资源简介

　　　　　　　　　24.1.1圆（教学设计）
1.教学内容
本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆,24.1圆的有关性质第1课时24.1.1圆,内容为圆的定义以及一些相关概念。
内容解析
圆在日常生活中到处可见，学生对它也比较熟悉，在课的一开始我们就让学生在老师的演示和图片的观察中清晰地看到这是圆，借助这样的表象，让学生在头脑中搜索自己曾经见到过的圆，从而初步地感知圆。通过这一节的教学，应让学生理解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念。首先通过生活中常见的圆的形象，接下来让学生观察用绳子和用圆规画圆的过程，给出圆的描述性定义，从集合角度对圆进一步刻画。本小节与圆有关的概念比较多，对于这些概念，教学时要引导学生分析它们之间的区别与联系。有些学生在小学已经学过(如半径、直径、弧等)，有些是新的，教学中要注意区别对待，从学生的实际出发进行说明。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为对圆的概念的理解。
1.教学目标
（1）通过观察实验操作，使学生理解圆的定义。
（2）结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念。
（3）通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
2.目标解析
（1）首先通过用线绳工具在空中旋转，让学生清晰地看到形成的轨迹是一个圆。结合画圆的过程，关于把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，进一步认识圆.
（2）与圆有关的概念比较多，对于这些概念，教学时要引导学生分析它们之间的区别与联系。有些学生在小学已经学过(如半径、直径、弧等)，有些是新的，教学中要注意区别对待，从学生的实际出发进行比较说明。
（3）通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆，调动了学生的多种感官，激发了学生学习圆的兴趣，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
在导入新课时，为了让学生初步感知圆，先借助多媒体呈现生活中一些常见的带有圆形的实物图片，利用这些学生熟悉的，色彩鲜艳的图片，刺激学生的多种感官，激发学生用数学的眼光去观察事物的兴趣。接着运用动态演示，从实物中勾勒出圆，使学生清晰看到圆是有曲线围成的。在研究圆的半径、直径的特征时，当学生通过画一画、折一折、量一量，知道在同一圆中半径可以有许多条，在此基础上运用多媒体动态演示:同一回中，从圆心到圆上可以发散出无数条线段。通过强烈的视觉刺激，让学生体会到同一圆中半径有无数条，感受初步的极限思想。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为圆的集合定义。
创设情景，引入新课
圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象.
（设计意图：学生在生活中和小学都已接触过圆,对圆已有基本的认识和了解，自然引入新课.）
探究点1　圆的描述性定义
问题：我们在小学已经对圆有了初步认识。如图24.1-2，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗
追问1：用圆规画圆，需要确定什么条件？
圆规的一个端点固定点和圆规的张口（两个端点间的距离）
追问2： 根据上面的画图，你能描述什么叫圆？固定的端点叫什么？这条线段叫什么？
如图24.1-3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径.
追问3：上面的圆如何表示？
以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.
追问4：确定一个圆的要素有哪些？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
追问5：由画图你能得到圆的半径的性质吗？
同圆半径相等.
（设计意图：通过学生动手探究圆的描述性定义.）
典型例题
例1　如图,⊙O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
【分析】作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
【详解】证明： 连接OC,OD,
∵OC=OD,　　∴∠C=∠D,
∵CE=DF，　　∴AOCE≌△ODF (SAS),
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
（设计意图：强化对圆的认识.）
探究点2　圆的集合定义
追问1：从以上作图可以看到，圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于什么？到圆心Ｏ的距离等于半径的点都在⊙O上吗？圆可以看成哪些点组成的？
圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于半径；到定点的距离等于的点都在同一个圆上。圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的。
追问2：你能归纳出圆的集合定义吗？
圆心为O、半径为的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的点的集合.
追问3：平面内的点和圆的位置关系？
当点Ｐ到圆心为O距离等于圆的半径为时，Ｐ点在⊙O上；当点Ｐ到圆心为O距离小于圆的半径为时，Ｐ点在⊙O内；当点Ｐ到圆心为O距离大于圆的半径为时，Ｐ点在⊙O外；反之也成立。
追问4:圆是一条曲线,还是一个曲面
圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.
（设计意图：从集合观点认识圆.）
典型例题
例2　矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证:A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
【分析】要证明A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，只要证明OA=OB=OC=OD.
【详解】证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴,.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点0为圆心，OA为半径的圆上.
（设计意图：进一步强化对圆的认识.）
探究点3　圆的有关概念
追问1：什么是弦？什么是直径？
连接圆上任意两点的线段(如图中的AC)叫做弦。经过圆心的弦(如图中的AB)叫做直径。
追问2：弦和直径之间关系？
弦和直径都是线段，直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。
追问3：什么是弧？怎样表示？
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
追问4：什么是半圆？
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
追问5：什么是劣弧？什么是优弧？怎样表示？
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的。优弧:大于半圆的弧叫做优弧.如图中的。
追问6：什么是同心圆？什么是等圆？什么是等弧？
同心圆：圆心相同，半径不同（圆心相同，半径相同视为同圆）；
等圆：半径相同，圆心不同。
能够重合的两个圆叫做等圆。
容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
追问7：长度相等的弧是等弧吗
两条弧不能完全重合，但弧的长度可能相等，“等弧”要区别于“长度相等的弧”。
（设计意图：认识圆的相关概念.）
典型例题
例3　下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆　　　B．半圆是圆中最长的弧　　　C．直径是弦 　　D．弦是直径
【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误；
B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误；
C、直径是弦，选项正确；
D、弦不一定是直径，选项错误；
故选C．
例4　如图，(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径;
(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
【分析】根据劣弧、优弧的定义来写，其中半圆不是优、劣弧。
【详解】解：（1）劣弧:
优弧:
（2）弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）答案不唯一，如:弦AF,它所对的弧是和
（设计意图：引导学生在已学习掌握的知识基础上，分析探究问题 ）
1.如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶
点B、C在直径MN上.(1) 求证:OB=OC；
(2)设的半径为5，求正方形ABCD的边长.
【详解】解:(1)连接OA，OD，则
∵在正方形ABCD中，，
∴RtΔABO≌RtΔDCO，
∴OB=OC；
(2)设，则，
在RtΔABO中，
即　　解得:
正方形ABCD的边长为.
（设计意图：强化对圆的认识和应用。）
如何在操场上画一个半径是5m的圆 说出你的理由.
你见过树木的年轮吗 从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少
△ABC中，∠C=90°.求证:A，B，C三点在同一个圆上.
答案：1.可以定一个圆心，取一根5m长的绳子画出圆。
2.
3.提示:连接点C与边AB的中点D，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，证明CD=AD=BD.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．（2025·江苏宿迁九年级校联考）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆　　　 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 　　　　　　　　D．在一个圆中，直径是最长的弦
【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；
C、弦不一定是直径，故选项错误；
D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；
故选D．
2．（2025·广州市广外附设外语学校校考）如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（ ）

A．4 　B．2 　　C． 　　D．
【详解】解：连接，

∵是正方形的外接圆，正方形的边长为，
∴
∴正方形的半径是
故选：C．
3.（2025·湖州期末）CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙0于B,且AB=OC,求∠A的度数.
【详解】解：∵OB=OC，AB=CO，∴AB=OB，∴∠A=∠BOA.
又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO,∵∠EBO=2∠A，∴∠E=2∠A，
又∵∠EOD=∠E+∠A,:.3∠A=∠EOD,
∵∠EOD=72°，∴∠A=24°.
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1.圆的两种定义：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。②圆心为O、半径为的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的点的集合。圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面。
2.确定圆的条件：一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小。
3.平面内的点和圆的位置关系：当点Ｐ到圆心为O距离等于圆的半径为时，Ｐ点在⊙O上；当点Ｐ到圆心为O距离小于圆的半径为时，Ｐ点在⊙O内；当点Ｐ到圆心为O距离大于圆的半径为时，Ｐ点在⊙O外；反之也成立。
4.连接圆上任意两点的叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧。半径相等的两个圆是等圆;反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：习题24.1第1、2题
探究性作业：一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域.
答案：
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 24.1.1圆 探究点1　圆的描述性定义 探究点2　圆的集合定义 探究点3　圆的有关概念 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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