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等式与不等式
第一课时 教学设计
教学目的：
1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；
2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会利用作差比较法比较大小；
3. 掌握不等式性质1、2.
教学重点：作差比较法.
教学难点：作差比较法：作差→变形→判断差值的符号.
教学过程：
一、情景引入
现实世界中，既有大量的相等关系，又广泛地存在着不等关系。在日常生活中，我们经常用大与小、重与轻、长与短、高与矮、不低于或不超过等来描述客观对象在数量上的不等关系。下面的限高标志与限重标志的含义是什么？
在图2.1-1（1）中，该图标的意思是机动车的总高度h（m）不可超过3.5 m，即h≤3.5；
在图2.1-1（2）中，该图标的意思是机动车的总质量M（t）不可超过50 t，即 M≤10.
我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题，下面看两个具体的问题。
案例1 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图2.1-2(1)所示，其中的几何图形取材于我国古代数学家对勾股定理的证明，如图2.1-2(2). 图2.1-2(2)中的正方形ABCD由4个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b(a≠b)，那么正方形ABCD的边长为．
又4个直角三角形的面积之和为，正方形ABCD的面积为a2+b2，并且正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积之和，于是可得到如下不等式：
a2+b2>2ab(a≠b)．
案例2 某商品以单价10元销售，每月可以卖出2500件.据市场调查，若单价每提高1元，月销售量就会减少50件.若提价后该商品的单价为x元，则月销售量为[2500-50(x-10)] 件.于是不等关系“月销售收入不低于30 000元”可以用不等式[2500-50(x-10)]x≥30000表示.
为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质做必要的了解.
二、性质探究
我们知道，利用数轴可以比较任意两个实数的大小.如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应两个不同的实数a与b，那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
关于实数a与b大小的比较，有以下基本事实：
如果，那么；
如果，那么；
如果，那么.
反过来也成立.即
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差与0的大小就可以了.例如，若要证明x≤a，只需证明x-a≤0即可.
例1 比较(x+1)(x+3)与(x+2)2的大小.
解： ∵(x+1)(x+3)-(x+2)2
=(x2+4x+3)-(x2+4x+4)
=-1< 0
∴(x+1)(x+3)<(x+2)2
结论：作差比较法可以用来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.?
例2 a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a>b>0，m>0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明.
解　因为加糖后糖水更甜，即糖水中糖的浓度变大，所以提炼出的不等式为：
　　　　　，其中a>b>0，m>0.
　下面用作差比较法给出证明.
　因为a，b，m都是正数，且a>b，
所以a+m>0，a－b>0．
　因此
　即
假设有一种机器可以抽取糖水中的糖，生活常识告诉我们：若从糖水中抽掉m g糖，则糖水会变淡. 于是提炼出一个不等式：若a>b>m>0，则
你能证明这个不等式吗？
你能否用作差比较法证明下列不等式性质？
性质1 如果a>b，那么bb．即
a>bb证明：∵a>b
∴a-b>0
由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0．
即b-a<0
∴b(性质1的后半部分略)
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c．即
a>b，b>ca>c(传递性)
证明：∵a>b，b>c
∴a-b>0，b-c>0
因此a-c=(a-b)+(b-c)>0 (理由：正数+正数=正数)
即a>c.
三、课堂练习
1.比较大小：
（1）（x+1）（x-3）与（x+2）（x-4）
解：（x+1）（x-3）-（x+2）（x-4）=5>0，所以（x+1）（x-3）>（x+2）（x-4）
（2）与
解：-()=，所以（x+1）（x-3）≤（x+2）（x-4）
（3）与
解：（）-=>0，所以>
2.若a解：
所以>
四、小结
本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.
在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小.它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系.

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