆解，降低建模难度。针对复杂实际问题，采用“问题分层”策略：第一步，引导学生识别问题中的“变化量”（变量）和“不变量”（常量）；第二步，确定哪个变量“主动变化”（自变量），哪个变量“随之变化”（因变量）；第三步，用文字描述两者关系，再转化为代数式、列表或图象。
3．任务驱动与互动设计，提升探究主动性与注意力。采用“小组合作探究”模式：将复杂问题拆解为小任务（如“观察实例→讨论变量关系→归纳函数特征”），明确小组分工（记录员、发言人、质疑者），通过同伴交流激发思维，降低个体探究压力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际问题中准确抽象出函数模型，深刻理解函数概念中“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应”这一核心要点 。.
1.情景引入
生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走的路程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。
(设计意图：从学生熟悉的生活场景入手，激发学生兴趣和好奇心，让学生感受生活中变量无处不在，为后续引出函数概念做铺垫。)
2.温故知新
（1）.早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明 ：气温随时间的变化而变化.
（2）.高处不胜寒， 说明 ：温度随 海拔高度的变化而变化
在一个变化过程中，如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化.我们就把x叫做自变量，y叫做 因变量。
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫。）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．变量有关概念，有利于学生在变量的基础上学习函数，同时也体现了学科融合特征。）
探究点1　函数的概念及表示方法
情景一：想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度 h (单位：m)与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系。
(1)根据图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m 3 10 37 45 37 11 …
(2)对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
确定；唯一一个
情景二：圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
1 2 3 4 5 …
1 3 6 10 15 …
（2）对于给定任一层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
对于给定的层数n,相应的物体总数y随之确定. 唯一一个
情景三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃ ，则气体的压强为零 . 因此，物理学把 -273℃ 作为热力学温度的零度 . 热力学温度 T(K) 与摄氏温度 t(℃) 之间有如下数量关系： T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
解：当 t=-43 时， T=-43+273=230 （ K ）
当 t=-27 时， T=-27+273=246 （ K ）
当 t=0 时， T=0+273=273 （ K ）
当 t=18 时， T=18+273=291 （ K ）
（2）给定任
一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
确定 唯一一个T值
上面三个情景中都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点
三个情景 相同点 不同点
情景一 都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 图象法
情景二 表格法
情景三 T ＝ t ＋273.15,T≥0 关系式法
函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的一般表示方法：图象法、表格法、关系式法。
（设计意图：引入函数的概念）
（教学建议：教师引导学生通过三个情景的具体实例抽象出函数概念，同时也让学生知道函数的三种表示方法。培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识）
探究点2　自变量的取值范围
上述的三个情景中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
情景一：下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
自变量 t 的取值范围: t≥0 .
情景二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量 n 的取值范围：n取正整数.
情景三:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
自变量 t 的取值范围：t≥-273.
（设计意图：通过三个情景中的实际应用，引导学生认识自变量的取值范围.）
（教学建议：立足生活情境，强化“现实合理性”认知．在每一个情景中，引导学生关注具体限制条件的来源，在教学中始终渗透研究函数先考虑自变量取值范围的理念，让学生认识到脱离实际情境的函数表达式是不完整的，取值范围是函数概念的重要组成部分，为函数后续学习奠定严谨的思维基础。）
探究点3　函数的值
思考 上述问题中，自变量能取哪些值
在摩天轮问题中：
（2）在圆柱形物体的堆放问题中:
（3）在气体与压强的问题中：
当 t ＝－43时，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）。
在上述三个问题中，你有什么发现？
函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
即：如果y是x的函数，当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫做当 x＝a时的函数值。
注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。
典例分析
例1 下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是
(1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ±
解析：对于 (1)、(2)、（3） x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；
（4）中当 x = 1 时， y = ±1对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。
例2 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
解：（1）函数关系式为： y = 50－0.1x
（2）由 x≥0 及 50－0.1x≥0 得 0≤x≤500，
∴自变量的取值范围是: 0≤x≤500.
(3) 当 x＝200 时，函数 y 的值为:
y＝50－0.1×200＝30。
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L
（设计意图：通过不同类型例题，让学生运用函数概念进地判断和计算，加深对函数概念的理解和应用能力.）
（教学建议：教学过程中紧扣概念核心，强化“函数定义”的精准理解；例1中引导出两个变量间存在确定的依赖关系，x每取一值，y唯一确定，帮助学生从具体实例中提炼函数概念的本质属性，避免死记硬背定义；例2中强化计算类问题的规范训练，通过生活实例与例题的联动，理解判断函数关系和计算函数值是解决实际问题的基础工具。）
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
A B C D
2．下列四个选项中，说法不正确的是（ C ）
A．在匀速运动公式 中，s是t的函数，v是常量.
B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么 β是α的函数.
C．在圆的周长公式中，2是常量，∏ ，r，C均为变量.
D．一种金属，其质量是体积的函数.
3.函数 =√ /( )的自变量 的取值范围是x≥0且x≠1.
4.已知y＝ ^2＋2x－1，当 x＝1 时，函数值y＝ 2 .
5.地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型．
测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系：
(1)在上述变化过程中，自变量是岩层的深度h，因变量是岩层的温度t，表格中m的值为 160；
(2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式；
t=55+35(h-1)=35h+20
(3)当岩层的温度为335时求岩层的深度．
当t=335时，35h+20=335 ,解得h=9
即岩层的深度为9km.
设计意图：基础巩固本节课所学内容，培养学生运用知识解决实际问题的能力和创新思维。
设计意图：帮助学生梳理知识，构建知识体系，加深对本节课内容的理解和记忆，同时了解学生学习情况，以便后续教学调整.
1.必做题：习题4.1 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题4.1 第3题,第4题.
4.1 函数 1. 函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 2．函数的一般表示方法：图象法、表格法、关系式法。 3．自变量的取值范围及函数值。 4．核心思想：归纳总结、数形结合、建模思想、转化与化归。 5. 例题区：（学生板演区域）

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