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课题 16.3.2完全平方公式
1.课程标准分析
课标摘录：义务教育数学课程标准（2022 年版）要求“能推导完全平方公式， 了解公式的几何背景，能运用公式进行简单的整式乘法运算 ”。 学生学什么：完全平方公式的推导过程，公式的结构特征，公式的几何意义， 公式在简单整式乘法中的运用。 学生学到什么程度：学生能够通过多项式乘多项式推导公式，能准确描述公式 的结构特征，能熟练运用公式计算整式平方，能结合正方形面积模型解释公示 的几何意义。 学生怎么学：通过“计算归纳→代数推导→几何验证→应用辨析”的流程进行 推导、掌握、应用。
2.教学内容分析
本节课是在学生掌握平方差公式的基础上，聚焦于另一种特殊形式的多项式乘 法——两个相同二项式的乘积，通过规律提炼形成完全平方公式。该公式不仅 是简化特定整式乘法运算的重要工具，更是后续学习因式分解、分式运算、二 次函数等知识的关键基础，其几何背景的探究也进一步深化了学生对“数”与“形”联系的理解，在代数知识体系中起到承上启下的作用，本课时通过公式 推导培养学生的代数推理能力和运算能力。
3.学习者分析
学生在学习本节课之前已经学习了整式的乘法和平方差公式，具备探究特殊形 式的多项式乘法的经验，用类比的思想学习本节内容学生较容易接受。虽然学 生能完成基础的整式乘法计算，但对公式的简洁性认识不足，且对公式的结构 特征认识不足，因此可以加强公式推理过程的规范性表达，结合几何图形，从 几何角度直观形象的理解。学生在学习过程中还可能出现混淆完全平方公式与 平方差公式的结构，教学中可能加强不同形式的结果计算对比，结合几何图形 进行强化和巩固。
4.学习目标确定
（1）理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平方公式 进行简单的计算和推理。 （2）经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思想，发 展符号意识和几何直观观念。
5.学习重点难点
教学重点：理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景。 教学难点：能利用完全平方公式进行简单的计算和推理。
6.学习评价设计
知识获得：通过课堂提问和限时练，教师采用随堂批改的形式，评价学生对本 节内容的掌握情况和计算准确率。 能力提升：结合经验，能够用几何图形解释完全平方公式，锻炼学生的几何直 观素养和抽象能力。 思维发展：通过计算、观察、总结等思考过程，类比平方差公式的研究思路和 公式结构，加深学生对完全平方公式的理解和辨析。
6.学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：
教师活动 1 复习引入： 1. 上一节课，我们学习了多项式 乘法的特殊形式：(a+b)(a b)，得 到了平方差公式，你能说一说平 方差公式的内容吗？ 2. 应用平方差公式计算时，应注 意哪些问题？ 学生活动 1 回顾平方差公式的内容，以及计算过程 中需要注意的问题
活动意图说明：引导学生回顾平方差公式的符号与文字语言，从结构特征、 结果形式等方面回顾公式应用的注意事项。以平方差公式为铺垫，自然引出 本节课要研究的内容，实现知识的连贯衔接。
环节二：
教师活动 2 学生活动 2
探究 计算下列多项式的积，你能 发现什么规律？ （1）（p+1)2 = (p+1)(p+1) =p2+2p+1 . （2）（m+2)2 = (m+2)(m+2) = m2+4m+4 . （3）（p 1)2 = (p 1)(p 1) = p2-2p+1 . （4）（m 2)2= (m 2)(m 2)= m2-4m+4 . 问题1：观察上述四个等式的左侧有什么共同特征？ 问题2：观察上述四个等式的右侧有什么共同特征？ 问题3：根据你的发现，可以用符号语言描述一下这个规律吗？ 问题 4：你能证明得到的规律： (a±b)2=a2±2ab+b2 吗？ 问题 5：你能用文字语言描述一下 这个规律吗？ 归纳：完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2. (a b)2=a2 2ab+b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a+b)2=a2+2ab+b2. 1. 学生计算多项式的积，小组内订正答 案 2. 以小组为单位讨论上述算式的左右两 侧有什么共同特征，能够得到哪些规 律。 3. 对于发现的规律特征用符合语言描述 并进行代数推理，归纳相应的文字语言 描述。 4. 根据发现的规律进行一般性结论的归 纳。 5. 教师引导学生计算图形面积，得到不 同的表示形式，进而验证完全平方公 式，利用几何图形的面积对代数公式进 行证明解释。
(a b)2=a2 2ab+b2.
活动意图说明：先让学生计算具体的多项式乘法，通过问题引导观察式子左 右特征，发现规律，再用代数推理证明完全平方公式，结合几何图形面积验 证，让学生经历“特例探究—归纳猜想—逻辑证明—几何直观验证”的过程，理解完全平方公式的结构特征，掌握公式推导方法，提升归纳推理、逻 辑证明能力，借助几何图形渗透数形结合思想，强化对公式的直观认知。
环节三：
教师活动 3 学生活动 3
典例讲解： 例 1 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 (2) 例 2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 992 思考 (a+b)2 与( a b)2 相等吗 (a b)2 与 (b a)2 相等吗 (a b)2 与 a2 b2 相等吗 学生在练习本上自主完成，教师引导学 生根据公式特征，正确找到“a”和 “b ”项，小组订正和教师讲解相结合。
活动意图说明：让学生掌握完全平方公式在不同形式下的应用，精准识别公 式中“a 、b”代表的内容，使学生学会灵活调用公式，解决复杂运算问题， 深化对完全平方公式的理解与应用。同时，培养学生规范书写解题过程的习 惯，提升运算能力与逻辑思维。
小结反思：请根据以下几个问题对本节课进行课堂小结 （1）完全平方公式的结构特征是什么？ （2）运用完全平方公式的过程中需要注意哪些易错点？ （3）本节课运用到哪些数学思想方法？

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