资源简介

1.5 等腰三角形（第1课时 等腰三角形的性质）教学设计
1.教学内容
本节选自苏科版2024八年级数学（上）第1章《三角形》第1.5节“等腰三角形”的第1课时，核心知识点是“等腰三角形的性质”。通过探究等腰三角形中“等边对等角”及“一线具备，多线合一”等性质，帮助学生深入了解几何图形的对称特征和推理方法。
2.内容解析
本节内容以“等腰三角形的性质定理”为核心，围绕 与“三线合一”等关键结论，设计折叠、作中线、作高线及角平分线等多种探究活动。通过对三角形全等条件的运用，学生能深入体会等腰三角形的内在对称性及其在计算与证明中的价值。同时，作图探索“已知底边及其上的高作等腰三角形”培养了学生的几何思维与动手实践能力，进一步为今后解题奠定基础。
1.教学目标
●经历等腰三角形性质的探究过程，体验研究几何图形的基本过程。
●掌握等腰三角形的性质定理，并能应用它们进行计算和证明，发展推理能力。
●会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形。
2.目标解析
● 第一个目标侧重学生的几何探究体验，通过动手折叠与观察等方式，激发兴趣并感受几何思想。
● 第二个目标强调对“等边对等角”“三线合一”等性质定理的理解与应用，培养推理论证能力。
● 第三个目标突出学生动手能力和作图技能，通过操作与实例构建几何图形，掌握基本作图方法。
学生已初步掌握三角形的全等判定方法和基本作图技能，对“底边”“高线”等概念也有认识。本节在此基础上提升难度，重点在于让学生理解等腰三角形的内在对称和推理过程。概念归纳与性质理解相对容易，但在综合运用“三线合一”或多性质结合时，学生可能存在思路不清的困难，需要在教学中加强探究与示范，引导学生形成完整的几何思维链条。
创设情境，引入新课
1.问题情境
“如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征？”
教师演示：将长方形纸片对折后，剪出三角形，接着展示该三角形。
学生观察：这个三角形有两条边相等，有两个角相等。
【设计意图】 通过折纸活动，将生活中简单易行的操作转化为几何情境，激发学生的好奇与思考，为引入等腰三角形的概念做好铺垫，明确学习方向。
探究点1：等腰三角形的定义
概念引入
有两条边相等的三角形，叫作等腰三角形（isosceles triangle），相等的边叫作腰。
并明确：
“如图，在等腰三角形中，，两相等的边称为腰。”
【设计意图】通过对折纸片的现实操作与几何语言的提炼，引出等腰三角形的定义，让学生体会到“抽象概念源自实际操作”的过程，使定义的形成更加直观易懂。
探究点2：等腰三角形的性质一——等边对等角
问题引入
在等腰三角形中，，那么哪两个角相等？该怎样证明？
证明1：作边BC的中线AD，则BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD (SSS).
∴ ∠B＝∠C.
证明2：作边BC的高线AD，
则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (HL).
∴ ∠B＝∠C.
证明3：作∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD．
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B＝∠C.
证明4：如图，在△ABC中，AB＝AC，沿∠BAC
的平分线AD把△ABD翻折.
∵∠BAD＝∠CAD，
∴AB落在射线AC上．
∵AB＝AC，
∴点B与点C重合，
从而△ABD与△ACD重合.
∴∠B＝∠C.
新知导出
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
符号语言：在三角形中，若，则（等边对等角）。
补充概念：
等腰三角形中两个相等的角叫作底角。
【设计意图】通过多种方法证明同一性质，让学生体验几何探究方法的多样性，培养学生的逻辑推理与综合运用能力。同时借助对称思想，激发学生从多角度思考几何问题的意识。
探究点3：等腰三角形的性质二——“三线合一”
问题引入
由以上证明过程，你还有什么发现？
由以上证明可得，
△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
即AD是△ABC的角平分线.
由△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高.
“在等腰三角形中，，为什么底边上的高线、中线和顶角平分线会重合？它们能给我们解决哪些问题提供便捷？”
新知导出
等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（即“三线合一”）。
符号语言：在△ABC中，AB＝AC．
(1)∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，且BD＝CD；
(2)∵BD＝CD，∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC；
(3)∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD，且AD⊥BC．
该结论可从前面全等三角形的推导中得到：既是高，又是中线，还是角平分线。
应用“三线合一”时需满足：先确定三角形是等腰三角形；再确认这条线已是其中的一种线（高线、中线或顶角平分线）即可推知其余性质。
【设计意图】学生在学习“等边对等角”后，自然过渡到“三线合一”，进一步感受到等腰三角形具有较强的对称性与简洁性，提高对几何问题的整体把握能力。
典例分析
例1如图，在中，，点在上，且，求证：。
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠B(等边对等角)
∴∠C＝∠BAD.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C＋∠CAD.
∴∠ADB＝∠BAD＋∠CAD.
∴∠ADB＝∠BAC.
变式 如图，在中，点在上，，，求的度数。
解：设∠B＝x°.
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝x°.
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝(2x)°.
∵DC＝AC，
∴∠DAC＝∠ADC＝(2x)°.
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°.
∵∠C＋∠DAC＋∠ADC＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180.
∴x＝36，即∠B＝36°.
∴∠BAC＝180°－36°－36°＝108°.
例2已知点在的边上，.
（1）如图①，若，求证：
（2）如图②，若，且为的中点，求证：。
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
(2)∵F为DE的中点，
∴DF＝EF.
∵BD＝CE，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
尝试交流：
如图，已知线段和，用直尺和圆规作等腰三角形，使底边，高。
作法
1．作线段BC＝a．
2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D．
3．在MN上截取线段DA，使AD＝h．
4．连接AB、AC．
△ABC就是所求作的等腰三角形．
【设计意图】让学生亲自动手操作，把握“线段垂直平分线”与“等腰三角形高线”的关系，进而强化对“三线合一”性质的理解与应用；并将抽象几何知识迁移到作图实践，培养空间想象和动手能力。
【整体设计意图】本环节通过对课本中典型例题的再次探究和延伸，帮助学生在掌握等腰三角形基本性质的同时，进一步提升思维深度。通过变式训练和综合应用，培养学生的推理能力与灵活解题思路。
1. 在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果有一个角等于120°，那么∠A＝____°，∠B＝____°，∠C＝____°；
(2)如果有一个角等于50°，那么另两个角分别等于多少度？
解：如果有一个角等于50°，有以下两种情况：
①当∠A＝50°时，∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°．
②当∠B＝50°时，∠C＝∠B＝50°，
∠A＝180°－(∠B＋∠C) ＝180°－(50°＋50°)＝80°．
2.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD＝DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
解： (1) ∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC．
∵∠BAC＝110°，
∴∠1＝∠2＝55°．
(2) 证明：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴ AD⊥BC．
3.如图，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD. 求证：AC⊥BD．
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴点A、C在BD的垂直平分线上.
∴ AC垂直平分BD，
∴ AC⊥BD.
4. 已知：如图，在中，，是的中点，，，垂足分别是。求证：。
证明：连接AD．
∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC．
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF.
【设计意图】本环节通过“新知巩固”题目，让学生在基础知识、基本方法层面牢固掌握等腰三角形的性质、公理与推理论证手段，并熟练运用“三线合一”、“等边对等角”等关键结论。
1. 认识等腰三角形：通过剪纸引入，了解等腰三角形的定义与特点（两腰相等、两底角相等）。
2. 等腰三角形性质一（“等边对等角”）：在等腰三角形中，相等的边所对的角相等。
3. 等腰三角形性质二（“三线合一”）：在等腰三角形中，顶角对应的高线、中线、角平分线三线合一。
4. 作图方法：已知底边和底边上的高，可用垂直平分线与截取线段的方法作出等腰三角形。
1.课题：1.5 等腰三角形（第1课时）
2.定义：AB = AC △ABC是等腰三角形
性质1：等边对等角
性质2：三线合一（高、中线、角平分线）
3. 例1
例2
4. 作业
1. 基础巩固题：教材配套练习中关于“等边对等角”的计算与证明题，任选2～3道。
2. 拓展探究题：结合“三线合一”性质，完成课本对应习题，重点观察并证明“高线、中线、角平分线”在等腰三角形中重合的过程。
3. 作图实践：用直尺和圆规作一个等腰三角形（已知底边和底边上的高），并写出作图步骤。
4. 思考题：若在等腰三角形中添加辅助线，探究是否能得到新的全等三角形，从而增强对等腰三角形性质的理解。
通过折纸、剪纸等活动，让学生直观感受到等腰三角形的形状与性质，概念理解目标基本实现。典型例题的分析有助于学生理解“等边对等角”和“三线合一”的推理思路，但在部分学生中，基于全等证明的逻辑仍需进一步巩固，尤其是在几何作图与论证衔接的环节上，个别学生还较缺乏条理性。在后续教学中，可增加小组讨论的时间，让学生相互质疑、解释，从而内化“三线合一”的理论要点，同时多设置操作性练习，激发学生对几何作图和几何推理的兴趣，加强知识的灵活运用。

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