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基本不等式
【基础回顾】
知识点1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
知识点2．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
[必备知识]
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
题型一 基本不等式的理解及常见变形
基本不等式的常见变形
(1)积，和与平方和的关系：ab≤≤.
(2)不等式串：≤≤≤(a>0，b>0)．()
【例题精讲】
1．已知a＞2，则的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴，
当且仅当，（a﹣2）2＝4，又a＞2，即a＝4时，等号成立．
故选：D．
2．已知正数x，y满足x+y＝2，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为x+y＝2，所以x＝2﹣y，
则．
因为3（x+y）＝6，可得3x+6+3y+4＝16，即3（x+2）+（3y+4）＝16，
所以1＝（） [3（x+2）+（3y+4）]﹣1[12+3]﹣1（15+2）﹣1，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值是．
故选：A．
3．已知正实数a，b，满足，则a+b的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b，
∴（a+b）2≥（）（a+b）2，
当且仅当4a2＝9b2，即2a＝3b时取等号，
所以a+b，
a+b的最小值为．
故选：D．
（多选）4．已知正数x，y满足2x+y＝xy﹣6，下列结论正确的是（　　）
A．x＞2 B．y＞2
C．2x+y的最小值为12 D．x+2y的最小值为14
【答案】BC
【解答】解：选项A：由2x+y＝xy﹣6，得y，因y＞0，x＞0，且2x+6＞0，故分母x﹣1＞0，即得x＞1，
不妨取x，则y＝18，等式2x+y＝xy﹣6成立，但x＜2，故A错误；
选项B：由2x+y＝xy﹣6，得y2，因x＞1，故0，从而y＞2，故B正确；
选项C：由2x+y＝xy﹣6，得y，则2x+y＝2x2（x﹣1）4≥24＝24＝12，
当且仅当2（x﹣1），即x＝3，y＝6时取得等号成立；2x+y的最小值为12，故C正确；
选项D：由2x+y＝xy﹣6，得y，
则x+2y＝x（x﹣1）5≥25＝8+5＝13，
当且仅当x﹣1，即x＝5，y＝4时取得等号成立，即x+2y的最小值为13，故D错误；
故选：BC．
（多选）5．下列命题正确的是（　　）
A．的最小值为2
B．的最小值为2
C．若a＞0，且a2﹣b+4＝0，则的最大值为
D．若x＞0，y＞0，x+y+xy﹣3＝0，则x+y最小值为2
【答案】CD
【解答】解：对于A，令x＝﹣1，y＝﹣2＜2，故A错误；
对于B，令x＝0，y＝0＜2，故B错误；
对于C，将b＝a2+4代入得原式，
因为a＞0，故，当且仅当a＝2时取等号，
故原式的最大值为，故C正确；
对于D，因为x＞0，y＞0，故由x+y+xy﹣3＝0得：
，（当且仅当x＝y＝1时取等号），
解得x+y≥2，或x+y≤﹣6（舍），
故x+y的最小值为2，故D正确．
故选：CD．
题型二 利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【例题精讲】
1．已知实数x，y满足xy+3x＝3，且，求的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解答】解∵xy+3x＝3，
∴，
∵，
∴，即y+3＞6，
∴y﹣3＞0，
∵，
∴，
当且仅当，即y＝4时等号成立，
∴最小值为 8．
故选：D．
2．设，则（　　）
A．f（x）min＝1 B．f（x）max＝1
C．f（x）min＝﹣1 D．f（x）max＝﹣1
【答案】D
【解答】解：由x∈（﹣1，1），可得1﹣x∈（0，2），
所以，
当且仅当，即x＝0时等号成立，故[f（x）]max＝f（0）＝﹣1．
故选：D．
3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．18
【答案】D
【解答】解：根据题意，可得，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以函数f（x）的最小值为18．
故选：D．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．已知x＞0，y＞0，且x+4y＝xy，则（　　）
A．xy的最大值是16
B．x2+16y2的最小值为128
C．的最小值为10
D．的最小值为
【答案】BD
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+4y＝xy，所以xy≥2，当且仅当x＝4y，即x＝8，y＝2时取等号，
即（）2≥4，解得4，解得xy≥16，即xy的最小值为16，所以A不正确；
x2+16y2128，当且仅当x＝4y，即x＝8，y＝2时取等号，所以x2+16y2的最小值为128，所以B正确；
因为4（x）+y4x+y4x+y4x+y+1，
由x+4y＝xy，可得1，x＞0，y＞0，所以4x+y+1＝（4x+y）（）+1＝16+11≥18+226，当且仅当y＝x，即y＝x＝5时取等号，
即4（x）+y的最小值为26，所以C不正确；
5，设t，且4，
令f（t）＝5t，t≥4时函数单调递增，所以f（t）≥5×4，
即，即的最小值为，所以D正确．
故选：BD．
（多选）5．已知正实数a，b满足ab+a+b＝8，下列说法正确的是（　　）
A．ab的最大值为2
B．的最小值为
C．a+9b的最小值为8
D．的最小值为
【答案】BD
【解答】解：选项A，因为ab+a+b＝8，且a，b为正实数，
所以，当且仅当a＝b时，等号成立，
即，
解得：，所以0＜ab≤4，
即ab的最大值为4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；
选项B，因为ab+a+b＝8，且a，b为正实数，则ab+a+b+1＝9，
即（a+1）（b+1）＝9，即，
所以，
当且仅当，即a＝3时等号成立，故B正确；
选项C，因为ab+a+b＝8，所以（a+1）（b+1）＝9，
所以，
当且仅当a+1＝9（b+1），即a＝8，b＝0时取等号，
因为a，b为正数，故等号不能成立，即C错误；
选项D，由ab+a+b＝8，知a（b+1）＝8﹣b，a，b都是正数，所以0＜b＜8，
所以8﹣b＞0，
可得，
设y＝﹣b2+8b，b∈（0，8），
所以b＝4时，ymax＝﹣16+32＝16，
所以的最小值为，即D正确．
故选：BD．
题型三 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
【例题精讲】
1．当x＞0时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤90 B．a＜90 C．a≤88 D．a＞88
【答案】A
【解答】解：当x＞0时，不等式恒成立 ，（x＞0）．
∵当x＞0时，y＝x90，当且仅当x＝45时，取等号．
∴a≤90．
故选：A．
2．若关于x的不等式对于任意x＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解答】解：，即，x＞0，故，
则，，当且仅当，x＝1时等号成立，故．
故选：A．
3．已知x＞0，y＞0，且，若m2﹣3m﹣x﹣y＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．{m|﹣2＜m＜3} C．{m|﹣4＜m＜1} D．{m|﹣1＜m＜4}
【答案】D
【解答】解：设a＝x+2（a＞2），则x＝a﹣2，由，得，
当且仅当a＝y＝3时取等号，故x+y＝（a﹣2）+y≥4，
由m2﹣3m﹣x﹣y＜0恒成立，得m2﹣3m＜4，即m2﹣3m﹣4＜0，解得﹣1＜m＜4．
故选：D．
二．填空题（共2小题）
4．已知正实数x，y满足x+2y＝2，若不等式3x2﹣2mxy+6y2+2x+4y＞0恒成立，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，22）　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+2y＝2，
所以（x+2y）2＝4＝2（x+2y）＝2x+4y且xy＞0，
所以由不等式3x2﹣2mxy+6y2+2x+4y＞0恒成立得出：
3x2+6y2+2x+4y＞2mxy，
即m
恒成立，
所以等价于求解的最小值，m＜（2）min即可，
而，
当且仅当，
即时等号成立，
所以的最小值为，即，
所以m的取值范围是：．
故答案为：．
5．定义max{x，y}表示实数x，y中的较大者，若a，b，c是正实数，则的最小值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：记，
当时，，，
当且仅当，，时，等号成立．
当c时，M≥a2，显然等号无法取得，
综上所述，M的最小值是．
故答案为：．
题型四 基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
【例题精讲】
1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关，假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速，当安全距离d0取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　）
A．90 B．96 C．110 D．122
【答案】B
【解答】解：当d0＝50时，（v＞0），
分子分母同除以v，得，
由基本不等式，，当且仅当时取等号，
故，则．
故选：B．
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　）
A．12件 B．24件 C．36件 D．40件
【答案】D
【解答】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，
则由题意可得，当且仅当x＝40时取得最小值，
即当每批应生产产品40件时y最小．
故选：D．
（多选）3．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（　　）
A．x＝10时费用之和有最小值
B．x＝45时费用之和有最小值
C．最小值为850万元
D．最小值为360万元
【答案】BD
【解答】解：设一年的总运费与总存储费用之和为f（x），
则f（x）＝4x4x （0＜x≤900），
由基本不等式得：4x360，当且仅当4x，即x＝45时，等号成立，
∴当x＝45时，f（x）取得最小值360万元．
故选：BD．
4．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3，AD＝2，那么要使矩形花坛AMPN的面积大于27，则DN的取值范围为　（0，1）∪（4，+∞）　 ．
【答案】（0，1）∪（4，+∞）．
【解答】解：设ND＝x＞0，根据矩形的性质，易知△NDC～△CBM，可得，
代入可得，解得，
则矩形花坛AMPN的面积为，
令，解得x＜1或x＞4，
综上，0＜DN＜1或DN＞4．
故答案为：（0，1）∪（4，+∞）．
5．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于96m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式（组）表示其中的不等关系是　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18 m，所以0＜x≤18，
这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积96，
故不等关系表示为．
故答案为：．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　）
A． B．a2＜b2 C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A：因a＜b＜0，故b﹣a＞0，ab＞0，，即，A错误．
选项B：因a＜b＜0，故|a|＞|b|，则a2＝|a|2＞|b|2＝b2，B错误．
选项C：因a＜b＜0，故，且，由基本不等式，，
等号不成立，故，C正确．
选项D：因a＜b＜0，故，，则，D错误．
故选：C．
2．已知四个数，，c＝ln2，d＝ln5，其中最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】D
【解答】解：ln2＞0，ln5＞0，且ln2≠ln5，
得，
又ln5＞ln2，所以d＞a＞c，
则a，b，c，d中最大的是d．
故选：D．
3．已知正数x，y满足2x+y＝1，则的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．10
【答案】B
【解答】解：因为2x+y＝1，所以，
当且仅当时取等号，即时取等号．
故选：B．
4．已知关于x的不等式ax2+2bx+4≤0的解集为，其中m≤﹣2，则b的最小值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：由于ax2+2bx+4≤0的解集为，
故是一元二次方程ax2+2bx+4＝0的两个实数根，且a＞0，
故且，故a＝1，
则，
当m≤﹣2，则，当且仅当m＝﹣2时取等号，故b≥2．
故选：C．
5．已知0＜x＜1，则的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【解答】解：因为0＜x＜1，
所以0，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值是4．
故选：A．
6．已知正实数a，b满足2a+b＝3，则的最小值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：，
已知正实数a，b满足2a+b＝3，
则2a+b+1＝4，
所以，
当且仅当时，即a＝b＝1时取到等号，
故，
则的最小值为5．
故选：B．
7．如果正数a，b，c，d满足a+b＝c2+d2＝4，那么（　　）
A．a2+b2≥4cd，且等号成立时a，b，c，d取值唯一
B．a2+b2≤4cd，且等号成立时a，b，c，d取值唯一
C．a2+b2≥（c+d）2，且等号成立时a，b，c，d取值不唯一
D．a2+b2≤（c+d）2，且等号成立时a，b，c，d取值不唯一
【答案】A
【解答】解：对于AB，因为a，b，c，d为正数，a+b＝c2+d2＝4，
所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
又，当且仅当c，d时等号成立，
所以a2+b2≥4cd，当且仅当a＝b＝2，c＝d时等号成立，故A正确，B错误；
对于CD，（c+d）2≤2（c2+d2）＝8，当且仅当等号成立，
所以a2+b2≥（c+d）2，当且仅当a＝b＝2，c＝d时等号成立，故CD错误．
故选：A．
8．已知a＞0，b＞0，则（　　）
A．a2+b2＞2ab B．
C．a+b D．
【答案】C
【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；
取，则，而9，所以B选项错误；
因为，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x）21，
令，则，
∴x+y2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2∈[，2]，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2，
∴，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．下列命题中正确的是（　　）
A．若a＞0，b＞0，2a+b＝1，则ab的最小值为
B．已知a＞0，b＞0，3a+b＝2，则的最小值是
C．若ab＞0，则的最小值为4
D．若，则2a+3b的最小值为
【答案】BCD
【解答】解：对于A，，解得，平方得，
当且仅当2a＝b，即时取等号，故A错误；
对于B，由3a+b＝2，可得b＝2﹣3a＞0，得，则2a+b＞0，
则，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当a2＝2b2且，即时取等号，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．已知a＞0，b＞0，a+b＝3，则（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为4
D．的最小值为
【答案】ACD
【解答】解：A选项，a＞0，b＞0，，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，，
当且仅当时，等号成立，故，故B错误．
C选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D选项，
，
其中a＞0，b＞0，a+b＝3，
所以
，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．已知x，y为正实数，且，则的最小值为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：x，y为正实数，且，
，
当且仅当，即xy＝1时，等号成立，又，
故时，等号成立．
故答案为：4．
13．定义：min{x，y}为实数x、y中较小的数，已知，其中x、y均为正实数，且2x+y＝1，则h的最大值是　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：由题意可知h＞0，且，，
由不等式的基本性质可得，
而，
即h2≤9，
又因为h＞0，所以0＜h≤3，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此h的最大值为3．
故答案为：3．
14．《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法．如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列四个推理中正确的序号是 　①②③④　 ．
①由图1和图2面积相等得；
②由AE≥AF可得；
③由AD≥AE可得；
④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab．
【答案】①②③④．
【解答】解：对于①：由于图1和图2面积相等，可得ab＝（a+b）d，
可得，故①正确；
对于②：由于AF⊥BC，
可得所以，得，
设图3中正方形边长为t，
由于小三角形（青）与△ABC相似，
可得，解得，
可得，
由于AE≥AF，
可得，整理得，故②正确；
对于③：由于D为斜边BC的中点，
可得，
由于AD≥AE，
可得，整理得，故③正确；
对于④：由于AD≥AF，
可得，整理得a2+b2≥2ab，故④正确．
故答案为：①②③④．
四．解答题（共5小题）
15．（1）已知，求的最大值．
（2）已知x＜3，求的最大值．
（3）当x＞0，y＞0且满足时，有2x+y≥k2+k+3恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）[﹣3，2]．
【解答】解：（1）∵，
∴，
当且仅当2x＝1﹣2x，即时，取等号，函数的最大值为；
（2）由x＜3，
∴，
当且仅当，即时取等号，函数的最大值为；
（3）因为x＞0，y＞0，，
所以，
当且仅当，即x＝y＝3时取等号，
所以2x+y的最小值为9，
又2x+y≥k2+k+3恒成立，则9≥k2+k+3，即k2+k﹣6≤0，
解得﹣3≤k≤2，
所以实数k的取值范围为[﹣3，2]．
16．（1）已知，求x（1﹣2x）的最大值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝4，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）已知，则1﹣2x＞0，
根据基本不等式可得，
当且仅当2x＝1﹣2x，即时，等号成立，
因为，所以x（1﹣2x）的最大值为；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝4，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为．
17．已知a，b为正实数，且ab＝m+n（2a+b）．
（1）若m＝0，n＝1，求a+b的最小值；
（2）若m＝14，n＝﹣1
（ⅰ）求2a+b的最小值；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解答】解：（1）已知a，b为正实数，且ab＝m+n（2a+b），
若m＝0，n＝1，
则ab＝2a+b，，
因为a＞0，b＞0，
所以a﹣1＞0，即a＞1，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
则a+b的最小值为；
（2）若m＝14，n＝﹣1，则ab＝14﹣2a﹣b，变形可得（a+1）（b+2）＝16；
（ⅰ）令t＝a+1，s＝b+2，则st＝16，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
则2a+b的最小值为；
（ⅱ），
令t＝a+1，s＝b+2，则st＝16，
根据基本不等式可得，
当且仅当s＝t＝4时取等号，
则的最大值为．
18．如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为xm，宽为ym．
（1）若有苗区面积为8m2，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为10m，则x，y为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；
（3）若使用的篱笆总长为10m，求的最小值．
【答案】（1）长为4m，宽为2m；
（2）长为5m，宽为；
（3）．
【解答】解：（1）由题知xy＝8，篱笆总长为x+2y（x＞0，y＞0），
将代入总长表达式，得，
由基本不等式，，当且仅当即y＝2时取等号，此时x＝4，
故当x＝4，y＝2时，所用篱笆总长最小．
（2）由题知x+2y＝10，育苗区面积为xy，
由x＝10﹣2y，得面积y（10﹣2y）＝﹣2y2+10y，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为，此时x＝5，面积最大值为，
故当x＝5，时，育苗区面积最大．
（3）由题知x+2y＝10，则，
由基本不等式，，故，当且仅当时取等号，
故的最小值为．
19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式、恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1，求证：.证明：原式.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，，∴，即，∴，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知a b＝1，求的值．
（2）在a＞0的条件下，当a为何值时，有最小值，最小值是多少？
（3）若正数a，b满足a b＝1，求的最小值．
【答案】（1）1；
（2）当时，有最小值；
（3）．
【解答】解：（1）由ab＝1，可得；
（2）∵a＞0，∴，当且仅当，即时，有最小值；
（3）∵
，
∵，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，
即有最小值．基本不等式
【基础回顾】
知识点1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
知识点2．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
[必备知识]
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
题型一 基本不等式的理解及常见变形
基本不等式的常见变形
(1)积，和与平方和的关系：ab≤≤.
(2)不等式串：≤≤≤(a>0，b>0)．()
【例题精讲】
1．已知a＞2，则的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．已知正数x，y满足x+y＝2，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知正实数a，b，满足，则a+b的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
（多选）4．已知正数x，y满足2x+y＝xy﹣6，下列结论正确的是（　　）
A．x＞2 B．y＞2
C．2x+y的最小值为12 D．x+2y的最小值为14
（多选）5．下列命题正确的是（　　）
A．的最小值为2
B．的最小值为2
C．若a＞0，且a2﹣b+4＝0，则的最大值为
D．若x＞0，y＞0，x+y+xy﹣3＝0，则x+y最小值为2
题型二 利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【例题精讲】
1．已知实数x，y满足xy+3x＝3，且，求的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．8
2．设，则（　　）
A．f（x）min＝1 B．f（x）max＝1
C．f（x）min＝﹣1 D．f（x）max＝﹣1
3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．18
（多选）4．已知x＞0，y＞0，且x+4y＝xy，则（　　）
A．xy的最大值是16
B．x2+16y2的最小值为128
C．的最小值为10
D．的最小值为
（多选）5．已知正实数a，b满足ab+a+b＝8，下列说法正确的是（　　）
A．ab的最大值为2
B．的最小值为
C．a+9b的最小值为8
D．的最小值为
题型三 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
【例题精讲】
1．当x＞0时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤90 B．a＜90 C．a≤88 D．a＞88
2．若关于x的不等式对于任意x＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
3．已知x＞0，y＞0，且，若m2﹣3m﹣x﹣y＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．{m|﹣2＜m＜3} C．{m|﹣4＜m＜1} D．{m|﹣1＜m＜4}
4．已知正实数x，y满足x+2y＝2，若不等式3x2﹣2mxy+6y2+2x+4y＞0恒成立，则实数m的取值范围是 　 　 ．
5．定义max{x，y}表示实数x，y中的较大者，若a，b，c是正实数，则的最小值是 　 　 ．
题型四 基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
【例题精讲】
1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关，假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速，当安全距离d0取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　）
A．90 B．96 C．110 D．122
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　）
A．12件 B．24件 C．36件 D．40件
（多选）3．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（　　）
A．x＝10时费用之和有最小值
B．x＝45时费用之和有最小值
C．最小值为850万元
D．最小值为360万元
4．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3，AD＝2，那么要使矩形花坛AMPN的面积大于27，则DN的取值范围为　 　 ．
5．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于96m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式（组）表示其中的不等关系是　 　 ．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　）
A． B．a2＜b2 C． D．
2．已知四个数，，c＝ln2，d＝ln5，其中最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
3．已知正数x，y满足2x+y＝1，则的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．10
4．已知关于x的不等式ax2+2bx+4≤0的解集为，其中m≤﹣2，则b的最小值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
5．已知0＜x＜1，则的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
6．已知正实数a，b满足2a+b＝3，则的最小值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如果正数a，b，c，d满足a+b＝c2+d2＝4，那么（　　）
A．a2+b2≥4cd，且等号成立时a，b，c，d取值唯一
B．a2+b2≤4cd，且等号成立时a，b，c，d取值唯一
C．a2+b2≥（c+d）2，且等号成立时a，b，c，d取值不唯一
D．a2+b2≤（c+d）2，且等号成立时a，b，c，d取值不唯一
8．已知a＞0，b＞0，则（　　）
A．a2+b2＞2ab B．
C．a+b D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
（多选）10．下列命题中正确的是（　　）
A．若a＞0，b＞0，2a+b＝1，则ab的最小值为
B．已知a＞0，b＞0，3a+b＝2，则的最小值是
C．若ab＞0，则的最小值为4
D．若，则2a+3b的最小值为
（多选）11．已知a＞0，b＞0，a+b＝3，则（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为4
D．的最小值为
三．填空题（共3小题）
12．已知x，y为正实数，且，则的最小值为　 　 ．
13．定义：min{x，y}为实数x、y中较小的数，已知，其中x、y均为正实数，且2x+y＝1，则h的最大值是　 　 ．
14．《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法．如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列四个推理中正确的序号是 　 　 ．
①由图1和图2面积相等得；
②由AE≥AF可得；
③由AD≥AE可得；
④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab．
四．解答题（共5小题）
15．（1）已知，求的最大值．
（2）已知x＜3，求的最大值．
（3）当x＞0，y＞0且满足时，有2x+y≥k2+k+3恒成立，求实数k的取值范围．
16．（1）已知，求x（1﹣2x）的最大值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝4，求的最小值．
17．已知a，b为正实数，且ab＝m+n（2a+b）．
（1）若m＝0，n＝1，求a+b的最小值；
（2）若m＝14，n＝﹣1
（ⅰ）求2a+b的最小值；
（ⅱ）求的最大值．
18．如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为xm，宽为ym．
（1）若有苗区面积为8m2，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为10m，则x，y为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；
（3）若使用的篱笆总长为10m，求的最小值．
19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式、恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1，求证：.证明：原式.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，，∴，即，∴，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知a b＝1，求的值．
（2）在a＞0的条件下，当a为何值时，有最小值，最小值是多少？
（3）若正数a，b满足a b＝1，求的最小值．

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