资源简介

等式与不等式
第二课时 教学设计
教学目的：
1.熟练掌握不等式的基本性质1、2、3的应用；
2.掌握并会证明不等式的基本性质4及其推论1、2；
3.掌握反证法证明不等式的基本性质5
教学重点：不等式的基本性质4、5的证明
教学难点：不等式的基本性质4的应用
教学过程：
一、复习引入
上节课我们学习了哪些知识和方法？
作差比较法：作差——变形——判断符号.即
性质1 对称性：a>bbb
性质2 传递性：a>b，b>ca>c
本节课我们继续探究不等式的性质.
二、性质探究
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c．
证明：∵a>b
∴a-b>0
∴(a+c)-( b+c)>0，即
a+c>b+c
推论1 如果a+b>c，那么a>c-b．
证明：∵a+b>c
∴a+b+(-b) >c+(-b)
∴a>c-b
推论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d．
证法一：
a+c>b+d
证法二：
a+c>b+d
注意：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论.
性质4 （1）如果a>b，c>0，那么ac>bc.
（2）如果a>b，c<0，那么ac证明：∵a>b
∴a-b>0
（1）若c>0，
则ac-bc=(a-b)c>0．（理由：正数×正数=正数）
即ac>bc．
（2）若c<0，则ac-bc=(a-b)c<0．（理由：正数×负数=负数）
即ac推论3 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．
证明： ①
又 ∴ ②
由①、②可得
推论4 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
推论5 如果a>b>0，那么.
证明：假定不大于，有两种情况：或者
由推论2和性质1，当时，有；当时，显然有.
这些都同已知条件矛盾，所以
性质5 （1）如果a>b，且ab>0，那么.
（2）如果a>b ，且ab<0，那么.
证明：
（1）当a>b，且ab>0时，有，即.
（2）当a>b，且ab<0时，有，即.
例1 已知a>b，cb-d．
证明：由c-d，再由a>b和推论2可得a-c>b-d．
例2 求证：如果，且，那么．
证明：∵ ∴，再由推论3可得．
三、课堂练习
求证：
（1）若，且，则；
证明：由题意可知.
（2）若a>b，且a，b同号，c>0，则；
证明：由题意可知a>b，且ab>0，所以.
又因为c>0，所以.
（3）若a>b >0，且c>d>0，则.
证明：∵，∴，再由推论3可得
再由性质5可得.
四、小结
本节课主要探究了不等式的几条性质及其推论，在性质的证明过程中我们练习巩固了作差比较法。

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