资源简介

28.1 锐角三角函数（第3课时 特殊锐角三角函数值）
教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》九年级下册第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数，内容包括：特殊锐角三角函数值.
2.内容解析
本节课的内容在整个三角函数知识体系里那可是相当重要。它是在学生学习了锐角三角函数的概念之后，进一步对特殊角的三角函数值进行深入探究。这些特殊角的三角函数值不仅是后续解决各类三角函数相关问题的基础，像在物理中的力学分析、工程中的角度计算等实际应用中都离不开，而且对于培养学生的数学运算能力、逻辑推理能力以及数学应用意识都有着关键作用。
基于以上分析，本节课的教学重点是: 学生要能准确记住30°、45°、60°角的三角函数值，会根据这些特殊角的三角函数值进行简单的计算.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）. 学生要能准确记住30°、45°、60°角的三角函数值，会根据这些特殊角的三角函数值进行简单的计算；
（2）. 通过探究特殊角的三角函数值的推导过程，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力；
（3）. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。让同学们感受到数学不是枯燥无味的，而是充满乐趣和挑战的.
2.目标解析
（1）教材由提问引入，并引导学生通过观察、推导等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣；
（2）培养学生对特殊三角函数值的理解和运用能力，对特殊三角函数值形成正确的认识；
（3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.
三、教学问题诊断分析
在知识方面，学生对锐角三角函数的概念有了一定的理解。但是啊，对于特殊角的三角函数值，他们可能还只是一知半解。在能力上，这个年龄段的学生，形象思维比较活跃，抽象思维正在逐步发展。所以在教学过程中，得通过多种直观的方式，帮助他们理解和记忆这些特殊值。在素质方面，学生的数学思维能力和空间想象能力需要得到进一步的锻炼。行为习惯上，部分学生可能存在依赖老师、缺乏独立思考的问题，自主学习和探究的能力有待提高，这可能会影响他们对新知识的接受和掌握。此外，学生在课堂上的参与度和积极性也是需要关注的，因为这对他们理解和应用新知识至关重要。
基于以上分析，本节课的教学难点为: 通过探究特殊角的三角函数值的推导过程，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力.
四、教学过程设计
（一）情景导入
问1.三角尺天天见，那你知道两块三角尺中有几个不同的锐角？
这副三角尺有3个不同的锐角
问2.这三个锐角分别是多少度？
这三个锐角分别为30°、45°和60°.
【设计意图】通过提问引入，问题来源于生活，激发学生的学习兴趣.
（二）新知探究
问3.你能求出这三个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗？
解：设所对的直角边长为，
那么斜边长为，
则
∴,,.
,,.
解：设所对的直角边长为，
另一直角边长为
则
∴,,.
归纳
【设计意图】通过探究特殊角的三角函数值的推导过程，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力,从中获得成功的体验，激发学习激情.
（三）典例讲解
例1.求下列各式的值
(1) (2)
解:(1)原式=
(2)原式=
例2.(1)如图，在中，°，，求的度数．
解:(1)∵
∴
例2.(2)如图，是圆锥的高，是底面半径，，求的度数.
解:(2)∵
∴
例3.如图,中,,平分,,,求的度数及的长.
解:∵,,
又∵,
∴ 即,
∵平分,∴
∴
∵
∴
∵
【设计意图】通过例题讲解让学生熟记特殊三角函数值，并能利用特殊三角函数值解决比较简单的问题.
（四）针对训练
1.计算：(1)；
(2);
(3)
解(1)：原式．
(2)原式
．
(3)原式
=
=
=．
2.已知是锐角，且．
求的值．
解：∵是锐角，且，∴，
∴
,
．
3.计算：(1)
(2)
(3)
解(1)：原式．
(2)原式
．
(3)原式．
4. 先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数．
解：原式
，
，
∵，
∴与最接近的整数是，即，
原式．
5.若中，所对的边是，所对的边是，满足，判断的形状
解：∵，
∴且，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形．
6.如图，在中，,,,求的长度
解：过点作于点.
∵，
∴
,
,
,
∴
【设计意图】巩固学生熟记特殊三角函数值和利用特殊三角函数值进行计算，求角的度数和线段的长度等问题，学会通过作辅助线构造直角三角形解决问题.
（五）拓展探究
1.在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为A().
(1)求与的值
解:(1)∵反比例函数的图象过点()，
∴即
∵一次函数的图象过点
∴
(2)设一次函数的图象与轴交于点，连接，求的度数.
解(2)过点作轴于点.
∵一次函数∴()即.
∵,
∴
∴，
∴
∴
∴
2.如图，在四边形中，连接，，，．若，，求的值 ．
解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，
在中，，
∴ 即，
设BE为x，DE为y，
则根据勾股定理可得：，
即：，
，，
，
，
，
，即；
根据
解得：，
则
【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的能力.
（六）当堂巩固
1.下列三角函数值是有理数的是（ A ）
A． B． C． D．
2.为锐角，且，则的范围是（ C ）
A． B．
C． D．
3.若，则锐角的度数是____
4.在中，若，，都是锐角，则是 等腰直角____三角形．
5.计算：(1)．
(2)．
(3)
解:(1)原式
．
(2)原式．
(3)原式
．
6.先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
∵，
∴原式．
7.在中，，,
(1)求的长
(2)利用此图形求的值.(结果精确到0.1,参考数据：,,)
解:(1)过点作，交的延长线于点.
∵，∴
在中，∴,，
∴
.
在中，,
∴,
∴
(2)在上取一点，使得，连接.
∵，
∴
∴
【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题.
（七）小结梳理
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统地回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握.
（八）布置作业
P67 练习1、2题.
五、教学反思

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