资源简介

4.3用一元一次方程解决问题（第2课时 画线形示意图分析数量关系） 教学设计
1.教学内容
本课为新教材苏科版七年级上册第四章《一元一次方程》第 4.3 节“用一元一次方程解决问题”的第 2 课时，核心知识点是“画线形示意图分析数量关系”。通过示意图使抽象的数量关系形象化，帮助学生理解并建立一元一次方程的数学模型，为后续解决利润、行程等实际应用问题打下基础。
2.内容解析
本节主要围绕“线形示意图”展开，先复习用一元一次方程解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答；接着通过多个典型案例（如利润问题、相遇追及问题）示范如何提取关键词，识别等量关系，并用示意图辅助列方程。线形图在直观展现“售价－进价＝利润”等形式或“已行＋余下＝总路程”等关系方面具有优势，能帮助学生认识到建模过程中的“化抽象为具体”原则，同时也给出“单线（单量）”“多线对比（行程追及）”等图形结构的应用场景，深化对方程建模的认识。
1.教学目标
找到并理解蕴含等量关系的关键词，会用线形图等示意图分析数量关系，列一元一次方程解决简单的实际问题．
经历“问题情境─建立数学模型─解释、应用与拓展”的过程，发展模型观念．
2.目标解析
通过实例，让学生识别和提炼题意中的等量关系，精准定位已知量和未知量。
通过绘制线形示意图，让学生理解数量之间的联系，达到“以形助算”的效果。
在操作与讨论中，学生反复运用方程建模，体验从现实问题到数学抽象的过程，培养应用意识。
3.重点难点
教学重点：运用线形示意图直观表达数量关系，掌握列出一元一次方程的过程。
教学难点：从文字情境中抽象出有效量并构建示意图，使学生正确实现“方程＋图形”相互支撑。
多数学生已掌握一元一次方程的基本解法，但在真实情境中往往难以准确提炼等量关系。本课中的线形示意图可降低抽象难度，让学生更容易在行程、利润等实例中实现方程建模。需重点指导学生识别关键量之间的联系，克服“只会解方程，不会建模型”的瓶颈，以提升问题分析与综合应用能力。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.教师提问：用一元一次方程解决问题的关键是什么？
学生思考并讨论：
审：找出问题中的等量关系，分清已知量、未知量.
设：用字母表示问题中的一个适当的未知量.
列：根据问题中的等量关系列出一元一次方程.
解：解所列的一元一次方程.
验：未知数的值既要代入原方程检验，又要检验是否符合题意.
答：写出问题的答案（包括单位名称）．
2.教师提问：商品的利润＝商品的售价－商品的＿＿＿＿＿；
利润率＝ ×100％；（利润率是百分数）
商品的售价＝商品的进价×(1＋＿＿＿＿＿) ；
商品打x折后的售价＝商品的标价×x/10 ，比如“7折”就是指标价的＿＿%.
学生思考并讨论：进价；利润；利润率；70
3.教师提问： (1) 相遇问题：甲的行程＋乙的行程＝甲、乙两人总的行程；
(2) 追及问题：追者走的路程＝前者的路程＋＿＿＿＿＿；
(3) 航行问题：前往路程＝__________；
v顺＝v静________ v水；
v逆＝ v静________ v水．
学生思考并讨论：两者初始相距的路程；返回路程；+；-。
【设计意图】借助对学习目标的梳理，让学生对新课内容有整体认识。通过复习“用一元一次方程解决实际问题”的一般步骤，为本节课的线形示意图分析做好知识铺垫，激发进一步探究的兴趣。
探究点1：线形示意图在利润问题中的应用
1.典例分析：
例1 一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元．这件羽绒服的进价是多少元？
教师提问：这个问题中涉及到哪些量？这些量之间有什么关系？
学生思考并讨论：标价＝1.5×进价；售价＝80%×标价
解：设这件羽绒服的进价为x元，则标价1.5x元，售价80%×1.5x元．
教师提问：利润怎样产生的？与哪些量有关？如何直观形象地分析？
学生思考并讨论：由题意可画出线型示意图：
教师提问：从线形示意图可以看出，这个问题中的怎样的等量关系？
学生思考并讨论：售价－进价＝获利
教师提问：请写出这道题的完整步骤。
解：设这件羽绒服的进价为x元，则标价1.5x元，售价80%×1.5x元。
根据题意，得 1.5x×80%－x＝96．
解这个方程，得　 x＝480．
答：这件羽绒服的进价是480元．
变式 改变上题中的部分条件，提出一个问题，请你的同伴列出一元一次方程，并求解．
一件羽绒服进价为480元，标价为进价的1.5倍，在促销活动中打折出售，获利168元. 则这件羽绒服打几折？
解：设这件羽绒服打x折．
根据题意，得 1.5×480×－480＝168．
解这个方程，得x＝9．
答：这件羽绒服打9折．
2.教师总结并强调“画线形图有助于我们直观地理解利润是如何产生的”。
【设计意图】通过“利润问题”这一贴近生活的情境，让学生体验先画图再列方程的过程；培养学生对数量关系的抽象与可视化理解，完成从情境到方程的转化。
探究点 2：线形示意图在行程追及问题中的应用
1.典例分析：
例2 小明、小亮相约从学校去博物馆，小明以5 km/h的速度步行0.5h后，小亮骑自行车以15 km/h的速度沿相同路线出发，并在途中追上了小明.小亮出发多久后可以追上小明？
分析：设小亮出发xh后追上小明，根据题意画出线形示意图
从线形示意图可以看出，这个问题中的等量关系：小明步行的路程＝小亮骑行的路程.
解：设小亮出发xh后追上小明．
根据题意，得　　5×0.5＋5x＝15x．
解这个方程，得　　 x＝0.25．
答：小亮出发0.25h后追上小明．
变式2 休闲公园的环形步道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的5/3倍，他们从同一起点沿步道的同一方向同时出发，出发后5min小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？
分析：由“相遇”可知，小红比爷爷多跑一圈(400 m)，设爷爷跑步的速度是x米/分，根据题意画出线形示意图.
解：设爷爷跑步的速度是x米/分，则小红跑步的速度是米/分．
根据题意，得 5×＝5x＋400．
解这个方程，得 x＝120．
所以　 ＝200．
答：爷爷跑步的速度是120米/分，小红跑步的速度是200米/分．
2.师生活动与小结
教师：带领学生再次观察线形示意图：步行先行路程“2.5 km”与追赶过程“速度差”，充分体现了用线段对比便于看清“追者在同一路线上何时追上前者”。
学生：在练习中加以巩固，可尝试变式(如改变速度或先行路程)。
【设计意图】通过“追及问题”这一常见的行程题，使学生加深对“追者走的路程 = 前者的路程 + 初始间距”这一关键公式的理解。以线形图辅助，直观揭示了行程问题的核心数量关系，激发学生对类比和迁移的思考。
1．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？
分析：设这个班有x名学生，请你在下面的线形示意图中填写相关数据．
由分法1可知图书总量为________本，由分法2可知图书总量为________本，
据此可列方程________________，解方程得x＝_____．
答：这个班有________名学生．
解：
(3x＋20)；(4x－25)；3x＋20＝4x－25；45；45。
2.某种自行车的进价为360元／辆，按标价的9折销售时，利润率为15%，该自行车的标价是多少元？
解：该自行车的标价是x元．
根据题意，得 90%x＝360×(1＋15%)．
解这个方程，得 x＝460．
答：该自行车的标价是460元．
3．超市店庆促销，某种书包第一次降价打8折，第二次降价每个又减10元．经两次降价后售价为90元，则书包原价多少钱？
解：设书包原价x元．
根据题意，得 　80%x－10＝90　
解这个方程，得　 x＝125．
答：书包原价为125元．
4．印刷厂接到一个印刷图书的紧急订单，原计划每天印15万册，实际每天比原计划多印5万册，结果提前4天完成任务．这个订单一共有多少册书？
解：这个订单一共有x万册书.
根据题意，得－＝4．
解这个方程，得x＝240．
答：这个订单一共有240万册书．
拓展提升
1．一艘轮船从甲地顺流而行9h到达乙地，原路返回11h才能到达甲地，已知水流速度是2km/h，求轮船在静水中的速度及甲、乙两地间的距离.
解法1 设甲，乙两地间的距离为x km．
根据题意，得 －2＝＋2．
解这个方程，得 x＝198
所以， －2＝ －2＝20
答：轮船在静水中的速度为20km/h，甲、乙两地间的距离为198千米．
解法2 设轮船在静水中的速度为ykm/h，则顺流的速度为(y＋2)km/h，
逆流的速度为(y－2)km/h．
根据题意，得 9×(y＋2)＝11×(y－2)
解这个方程，得 y＝20
所以， 9(y＋2) ＝198
答：轮船在静水中的速度为20km/h，甲、乙两地间的距离为198千米．
2．一列火车匀速行驶， 经过(从车头进入到车尾离开) 一条长300 m 的隧道需要20 s 的时间．隧道的顶上有一盏灯， 垂直向下发光， 灯光照在火车上的时间是10 s. 求这列火车的长度．
分析：设这列火车的长度为xm，根据题意画出线形示意图.
等量关系：火车速度不变，
＝
解：设这列火车的长度为x m .
根据题意，得 ＝．
解这个方程，得 x＝300．
答：这列火车的长度为300 m .
真题感知
（中考·泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况， 了解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件， 并以每件120 元的价格销售了400 件， 商场准备采取促销措施， 将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下， 当每件衬衫降价多少元时， 销售完这批衬衫正好达到盈利45％的预期目标？
解：设每件衬衫降价x元.
根据题意，得120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80 ×(1＋45％).
解这个方程，得x＝20 .
答：当每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45％的预期目标．
【设计意图】通过习题练习，引导学生在不同类型情境中反复锻炼建模、解方程及检验的能力，稳固一元一次方程解决实际问题的思路．
主板书 4.3用一元一次方程解决问题（第2课时 画线形示意图分析数量关系） 探究点1 线形示意图在利润问题中的应用 探究点 2 线形示意图在行程追及问题中的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演
1. 基础练习：完成课本相关练习中“ 画线形示意图分析数量关系”部分的计算题。
2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用线形图解决问题。

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