资源简介

5.3 转化 表达 教学设计
1.教学内容
本课为新教材苏科版七年级上册第五章《走进几何世界》5.3《转化 表达》，主要涉及立体图形与平面图形的转化，以及数形结合的基本思想。教学中重点引导学生通过折叠、展开、画直观图等活动，感受由三维到二维、由形到数的多维度思考。
2.内容解析
本节围绕“折叠与展开”“平面直观图绘制”“数与形的转化”三个板块展开。通过观察不同角度下的几何体以及纸盒、圆柱等的展开图，学生直观理解立体与平面的对应关系；进而利用数形结合思路，通过有规律的图形来归纳抽象出表达式，从而认识并运用 n 、 等函数关系，初步体会将复杂问题转化成简单几何或数值问题的思路。
1.教学目标
在折叠、展开、画图的操作中体会平面直观图与立体图形之间的转化．
体会数与形的转化，感受数形结合思想．
2.目标解析
通过动手折叠与画图，学生能直观感悟几何体的空间结构与展开规律，实现“形到形”的转化；
借助小正方形的拼接与数式推导，促使学生发现数量关系与几何图形间的对应，实现“形到数”“数到形”的结合。
3.重点难点
教学重点：掌握常见几何体的平面展开方法及其与立体图形的对应规律；
教学难点：运用数形结合思想，构建空间与平面、几何与代数间的转化模型。
本节知识与前期对长方体、正方体、圆柱等图形的感知相衔接，学生在空间想象与画图技巧上具备一定基础。但需要进一步引导他们在折叠与展开中建立更系统的空间概念，并能灵活运用数形结合思想解决综合性问题。
创设情景，引入新课
问题情境：
在日常生活中，人们常常从不同角度去观察同一个物体。例如，我们可以从正面、侧面、俯视等多个角度看到不同的图像。数学中，我们也常常借助“平面直观图”来表示空间中的立体图形。
同时，通过把立体图形展开为平面图形，可以运用平面几何的知识来研究空间中的问题。今天我们就从“折一折、画一画”的实际操作中，感受空间图形与平面图形的转化，实现数与形之间的结合。
【设计意图】通过观察生活情境，引导学生联想到空间图形与平面图形之间的对应关系，激发学生探究几何转换的兴趣，同时明确本节课的学习重点与方向。
探究点1：空间图形的平面直观图与展开图
1.数学活动：
（1）画出正方体纸盒的平面直观图．
解：
（2）① 如图，把一个装墨水瓶的长方体纸盒沿某些棱剪开，铺平后得到一个平面展开图．对比展开前后各个面的位置，你知道有条形码的长方形是原长方体纸盒的哪个面吗？
解：有条形码的长方形在原长方体纸盒的底面．
教师补充：同行(列)隔一相对，异层隔两面相对．
②将无盖圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开(如图)，得到什么平面图形？
解：长方形
思考：① 沿不同的母线剪开，所得到的展开图是否一样？
② 空间图形与其平面展开图中的哪些元素是对应的？
解：一样；圆柱的高与长方形的长对应，圆柱底面图形的周长与长方形的宽对应。
(3)剪出下列各种形状的纸片(如图)，由这些纸片分别可以折出怎样的空间图形？
方法点拨：一般先确定底面，然后找重合的点和边.
解：长方体(无盖)；圆锥(无底)；三棱锥
思考：① 图(1)中，剪去的四角有什么要求？
② 图(2)中，在扇形上画一条直线段，折成空间图形后有什么变化？
③ 图(3)中，三角形纸片的形状有什么要求？
解：边长相等的正方形；直线或曲线；等边三角形
2.交流讨论，共同总结得:
1. 看得见，画实线；看不见，画虚线．
2. 注意哪些位置关系和大小关系保持不变，哪些会失真.
3. 画直观图的目的：一是直观，二是便于用平面几何的知识与方法处理空间图形的问题.
4. 同一个空间几何体，按不同的方式展开，可能得到不同的平面图形.
5. 不是所有的空间几何体都有平面展开图，如球就没有平面展开图.
【设计意图】将操作性与探究性结合，通过观察、思考和动手折叠，帮助学生在具体情境中理解立体图形与平面图形之间的转化方式。同时培养学生的空间想象和抽象概括能力。
探究点 2：数形结合思想——数量关系的几何表达
1.知识链接：
→
同一个正方体展开所得到的平面图形有11种，在展成平面图形的过程中，一共剪了7条棱.
正方体找某一面的对面的口诀：隔面有面是对面，隔面无面就拐弯.
正方体展开图中“一线不过4，田凹应弃之.”
2.新知探究
在数学中，数与形之间也可以相互转化．观察下列图形和对应表达式的变化规律：
【分析】等号左边正方形个数，等号右边正方形边长平方.
(1) 画出第5个图形，写出它对应的表达式，并说明图形和对应表达式之间有什么规律；
解：规律：第n(n为正整数)个图形对应的表达式为1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝．
(2) 利用上面发现的规律计算：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21．
解：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝＝121．
变式：如图，由图①、图②和图③中小正方形个数的关系，得到13＋23＝(1＋2)2＝32.
类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律求13＋23＋33＋…＋1003的值（结果保留幂的形式）.
解：从所给图形可知， ，
类似地，可得
＋＋＝＝，
＋＋＋＝＝，
…
所以 ＋＋＋…＋＝(n是正整数).
当n＝100时， ＋＋＋…＋＝＝．
3.交流讨论，共同总结得：
在数学中，数与形之间也可以相互转化.
观察图形的结构特征，发现数量之间存在的变化规律.
通过观察，把表达式中抽象的数量关系, 转化为适当的几何图形，这是数学中常用的、重要的一种数学思想方法，即数形结合思想.
【设计意图】通过一步步的图形拼接和数值计算，让学生直观地感受数形结合的内在奥妙；结合代数推导和图形“证据”，帮助学生深刻体会转化思想在问题求解中的作用，强化抽象思维能力和空间想象力。
1．图中哪些硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒？先想一想，再折一折，验证你的想法．
解：（1）（3）
【知识补充】判断一个平面图形能否折叠成空间几何体的方法：
(1)看面数够不够；
(2)看各面的位置是否合适，尤其是底面的位置；
(3)看对应边的长度是否相等.
2.哪些几何体可以展开成如图所示的平面图形？请把它们的名称填在相应的横线上．
解：三棱柱；四棱锥；圆柱
3．先在图中的六个正方形中分别填写1，2，3，－1，－2，－3，再把它沿虚线折叠成正方体，使正方体相对面上的两个数互为相反数．
解：
答案不唯一.
4．图(1)～(4)的四个平面图形中，哪一个是由图中的正方体纸盒展开得到的？如有困难，可以动手做一做．
解:(3)
5．如图，由七排小正方形组成一个图案．
(1) 移动小正方形，把上述图案分别重新拼成一个正方形、两个正方形．
(2) 根据(1)中两种拼法，你可以得到怎样的数量关系？
解:(1)
(2)大正方形＝两个小正方形面积和．
变式 如图，每个小正方形的面积均为1.将左图中涂色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数，可以得出图①、图②中的等式．
(1) 请在图③的横线上写出第3个等式；
(2) 用含n(n为正整数)的代数式表示第n个等式:_______________________________.
解:(1)2+4+6+8=4×5
(2)2＋4＋6＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)
真题感知
1.（2024·常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是 (　)
解：B
2.（2024·宿迁）将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是 (　)
A. 自 B. 立 C. 科 D. 技
解：C
【设计意图】通过对立体图形与其平面展开图之间的转化、以及数与形的结合规律的进一步探究，帮助学生在已有理解的基础上实现更高层次的迁移与运用。既关注空间想象力的培养，也注重数形结合思想的应用，为后续学习打下坚实的基础。
主板书 5.3 转化 表达 探究点1 空间图形的平面直观图与展开图 探究点 2 数形结合思想——数量关系的几何表达 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演
1. 基础练习：完成课本相关练习中“转化 表达”部分的计算题。
2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用图形解决问题。

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