资源简介

4.4 探索三角形相似的条件（第4课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书 数学》九年级上册（以下统称“教材”）第四章“图形的相似4.4 探索三角形相似的条件（4），内容包括：理解黄金分割的概念，掌握黄金分割点的性质，能运用黄金分割解决实际问题.
2.内容解析
本节课是在学生已经学习了相似多边形和相似三角形的判定之后，对比例关系的深入探索和实际应用，通过作图探究 — 定义明晰 — 方法拓展 — 实践应用的编排逻辑，将抽象的比例关系转化为可操作、可推导、可应用的数学内容；既注重依托相似三角形相关的知识，培养学生的逻辑推理与知识迁移能力，又通过数学史、生活实例渗透文化价值与应用意识，为后续几何图形设计与数学知识应用奠定基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解黄金分割点的作图方法，掌握黄金分割的定义黄金比的值.
1.教学目标
（1）理解黄金分割的概念，掌握黄金分割点的性质，能运用黄金分割解决实际问题.
（2）经历观察— 猜想— 证明— 归纳的探究过程，发现黄金分割的存在，培养发现问题和解决问题的能力.
（3）了解黄金分割在艺术和自然中的广泛应用，学生体会数学的和谐与美，增强学习数学的兴趣.
2.目标解析
（1）需明确黄金分割的核心定义，即线段被点分割后，满足（）时，点为线段的黄金分割点；掌握黄金比的准确值。能将实际问抽象为黄金分割模型，通过设未知数、列比例式或利用黄金比近似值（0.618）进行计算，解决线段长度、图形比例等问题；
（2）以五角星、帕提侬神庙矩形等具体图形为载体，引导学生观察图形中的线段、角关系→猜想线段可能存在特殊比例→通过相似三角形判定、勾股定理等知识证明比例成立→归纳出黄金分割的定义和性质。在“观察—猜想—证明—归纳”的闭环中，培养逻辑推理能力、数学探究能力，提升“发现问题—分析问题—解决问题”的综合思维能力；
（3）了解黄金分割在艺术、自然、科学中的广泛应用，体会数学与生活、艺术、自然的深度融合；通过感受黄金分割的“和谐美”，破除“数学抽象枯燥”的认知，提升数学文化素养，激发对数学知识应用价值的探索兴趣，增强学习内驱力.
九年级学生在本节课前已系统学习“相似多边形”、“相似三角形的判定”，明确 “相似图形对应边成比例” 的核心特征，因此，本节课是在学生掌握了相似多边形和相似三角形的判定基础上，对比例关系的深化应用与美学拓展。既巩固了相似三角形的性质与判定方法，又引入了尺规作图与代数计算的融合运用.
1. 学生已能根据相似三角形判定定理推导比例关系，但面对“黄金分割作图原理”这一 “新场景下的比例验证”，可能难以主动联想到“用勾股定理求线段长度→用线段长度表示比例→验证黄金比”的推理路径，需教师通过设问，搭建推理台阶，培养 “数形结合” 的思维习惯。
2. 学生对“数学知识解决生活问题”有一定认知，但面对复杂情况时，可能因“同一线段有两个黄金分割点”的特征感到困惑，易混淆“较短线段”与“较长线段”的对应，需通过具体标注线段名称帮助学生明确比例关系.
3. 学生正处于从 “具体形象思维”向“抽象逻辑思维”过渡的关键阶段，对“可操作、有直观载体”的内容兴趣较高，但对抽象的“比例定义”易产生记忆混淆，需结合图形标注强化理解.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：严谨理解黄金分割定义中“线段的黄金分割点”的唯一性，以及黄金比推导的过程.
1.温故知新
本节课将学习探索三角形相似的条件（4），先回答以下问题：
(1) 相似三角形有哪些判定定理？
答：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似.
(2) 相似三角形有什么性质？
答：相似三角形对应边成比例，对应角相等.
(3) 什么是比例线段？
答：若四条线段a,b,c,d满足=，则称它们成比例
通过以上问题，猜测一下：本节课将要学习的黄金比例与相似三角形有什么关联？与比例线段又有什么关联？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习）
（教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习）
2.情景引入
在古希腊，数学家兼天文学家欧多克索斯（约前400—前347）曾提出一个奇妙的问题：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这个问题就是“黄金分割”的起源，而这个相等的比就是。
后来，天文学家开普勒（1571—1630）将这种线段分割称为“神圣分割”，还盛赞它与勾股定理是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。历史上最早正式使用 “黄金分割” 名称的是欧姆。更有趣的是，古希腊许多矩形建筑的宽长比都等于这个黄金比；我国数学家华罗庚还将其推广到优选法中，也就是 “0.618 法”，在生产实践中取得了显著成果。
那么，这个耐人寻味的 0.618，背后藏着怎样的数学逻辑？今天，我们就一起走进 “黄金分割” 的世界，揭开它的神秘面纱
(设计意图：通过数学史故事、建筑应用和实际成果，从历史、文化、应用三个维度激发学生的好奇心，让学生感受到“黄金分割”不是抽象的数学概念，而是有温度、有价值的知识.)
探究点1　从五角星探究黄金分割的定义
任务一：观察五角星，分析线段与角的关系.
1. 从图中找出相等的角、相等的线段.
答：相等的角：∠A＝∠B＝∠E＝∠G＝∠K
由对顶角、三角形内角和等性质，还可得∠ADL＝∠BCH＝∠CFK＝∠EFD＝∠GLH，
∠ALD＝∠BHC＝∠CKF＝∠EDF＝∠LGH等
相等的线段：AC＝BD＝CE＝DG＝AH
AL＝LC＝CH＝HB＝DF＝FK＝KE＝ED＝GL＝LH等
2. 在图中找出两对相似但不同的相似三角形.
答：第一对：△GFH∽△GDC
第二对：△GDC∽△BCH
3.小亮认为=，你同意他的看法吗？说说你的理由.
答：同意小亮的看法，理由如下： 由五角星的相似三角形关系，根据相似三角形对应边成比例，可推导出
任务二：抽象黄金分割的定义
4.结合小亮的观点=，引出线段分割的一般情况.
答：对于任意线段，若存在点将分成（较长段）和（较短线段），使得较长段与全段的比等于较短线段与较长段的比，即：
5.知识小结
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
6. 即时训练
（1）已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），若AB＝10 cm，求AC的长度（结果保留根号）.
解：已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），AB=10cm。
根据黄金分割的定义：
设AC=x cm，则BC=AB-AC=10-x cm，代入比例式得：
交叉相乘得：
因为长度为正，所以取正根：
（2）判断下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）：
①若点C是线段AB的黄金分割点，则一定有（ × ）
②线段的黄金分割点有且只有一个（ × ）
（设计意图：通过 “观察图形特征（相等角、线段）→ 判定相似三角形→ 分析线段比例关系” 的递进过程，培养学生的几何直观能力、逻辑推理能力，同时渗透 “从特殊图形抽象出一般数学概念（黄金分割）” 的从特殊到一般的数学思想）
（教学建议：利用多媒体动态展示五角星的结构，或提供实物模型，帮助学生更清晰地观察角的相等关系、线段的比例关系，强化几何直观体验）
例题导析
例1 计算黄金比．
【分析】黄金分割的核心定义是“较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比”（，其中），通过比例性质将其转化为线段的平方关系，从而解得相关的比值.
【解答】解：由，得．
设，，则．
∴ ， 即 ．
解这个方程，得 ，（不合题意，舍去）．
所以，黄金比．
【点评】本题不仅推导了黄金比的精确值，还渗透了重要的数学思想（数形结合、单位化），培养了学生的逻辑推理与应用意识.
即时训练：
1.已知线段MN = 5，点P是MN的黄金分割点MP > PN，求MP的长度（结果保留根号）.
解：根据黄金分割的定义，当时，
已知，
则：
2.判断方程- 3x + 1 = 0的正根是否与黄金比有关，并说明理由.
解：无关。理由如下： 对于方程
用求根公式求解：
其正根为，而黄金比为
两者表达式不同，因此该方程的解与黄金比无关
（设计意图：让学生掌握黄金比的代数推导过程，明确黄金比的准确值为0.618，从 “几何比例关系” 深入到 “代数方程求解”，完成对黄金分割的理性认知.）
（教学建议：让学生自主尝试 “设AB = 2” 或 “设AC = 1” 重新推导黄金比，验证无论线段总长如何，黄金比的比值始终为定值，从而理解黄金比是线段间的固定比例关系，与线段具体长度无关）
探究点2　建筑中的黄金分割——帕特农神庙
问题展示：帕特农神庙的立面矩形被称为‘完美矩形’，传说其宽与长的比符合‘黄金分割’。在图中，矩形内部作正方形后，出现比例。这个比例能告诉我们什么？
任务一：验证点E是黄金分割点
1.设矩形的长（）为，宽（）为，正方形的边长等于矩形的宽，故，因此。你能根据例题求黄金比的方法验证E是黄金分割点吗？
答：根据题目给出的比例，代入变量得：
交叉相乘得：；
展开整理：；
两边除以（设，即长与宽的比）：；
得一元二次方程：；
求解：（舍去负根）；
任务二：验证黄金矩形的“自相似性”
2. 去掉正方形后，剩余矩形的宽与长的比是多少？是不是黄金比？
答：剩余矩形的长为，宽为；
宽长比为；
由之前的推导，（黄金比）；
结论：剩余矩形仍是黄金矩形
3. 黄金矩形的定义
宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形
4.即时训练
1.黄金矩形的宽与长的比为（精确值），约等于0.618（近似值）。若一个黄金矩形的长为，则其宽为（用精确值表示），约等于6.18（保留两位小数）。
2. 下列矩形中，属于黄金矩形的是（ C ）
A. 长，宽
B. 长，宽
C. 长，宽
D. 长，宽
（设计意图：引导学生理解黄金矩形的定义（宽与长的比为黄金比的矩形），明确黄金矩形与黄金分割的内在联系（黄金矩形的关键线段分割点为黄金分割点），将黄金分割的知识从 “单一线段” 拓展到 “矩形（几何图形）”，完善相似与比例的知识体系.）
（教学建议：利用多媒体展示帕提侬神庙的实景图与几何抽象图的动态转化过程，或用几何画板演示 “在矩形内作正方形，推导线段比例” 的过程，帮助学生更清晰地建立图形与线段关系的直观联系.）
1.关于线段的黄金分割，下列说法正确的是（ C ）
A. 一条线段只有一个黄金分割点
B. 黄金比是较短线段与较长线段的比
C. 若点是线段的黄金分割点（），则
D. 黄金比约为0.816
2.已知线段，点是的黄金分割点（），则的长为（ C ）
A. B.
C. D.
3.某书籍封面为黄金矩形，已知其宽为，则长约为（ B ）（）
A. B.
C. D.
4.线段，点从出发以向移动，当为的黄金分割点时，移动时间不可能是（ A ）
A. B.
C. D.
5. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2大小关系为( B )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S16.线段，点是的黄金分割点（），则的长约为3.06（精确到0.01，）。
7.黄金矩形的长为，则宽为2。
8.线段，点从出发向移动，当为的黄金分割点时，的长为6（结果保留根号）.
9.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001)
解：设雕像下部的高度为，总高度。
根据黄金分割的定义，点是线段的黄金分割点（），因此满足：
将代入上式，得：
代入，计算得：
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
题型一：黄金分割点的双向计算
1. (2023·湖北黄冈中考模拟) 若线段，点是的黄金分割点，且，则的长为（ C ）
A. B.
C. D.
【分析】本题考查黄金分割的定义。若点是线段的黄金分割点（），则。已知且，需先求，再通过求解.
【解答】由黄金分割定义，
则
答案：C
【点评】本题是黄金分割概念的直接应用，关键在于明确较长线段与原线段的比例关系，通过代数运算即可求出较短线段长度，难度较低，适合巩固黄金分割的基础定义
2.(2024·浙江宁波中考) 已知点是线段的黄金分割点，且（），则线段的长为（ B ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【分析】本题考查黄金分割的比例应用。点是线段的黄金分割点且，则。设的长为，代入建立方程求解．
【解答】设，由黄金分割比例得：
交叉相乘化简：
两边同时除以（），解得：
答案：B．
【点评】本题将黄金分割与方程结合，考查代数运算能力（尤其是分式有理化）。解题关键是根据比例关系建立方程，属于黄金分割的中等难度应用，能有效锻炼方程思想与分式化简能力.
3.(2023·四川绵阳中考模拟) 线段，点为的黄金分割点（），则的长约为（ ）（参考数据：）
A. 5.64 cm B. 9.36 cm
C. 6.18 cm D. 8.82 cm
【分析】先简化△A'B'C'的三边比，看是否与△ABC的三边比一致；再根据相似三角形的性质（对应角相等）判断选项.
【解答】△ABC的三边之比为：；
△A'B'C'的三边之比为：，简化后为（除以2）；
两边三角形的三边比完全一致，故相似。
相似三角形的对应角相等（相似的基本性质），因此“相似且对应角相等”。
答案：A
【点评】本题考查相似三角形的判定（三边比一致）及性质（对应角相等）。
易错点：误认为“相似但对应角不相等”，这是错误的——相似三角形的对应角一定相等（通过平行线或全等三角形可证明）
4.(2024·山东青岛中考) 若线段的黄金分割点为（），且，则的长为（ A ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 2
【分析】本题考查黄金分割的定义。若点是线段的黄金分割点（），则较长线段与原线段的比值为黄金比，即。已知，需通过该比例关系求解的长度。
【解答】设的长为，根据黄金分割比例：
交叉相乘得：
对分母有理化求解：
答案：A
【点评】本题核心考查黄金分割的比例关系，解题关键是明确 “较长线段与原线段的比值为黄金比”。题目虽在数值设置上可能存在疏漏，但仍体现了中考对几何比例概念（黄金分割定义）和代数运算（分母有理化）的典型考查方向，旨在锻炼学生对概念的理解与运算能力
题型二： 黄金分割在动态几何中的应用
5.(2023·河南洛阳中考模拟) 如图，线段，点从点出发，沿向点匀速移动，速度为，设移动时间为，当时，点为的黄金分割点（ A ）
A. 或 B.
C. D.
【分析】要解决点为线段黄金分割点的时间问题，需明确黄金分割点的定义（两种情况），并结合速度公式计算时间．
【解答】设线段，点的速度为，时间（等于的长度）。
情况1：较长线段为
此时，代入得： ， 时间。
情况2：较长线段为
此时， 因此， 时间
故选：A．
【点评】忽略黄金分割点的两种情况（仅考虑为较长线段，漏掉为较长线段的情况）；
关键：明确黄金分割点的双向性（较长线段可在左或右）
6.(2024·安徽芜湖中考) 如图，在矩形中，，，点在上沿移动，点在上沿移动，且，当四边形为黄金矩形时，的长为（ A ）
A. 或 B.
C. D.
【分析】本题考查黄金矩形的定义，需结合矩形ABCD的边长AB = 5、AD = 3，分两种情况分析AE的长度.
【解答】情况一：以为长，为宽
此时黄金矩形的宽与长的比为黄金分割比，即： 设，，代入得： 解得：
情况二：以为长，为宽
此时黄金矩形的宽与长的比为黄金分割比，即： 设，，代入得： 解得： 分母有理化（乘以）：
舍去理由
由于点在上，，故。计算的近似值： 因此情况二的解不符合实际，舍去。
故选A
【点评】本题核心是对黄金矩形定义的灵活应用，需注意分 “AB为长” 和 “AE为长” 两种情况讨论，同时结合AD = 3的长度限制筛选结果。解题过程中需熟练掌握黄金比的计算，并通过代数变形（分母有理化）求解线段长度，考查了逻辑推理与代数运算能力
7.(2023·陕西宝鸡中考模拟) 如图，将线段平移至，使点对应点，点对应点，若，点是的黄金分割点（），则的长不可能是（ D ）
A. B.
C. D.
【分析】本部分需结合平移性质与黄金分割概念，分析线段AE的可能长度．
【详解】解答
由平移的性质可知，平移后对应线段相等且平行，故，且
因是的黄金分割点（），黄金分割比为，
因此： 较短线段的长度为：
选项A： 若、、共线且在远离的一侧，则，故该长度可能。
选项B： 若、、共线且在、之间，则，故该长度可能。
选项C： （由平移性质知），结合平移的平行性与线段构成，该长度可能。
选项D： 的数值小于（推导：因，故，而）。 根据三角形三边关系：
不共线时，；
共线时，或。 因此的长度不可能是。
故选D
【点评】本题综合考查平移性质与黄金分割的应用，解题关键在于：
利用平移性质明确线段的相等与平行关系，确定CD = AB = 6；
结合黄金分割公式求出CE和DE的长度
8.(2022·福建厦门中考) 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点落在上，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【分析】首先，在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出斜边AB的长度；
再根据旋转的性质，确定AB' = AB，结合点B'落在AB上的条件，分析B'C的长度与AB、AC的关系
【详解】在中，，，由勾股定理得：
根据旋转的性质，绕点顺时针旋转后，，且点落在上。
因此，。
综上，答案为
【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
题型三 黄金分割与三角形的综合证明与计算
9.（2024·辽宁大连中考模拟）如图，在中，，，平分交于点，则下列结论错误的是（ AD ）
A. B. 是的黄金分割点
C. D.
【分析】本题以顶角为108°的等腰三角形为载体，综合考查等腰三角形性质、黄金分割定义、相似三角形判定等知识点。解题关键是通过角度计算、线段比例推导，逐一分析选项的正确性。
【解答】由，，得。
平分，则。
选项A: 若，需满足且。但，，故，A错误。
选项B: 设，，则。通过线段比例推导 (结合正弦定理或方程)，可证，故是的黄金分割点，B正确。
选项C: 由黄金分割定义，，C正确。
选项D: 中，中，角不相等，故不相似，D错误
【点评】本题融合等腰三角形、黄金分割、相似三角形等知识，考查几何推理与综合应用能力。解题需准确分析角度关系，通过设元、方程或定理推导线段比例
10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝
【分析】本题围绕“黄金三角形（底与腰的比为）”展开，需依次分析、、的边长比例关系，利用黄金三角形的定义推导的长度.
【解答】已知，由黄金三角形定义（底与腰的比为），得：
同理，是黄金三角形（底与腰的比为），故：
是黄金三角形（底与腰的比为），则：
【点评】本题考查黄金三角形的性质应用，需逐步推导各三角形的边长关系，核心是掌握“底与腰的比为”的定义，体现了黄金分割在三角形中的延伸应用。
11. 如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．
【分析】结合 “AC = BC（等腰三角形）”“AD = AC”“点D是AB的黄金分割点 (AD > BD”，通过设元表示线段长度，再利用等腰三角形角的关系和三角形内角和求解∠A
【解答】设，因点是的黄金分割点且，故，
即：
则。
由得，由得。
，又，
且，故。
在中，，解得：
【分析】本题综合黄金分割点、等腰三角形性质和三角形内角和，需通过设元建立线段与角的关系，体现了几何与代数的结合，以及黄金分割在三角形角度计算中的应用。.
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．
【分析】判断点E是否为AB的黄金分割点，需验证 连接EC，利用垂直平分线性质（）和等腰三角形性质，推导 进而得到线段比例．
【解答】连接EC，因DE是AC的垂直平分线，
故：
又AB = AC，故△ABC为等腰三角形，底角相等：
故△BEC为等腰三角形
∠BEC是△AEC的外角，
结合∠A = ∠ACE，
再结合∠B = ∠BEC，得：
解得： 故：
因此△BEC为等腰三角形，
故： 结合AE = EC，得：
设AE = EC = BC = x，AB = AC = y，则BE = AB - AE，即：
因∠B = ∠B，∠BEC = ∠ACB = 72°，故△BCE ∽ △BAC
相似三角形对应边成比例：
故即：
同时，BE = y - x，故：
点E将AB分成AE（较长线段）和BE（较短线段），满足：
故点E是AB的黄金分割点。
【点评】本题通过垂直平分线、等腰三角形、相似三角形的综合应用验证黄金分割点，步骤需层层推导，关键是利用相似三角形得到黄金分割的比例关系，体现了黄金分割在复杂几何图形中的判定方法。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
相似三角形的判定定理4：
1.黄金比例：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
2.黄金矩形：宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形
设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习
2.探究性作业：习题4.8 第4题.
4.4探究三角形相似的条件（第4课时） 1.黄金比例：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 2.黄金矩形：宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形

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