资源简介

　25.3用频率估计概率（第1课时)（教学设计）
1.教学内容
本课时是人教版九年级上册教材第二十五章概率初步，25.3用频率估计概率第1课时,内容为从随机试验的角度，研究频率和概率之间的关系，了解通过大量重复试验，可以用频率估计概率，进一步理解概率的意义。
2.内容解析
本节课是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。
基于以上分析，确定本节课教学重点是:体会用频率估计概率的必要性和合理性。学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。
１.教学目标
（1）理解用频率来估计概率，进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。
（２）选择生活中的实例，加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系,渗透转化和估算的思想方法.
（３）利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。
2.目标解析
（1）通过具体实例，理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。
（２）选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，关注知识的形成和发展过程，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系。通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。
（３）利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。运用所学的数学知识解释生活中发生的某些现象，从中建立起数学模型，抽象为数学问题，探究和发展其中的变化规律。结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。
学生学习统计概率并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，本节课结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系，发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为理解频率与概率的关系，用频率估计概率解决实际问题。
创设情景，引入新课
复习：１.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。
如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们可以用列表法、树状图法列举求出。
（设计意图：复习相关知识点，引入新课.）
探究点1　 用频率估计概率
用列举法可以求一些事件的概率。实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率。
问题：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢 不妨用试验进行检验。
试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表。
第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列。如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值为“正面向上”的频率.
抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“正面向上”的频数m
“正面向上”的频率
学生将试验数据进行收集、整理、描述与分析，得出硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率的规律。
（活动目的：学生通过经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，发展学生的数据分析观念.）
数学史介绍：历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果
试验者 抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率
棣莫弗 2048 1061 0.518
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
从以上试验说明频率稳定性，说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的规律。频率的稳定性不仅被实践不断证明，而且瑞士数学家雅各布·伯努利以定理的形式给予了严格的证明。
思考：追问1：硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率有什么规律？
学生根据自己试验得到的数据以及表中数据，可能发现“正面向上”的频率在0.5左右波动，且随着抛掷次数的增加，似乎有越来越近的趋势。
归纳：实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。
用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。
追问2：抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，能否用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率？为什么？
不能用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率，运用列举法的前提是：事件发生的可能性相等，抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，中“针尖朝上”或“出现6点”不是等可能事件。
追问3：上面的不等可能事件，我们可以用什么方法来估计它的概率？
可以通过大量重复试验估计出它们的概率。
追问4：从抛掷硬币的试验你可以得出什么规律？
从抛掷硬币的试验还可以发现，“正面向上”的概率是0.5，连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次;连续抛掷100次，结果也不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次。也就是说，概率是0.5并不能保证掷 2n 次硬币一定恰好有n次“正面向上”，只是当n越来越大时，正面向上的频率会越来越稳定于0.5.可见，概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。（设计意图：通过试验和数学史的介绍，让学生体会频率估计概率的意义.）
典型例题
例1　利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验，小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率 B．抽中的扑克牌编号是奇数的概率
C．抽中的扑克牌的编号是6的概率 　　D．抽中的扑克牌的编号大于3的概率
【分析】本题考查了频率估计概率，理解当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率是解题的关键．计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可．
【详解】解：由图可知，结果出现的频率稳定在之间，
A、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率为，符合试验的结果；
B、抽中的扑克牌编号是奇数的概率为，不符合试验的结果；
C、抽中的扑克牌的编号是6的概率为，不符合试验的结果；
D、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果．
故选：A
例2 在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】本题考查的是利用频率估计概率，已知概率求数量；本题先判断摸到蓝球的概率为，分式方程的解法，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，因此摸到蓝球的概率为，
∴，解得，
经检验，是原方程的解，
因此n最可能有6．
故选：C．
（设计意图：理解频率估计概率的意义.）
课本练习
1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.
投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500
投中次数m 28 60 78 104 123 152 251
投中频率m/n
(1)计算投中频率(结果保留小数点后两位);
(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(结果保留小数点后一位)
2.用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率
答案：1.(1) 0.56，0.60，0.52，0.52，0.49，0.51，0.50.(2) 0.5.2.(略).
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．

(1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01）
(2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？
【详解】（1）解：由图可知，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，估计成活概率为0.95．
故答案为：0.95，0.95；
（2）（株），
答：估计购买200株．
（设计意图：强化用频率估计概率的综合运用）
1．（2025·安庆校考）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和18个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，请你估计盒子里白球的个数。
【详解】解：
答：盒子里白球的个数为个。
2．（2025·陕西西安九年级统考期中）在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明每次摸球前先将袋子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复试验后发现，摸出红球的频率稳定在左右，请估计袋子中黄球的个数。
【详解】解：设袋子中黄球的个数为个，由题意，得，解得，
袋子中黄球的个数为个。
3.（2023下·陕西榆林校考）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：
试验次数
“帅”字面朝上的频数
“帅”字面朝上的频率
(1)求出上表中数据和的值；
(2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数）
【详解】（1）解：；。
（2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是。
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题25.3第2、3题.
探究性作业：课本习题25.3第1题.
阅读：实践与探究
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 25.3用频率估计概率（第1课时) 探究点1　 用频率估计概率 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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