资源简介

4.3用一元一次方程解决问题（第3课时 与图形相关的方程问题） 教学设计
1.教学内容
本课为新教材苏科版七年级上册第四章《一元一次方程》第 4.3 节“用一元一次方程解决问题”中“与图形相关的方程问题”，围绕运用梯形、三角形等图形面积或角度性质、摆放规律等构建等量关系并列方程求解，通过典型实例（如三角形内角、火柴棒或棋子摆放）帮助学生进一步体会将几何问题转化为代数方程求解的思路与方法。
2.内容解析
本节内容以平面几何图形（如三角形、梯形、长方形等）的基本性质或公式为背景，通过实际问题或图形规律构建等量关系，最终归结到一元一次方程的求解过程。它不仅能帮助学生巩固一元一次方程的建模方法，还能加深对几何概念与属性的理解。教学重点在于从问题情境中提取关键数据，正确设立未知数并列出方程。通过对直角三角形、棋子摆放、火柴棒“小鱼”等典型问题的分析，学生可透过计算、检验与推理，培养用代数方法解决几何问题的意识，提升数学应用与逻辑思维能力。本节还注重结果的合理性检验，引导学生反思与拓展。
1.教学目标
能利用公式、性质、规律等构建等量关系，列一元一次方程解决简单的实际问题．
能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理，提高分析问题和解决问题的能力．
经历“问题情境─建立数学模型─解释、应用与拓展”的过程，发展模型观念．
2.目标解析
针对“构建等量关系并列方程”的目标，重点让学生在几何情境中提炼量与量之间的关系，培养转化思维和符号化表达的能力；
针对“检验结果合理性”的目标，通过典型实例让学生认识到方程解的实际意义，防止只关注代数解而忽视现实条件；
针对“建立数学模型”的目标，引导学生经历完整的“提出问题—设立模型—求解计算—结果应用”过程，提升运用数学思想解决实际问题的意识。
3.重点难点
教学重点：根据简单几何性质或图形摆放规律，正确设未知数并列出一元一次方程。
教学难点：从几何背景或数形结合的情境中抽象出等量关系，尤其要准确捕捉实际约束条件并进行合理性检验。
学生已具备一元一次方程的解法基础，也对三角形、梯形等图形的常用性质有所了解，但在综合运用代数与几何知识时，往往对建模思路和等量关系的抽象较为陌生。尤其是从图形规律到方程的转化、生效条件的验证等环节，对部分学生而言会存在难度，需要通过适当的引导和范例演示帮助他们掌握关键步骤。
创设情景，引入新课
问题情境：
教师提问：已经学过的哪些图形公式、性质可以用于构建等量关系？
学生思考并讨论：
长方形，正方形，三角形，梯形，平行四边形，圆等面积公式．
三角形三个内角的和等于180°.…
教师提问：请大家思考，生活或考试中常见的图形问题，比如：判断一个三角形是否是直角三角形，求黑白棋子的排布数量，或者像塔灯、火柴棒搭建“小鱼”、梯形求下底等，都可以用什么方法来求解？
【设计意图】通过回顾以往学习的图形公式及性质，创设与日常生活、实际场景相结合的问题情境，激发学生对“与图形相关的方程问题”的兴趣，同时使他们意识到构建等量关系、列一元一次方程的重要性，为后续探究做好知识与思维准备。
探究点1：设未知数常用的方法
1.典例分析：
例1 已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状．
教师提问：判断三角形形状的依据是什么？三角形三个内角之间有什么关系？
分析：这个问题中的等量关系：第一个角＋第二个角＋第三个角＝180°.
解：设三角形三个角的大小分别为2x，3x，5x．
根据题意，得　　　2x＋3x＋5x＝180°.
解这个方程，得　　　　x＝18°.
所以 2x＝36°，3x＝54°，5x＝90°.
所以三角形三个角的大小分别为36°，54°，90°.
答：这个三角形是直角三角形．
【知识补充】 在比例问题中，常设“每一份”为x.若甲、乙的配比为m:n，即设甲为mx，乙为nx.
教师提问：如何设未知数？设未知数的依据是什么？
2.交流讨论，共同总结得：
设未知数常用的方法：
(1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况；
(2)间接设法：当直接设元列方程较烦琐或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量；
(3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还需增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求．
【设计意图】通过具体问题让学生回顾“三角形内角和”的性质，体会“设每一份为”的思想方法，让学生在简单的数形结合问题中熟悉如何由几何性质构建等量关系，逐步提升数学建模能力。
探究点 2：用一元一次方程解决与图形变化规律有关的问题
1.典例分析：
例2 用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色棋子的个数有可能是50吗？
解：设第m个图形中有黑色棋子50个．
根据题意，得　　 3m＋1＝50．
解这个方程，得　　 m＝．
m＝不是整数，不符合题意.
答：图形中黑色棋子的个数不可能是50．
注意：实际问题要根据实际意义检验所得的结果是否合理．
变式 如图， 用同样大小的棋子按以下规律摆放：
按此规律摆放，是否存在2 024枚棋子摆放出的图形？若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由.
解：不存在2 024枚棋子摆放出的图形. 理由如下，
设摆放出的第n个图形的棋子有2 024枚.
根据题意，得6＋3(n－1)＝2 024 .
解这个方程，得n＝.
因为不是正整数，所以不存在2 024枚棋子摆放出的图形.
2.交流讨论，共同总结得 ：
用一元一次方程解决与图形变化规律有关的问题的方法：
(1)根据图形摆放的规律，用含n的代数式表示第n个图形中的数量；
(2)根据问题中条件“第n个图形具体数量”列出方程；
(3)解方程作出判断，若能解出正整数n，则存在，反之，则不存在．
注意检验!
【设计意图】该探究点让学生感受“带参规律”的图形摆放问题时，需要“先用建立代数式，再列一元一次方程”。教学中提醒学生：不仅要解方程，更需要检验解在情境中的合理性，以培养严谨的数学思维和应用意识。
1． 已知一梯形的面积是120，上底是12，高是8，求下底的长．
解：设下底的长为x．
根据题意，得　　 ×(12＋x)×8＝120．
解这个方程，得　　 x＝18．
答：下底的长为18．
2.在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有一个问题：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？(倍加增指下一层灯的盏数比上一层增加1倍)请你解决这个问题．
解：设顶层x盏灯．
根据题意，得　　 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381．
解这个方程，得　　x＝3．
答：顶层3盏灯．
3．按如图所示的方式搭“小鱼”，若用了140根火柴棒，则“小鱼”有多少条？
解：设“小鱼”有n条．
根据题意，得　　 6n＋2＝140．
解这个方程，得　　 n＝23．
答：“小鱼”有23条．
拓展提升
1．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙两人完成零件个数之比为1∶2，乙与丙完成零件的个数比为3∶4，现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了多少个零件？
解：设乙做了6x个零件，则甲做了3x个零件，丙做了8x个零件.
根据题意，得 8x＋6x＋3x＝51.
解这个方程，得 x＝3.
8x＝24.
答：丙做了24个零件.
2．如图，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小相同的小长方形(空白部分)，其中AB＝5cm， BC＝9cm.
(1)求小长方形的长和宽；(2)阴影部分图形的总面积为________.
思考：小长方形的长和宽与大长方形的长和宽有关系吗？如果有，什么关系？
分析：小长方形的长与宽的和为5cm，小长方形的1个长与3个宽的和为9cm。
解：(1)设小长方形的长为 x cm，则由图易知宽为(5－x ) cm，
根据题意，得 x＋3(5－x )＝9，
解这个方程，得 x＝3.
所以 5－3＝2(cm).
答：小长方形的长为3 cm，宽为2 cm.
(2)5×9－5×2×3＝15 .
真题感知
（南京中考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30 ℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100 ℃，流速为15 mL/s.某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280 mL温度为60 ℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时间．
解：设该学生接温水的时间为x s.
根据题意，得 20x×(60－30)＝(280－20x)×(100－60).
解这个方程，得 x＝8.
所以 20×8＝160，
280－160＝120，
120÷15＝8(s).
答：该学生接温水的时间为8 s，接开水的时间为8 s.
【设计意图】通过具有一定难度的几何与代数综合运用题，引导学生在更广泛的情境中熟练使用一元一次方程，培养多元思考与模型建构能力。
主板书 4.3用一元一次方程解决问题（第3课时 与图形相关的方程问题） 探究点1 设未知数常用的方法 探究点 2 用一元一次方程解决与图形变化规律有关的问题 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演
1. 基础练习：完成课本相关练习中“与图形相关的方程问题”部分的计算题。
2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用图形解决方程问题。

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