资源简介

第三章 一次方程与方程组
3.1方程
第1课时 方程的有关概念
1.通过对多种实际问题的分析而列出方程，理解并掌握方程的有关概念．
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
3.能够根据实际问题列出正确的方程，培养方程的应用意识．
4.经历设未知数列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．
重点：寻找相等关系、列出方程，并掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
难点：理解方程的解和解方程的不同.
创设情境
“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”
——法国数学家 笛卡儿
【问题1】在参加2022年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有21人，比花样滑冰运动员的3倍少3人．参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人？
北京冬奥会开幕式：中国代表团入场
分析：花样滑冰运动员人数×3-3=自由式滑雪运动员人数
解：设参加冬奥会的花样滑冰运动员有x人，根据题意，得： 3x-3=21
【问题2】王玲今年12岁，她的爸爸36岁．再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍？
分析：几年后爸爸的年龄=几年后王玲的年龄×2
解：设再过x年，王玲爸爸的年龄是她年龄的2倍．这时王玲的年龄是（12+x)岁，她爸爸的年龄是（36+x）岁．根据题意，得： 36+x=2(12+x）
【问题3】已知长方形的面积为180，其中长比宽多3m，求长方形的宽是多少．
分析：长=宽+3；长×宽=面积
解：设宽为xm，则长为（x+3)m．根据题意，得： x(x+3)=180
设计意图：引用法国数学家笛卡儿的名言导入新课，强调方程在数学学习中的重要性；通过3个问题，引导学生寻找相等关系列出方程，培养学生对方程的应用意识以及分析、解决问题的能力，并感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.
（二）探究新知
任务一：探究方程的概念
观察下列等式：3x-3=21； 36+x=2(12+x）； x(x+3)=180
合作探究：找出三个等式的共同特点.
【归纳】方程的概念：含有未知数的等式叫作方程.
任务二：探究方程的解和解方程
自学指导：自学教材92页例3下方—93页例1上方内容.
思考：（1）什么是方程的解？什么是解方程？
方程的解与解方程有什么不同？
【归纳】方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.解方程：求方程的解的过程叫作解方程.
提示：方程的解是一个数值，解方程是一个过程.方程的解的意义：代入方程后，使得方程左右两边的值相等.
任务二：探究检验某个值是否是方程的解的方法
如：对于方程 3x-3=21.
检验：当x=8时，左边=3×8-3=21，右边=21，
∴ 左边=右边
∴ x=8是方程的解.
【总结】判断一个数值是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算；
２.将数值代入方程右边进行计算；
３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
师生活动：学生自学教材，先独立思考，然后小组合作探究、讨论交流.在这个过程中，教师适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充.
设计意图：通过学生自学教材，独立思考，小组合作探究，讨论交流等活动，让学生理解方程、方程的解与解方程等概念，掌握检验某个值是否是方程的解的方法.在这个过程中，培养了学生自学、观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力.
（三）应用举例
例1：根据题意，设未知数并列出方程．
（1）已知长方形的周长是16cm，长比宽多2cm，则这个长方形长是多少？
（2）把若干本书发给学生．如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本．共有多少名学生？
分析：（1）长=宽+2；2（长+宽）=周长；（2）学生人数×4+2=书的本数；学生人数×55=书的本数.
解：（1）设这个长方形的长是xcm，则宽是（x-2)cm,根据题意，得： 2[x+(x-2)]=16
（2）设共有y名学生，根据题意，得：4y+2=5y5
例2：下列各数中，哪些是方程x（x+3）=180的解？
15，12，12，15.
回顾：判断一个数值是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算；
２.将数值代入方程右边进行计算；
３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
解：当x=15时，左边=15 ×（15+3）=180，右边=180,所以左边=右边,所以x=15是方程的解.
合作探究：1.先独立判断后面三个数是不是方程的解；2.小组交流后分组展示成果.
解：当x=-12时，左边=-12 ×（-12+3）=108，右边=180,所以左边≠右边,所以x=-12不是方程的解.
当x=12时，左边=12 ×（12+3）=180，右边=180,所以左边=右边,所以x=12是方程的解.
当x=15时，左边=15×（15+3）=270，右边=180, 所以左边≠右边,所以x=15不是方程的解.
设计意图：通过例1,让学生寻找相等关系、列出方程，帮助学生积累数学活动经验，培养学生对方程的应用意识，通过例2,让学生掌握检验某个值是不是方程的解的方法，进一步发展学生的思维能力.
（四）课堂练习
1.下列各式中，不是方程的是( )
A. B. C. D.
解：D
2.已知九年级某班名学生种树棵，男生每人种棵树，女生每人种棵树设男生有人，则( )
A. B.
C. D.
解：D
3.如图，在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为，则列出方程正确的是( )
A. B.
C. D.
解：D
4.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字已知孟子一书共有个字，设这个学生第一天读个字，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
解：A
5.某厂月份的产值是万元，比月份的产值的倍少万元，若设月份的产值为万元，则可列出的方程为 ．
解：
6.一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
解：一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
即该列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
所以，的解是；
即按此规律，解是的方程为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
通过本节课的学习，你有什么收获？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第三章 一次方程与方程组
3.1方程
第2课时 等式的基本性质
1.理解、掌握等式的基本性质.
2.会用等式的基本性质解简单的方程.
3.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力.
4.培养学生言必有据的思维能力和良好的思维品质.
重点：理解和应用等式的基本性质.
难点：会用等式的基本性质把简单的方程化成“x=a”.
创设情境
展示生活中的跷跷板和天平
原理：当左右两边的物体质量相等时，跷跷板或者天平保持平衡.
设计意图：从生活中常见的跷跷板和天平入手，让学生体会数学与生活的密切联系，增强学生对数学的应用意识.利用跷跷板和天平的平衡原理学习等式的基本性质，学生更容易理解.
（二）探究新知
任务一：探究等式的基本性质
合作探究：
1.自学教材94-95页内容；
2.小组讨论交流：如何利用天平平衡条件得出等式的基本性质；
3.理解并掌握等式的基本性质.
【探究】等式的基本性质1
天平两边同时加入相同质量的砝码，天平仍然平衡；
天平两边同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡.
等式的基本性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式，即
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c．
【探究】等式的基本性质2
等式的基本性质2 等式的两边都乘以(或除以)同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即
如果a=b，那么ac=bc， = (c≠0)．
【注意】除数不能为0.
等式的基本性质3（对称性） 如果a=b，那么b=a．
等式的基本性质4（传递性） 如果a=b，b=c，那么a=c．
等量代换：根据等式的基本性质4，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
师生活动：学生自学教材，先独立思考，然后小组合作探究、讨论交流.在这个过程中，教师适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充.
设计意图：通过学生自学教材，独立思考，小组合作探究，讨论交流等活动，让学生理解、掌握等式的基本性质.在这个过程中，培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力，以及言必有据的思维能力和良好的思维品质.
（三）应用举例
例1：指出下列等式变形的依据：
（1）如果5x+3=7，那么5x=4；
（2）如果-5a=-5b，那么a=b；
（3）如果-0.25=x，那么x=-0.25；
（4）如果x=y，y=z，那么x=z.
解：（1）依据【等式的基本性质1】两边同时减去3.
（2）依据【等式的基本性质2】两边同时除以-5.
（3）依据【等式的基本性质3】即等式的对称性.
（4）依据【等式的基本性质4】即等式的传递性.
【提示】要判断变形的依据是什么，首先要看原等式两边是怎么变化的.
例2：解方程：3x-3=21.
【分析】解方程就是运用等式的基本性质将方程化为x=a（a为常数）的形式.
解：两边都加上3，得 3x=21+3 （等式的基本性质1)
即 3x=24
两边同除以3，得 x=8 （等式的基本性质2)
检验：把x=8代入原方程，得
左边=3×8-3=21
右边=21
即左边=右边
所以x=8是原方程的解．
设计意图：通过两个不同类型的例题，让学生理解、掌握等式的基本性质，并学会用性质解简单的方程.
（四）课堂练习
1.如果，那么下列等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
解：D
2.设，，是有理数，下列判断正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
解：B
3.把方程的系数化为的过程中，最恰当的叙述是( )
A. 给方程两边同时乘 B. 给方程两边同时除以
C. 给方程两边同时乘 D. 给方程两边同时除以
解：C
4.下列各种变形中，不正确的是( )
A. 由可得到 B. 由可得到
C. 由可得到 D. 由可得到
解：C
5.由解方程得到方程的解为，可分两步，按步骤填空：
第一步：根据等式的性质 ，两边同时 ，得
第二步：根据等式的性质 ，两边同时 ，得 ．
解：，减去，除以
6.运用等式的性质解下列方程并检验：
．
解：两边同减去，得，
两边同除以，得，
当时，左边右边，
所以是方程的解．
两边同减去，得，
两边同除以，得，
当时，左边右边，
所以是方程的解．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
通过本节课的学习，你有什么收获？
设计意图：让学生自行总结，活跃课堂气氛，做到全员参与，理清知识脉络，强化重点，培养学生口头表达能力.

展开更多......

收起↑