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专题十四、指数函数切线放缩问题
1.指数函数与直线的放缩关系
模型一：.(用替换，切点横坐标是)，通常表达式为；
模型二：.(用替换，切点横坐标是)，平移模型，找到切点是关键；
模型三.(用替换，切点横坐标是)，常见的指对跨阶改头换面模型，切线方程是按照指数函数给与的；
模型四：.(用替换，切点横坐标是)，通常有的构造模型；
在一些解答题的详细书写过程中，通常都要用上“指数找基友”模型，具体过程见专题十一，这里不再叙述.
我们要注意，切线放缩的本质是化曲为直.
例题1：已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为( )
例题2：已知函数，函数的最小值为，则实数的最小值是( )
例题3：已知，函数的图像与轴切于点，则实数的值分别为( )
例题4：对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围 .
例题5：函数的最小值是 .
例题6：函数函数的最小值是 .
例题7：已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
例题8：函数，若对任意，总有不等式成立，求实数的取值范围.
例题9：已知直线与曲线相切，则的最小值为( )
例题10：函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
例题11：设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
例题12：已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，且在上的最小值为，证明：当时，.
2.与二次函数相关的特殊放缩问题
模型一：处的切线构造：；
模型二：处的切线构造：.
例题1：已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意的，有解，求的取值范围.
例题2：已知函数.
(1)若曲线在处的切线斜率为，求的值；
(2)若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
例题3：证明：.
例题4：若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
例题5：已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求证：当时，.
3.与反比例函数相关的特殊放缩问题
模型一：处相切构造，或者切点为,利用证明；，或者，证明过程用求切线方程或者参照“指数找基友”即可
模型二：处相切构造，证明过程按照“指数找基友”的方法即可.
例题1:已知函数在上有两个零点,则的范围是( )
例题2：曲线，若曲线，则实数的取值范围是 .
例题3：若函数在上单调递减，则的取值范围是( )
例题4：已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则直线在轴上的截距为( )
例题5：函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是( )
例题6：若函数恰有两个极值点，则的取值范围是( )
例题7：已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
例题8:已知函数,若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
例题9：若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
例题10：已知函数，若函数的最小值为0，则实数的取值范围是 .
答案：
例题11：已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)求证：当时，对任意都有；
(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
例题12：已知函数.
(1)若函数的极小值为，求实数的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
例题13：已知函数.
(1)若是曲线的切线，求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
例题14：已知函数(是自然对数的底数).
(1)当时，求点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
例题15：已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求证：.
例题16：已知函数.
(1)求函数的单调区间和零点；
(2)若恒成立，求的取值范围.
例题17：已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求的表达式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
例题18：已知函数.
(1)若直线为的切线，求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.专题十四、指数函数切线放缩问题
1.指数函数与直线的放缩关系
模型一：.(用替换，切点横坐标是)，通常表达式为；
模型二：.(用替换，切点横坐标是)，平移模型，找到切点是关键；
模型三.(用替换，切点横坐标是)，常见的指对跨阶改头换面模型，切线方程是按照指数函数给与的；
模型四：.(用替换，切点横坐标是)，通常有的构造模型；
在一些解答题的详细书写过程中，通常都要用上“指数找基友”模型，具体过程见专题十一，这里不再叙述.
我们要注意，切线放缩的本质是化曲为直.
例题1：已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为( )
答案：
解析：根据，则，故，
，所以，当且仅当时等号成立，此时的最小值为2，故选.
例题2：已知函数，函数的最小值为，则实数的最小值是( )
答案：
解析：由，切点满足条件，即，易求得，显然时可以获得相切取等条件，所以实数的最小值是，故选
例题3：已知，函数的图像与轴切于点，则实数的值分别为( )
答案：
解析：函数，解得，故选.
例题4：对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围 .
答案：
解析：由可得，又因为，则，则，且，则，即，故实数的取值范围是.
例题5：函数的最小值是 .
答案：
解析：因为，则，所以有
，所以函数的最小值是.
例题6：函数函数的最小值是 .
答案：
解析：因为，则，所以有
，所以函数的最小值是.
例题7：已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：，因为，则有
，即，因为，所以，即.
例题8：函数，若对任意，总有不等式成立，求实数的取值范围.
解析：由,有,只需求函数的最小值即可,由切线放缩不等式:,,所以,又因为，且不等式,，取等的条件均为，所以函数，则，故实数的取值范围是.
例题9：已知直线与曲线相切，则的最小值为( )
答案：
解析：因为，数形结合可知，则,则切线斜率为，
，则，所以，令，，所以，故选.
例题10：函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解析：由分离常数可得：，易证不等式在时恒成立成立，因为，
则，所以有，故，所以实数的取值范围是.
例题11：设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
解析：(1)对函数求导可得，
①当时，，则在上单调递增，
②当时，，，则在单调递减，在单调递增;
(2)方法一：由可得不等式恒成立，显然不合题意；当时，原问题等价于指数函数的图像恒在直线的上方，直线横过定点，考查函数过点的切线方程，假设切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为：，切线过点，则，解得，，如图：
综上可得，实数的取值范围是.
方法二：构造函数，显然恒成立，当且仅当时等号成立，要使不等式恒成立，很明显时不合题意，令，即，当且仅当时取得相切等号，故.
例题12：已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，且在上的最小值为，证明：当时，.
解析：(1)，则，又因为，所以，解得，所以；
(2)因为，所以，因为，所以，则在单调递增，则，解得，
要证，即证，只需证明.易证不等式成立，
所以，故成立.
2.与二次函数相关的特殊放缩问题
模型一：处的切线构造：；
模型二：处的切线构造：.
例题1：已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意的，有解，求的取值范围.
解析：(1)令，，所以在单调递减，单调递增，所以有极小值，无极大值.
(2)由,即,令,，
①当时，单调递增，，则，则函数单调递增，，成立；
②当时，令，则单调递增，，则，则函数单调递增，，成立；
③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立，综上可知：.
例题2：已知函数.
(1)若曲线在处的切线斜率为，求的值；
(2)若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
解析：(1)对函数求的可得，因为曲线在处的切线斜率为，则，解得；
(2)若，题设等价于证明，令，
(根据切线不等式)，所以在上单调递增，所以，所以，即，即，故当时，的图像恒在轴上方.
例题3：证明：.
解析：令，则或，，所以在单调递减，在单调递增，由于所以对恒成立，要证，等价于证明(当且仅当时取等号)，即
(当且仅当时取等号).
例题4：若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解析：由，由，则(当且仅当时取等号)，又(当且仅当时取等号)，得.
例题5：已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求证：当时，.
解析：(1)由，则，则切线方程为，即.
(2)构造函数，则或，，所以在单调递减，在单调递增，由于所以对恒成立，即恒成立，要证
成立，等价于，即证
，即(当且仅当时取等号),得证.
3.与反比例函数相关的特殊放缩问题
模型一：处相切构造，或者切点为,利用证明；，或者，证明过程用求切线方程或者参照“指数找基友”即可
模型二：处相切构造，证明过程按照“指数找基友”的方法即可.
例题1:已知函数在上有两个零点,则的范围是( )
答案：
解析：方法一：由得，当时，方程不成立，即，则，令，则，因为，所以由，当时，，则时，函数有最小值，如图：
要使方程有两个不同的实根，则，故的范围是，故选.
方法二：由得，要使方程有两个不同的实数根，则即可.
例题2：曲线，若曲线，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：由，即，根据切线放缩模型一
则，所以.
注意：证明：，也可以这样证明.
例题3：若函数在上单调递减，则的取值范围是( )
答案：
解析：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即，因为，则，故选.
例题4：已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则直线在轴上的截距为( )
答案：
解析：方法一：设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，切线方程分别为，，所以有，解得，所以直线的方程为：
，取，可得，所以直线在轴上的截距为，故选.
方法二：根据，切点为，所以直线的方程为：，取，可得，所以直线在轴上的截距为，故选.
例题5：函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：方法一：，当时不满足条件，所以时，分离常数
,或,,作出图像如图1，
图1 图2
，可得：当时，函数与有且仅有一个交点，即函数有一个零点，故实数的取值范围是，故选.
方法二：，根据可得，故，所以时，与相切，如图2所示，显然无交点，当有两个交点，当且仅当时，与仅有一个交点，故实数的取值范围是，故选.
例题6：若函数恰有两个极值点，则的取值范围是( )
答案：
解析：函数有两个极值点，等价于方程有两个不同的实根，分离常数得：，
方法一：令，则或，，所以时，取得极大值，作出的图像：
要使得有两个不同的实根，则，解得，故选.
方法二：方程有两个不同的实数根，即有两个交点，故，即，故选.
例题7：已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：，即，，
，所以，所以.
例题8:已知函数,若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
答案：
解析：因为恒成立，所以，即，
，易知不等式成立，则
，解得.
例题9：若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：，由切线不等式可得，
，所以.
例题10：已知函数，若函数的最小值为0，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：由题可知，，即，令，即，当且仅当时取等号，即有解即可，令，则，，，有最小值，可得实数的取值范围是.
例题11：已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)求证：当时，对任意都有；
(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
解析：(1)当时，，不等式成立，等价于不等式成立，令，，，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，故对任意都有.
(2)方法一：函数定义域为，令，若有两个极值点，则函数有两个变号零点，则，
①当时,恒成立,则在上单调递增,此时函数至多一个零点，不符合条件；
②当时,,,即函数在单调递减，在单调递增，则必有，因为，所以，解得，综上可知，有两个极值点时，实数的取值范围是.
方法二：函数定义域为，令，若有两个极值点，则函数有两个变号零点，则，显然恒成立，当且仅当时等号成立，要使不等式恒成立，很明显不合题意，，当且仅当取得相切等号，若，解得，所以有两个极值点时，实数的取值范围是.
方法三：(切线法)，函数定义域为，令，若有两个极值点，则函数有两个变号零点，有两个实根，则直线与曲线图像有两个交点，设直线与曲线的切点为，则有，如图可知，
当时，直线与曲线图像有两个交点，所以有两个极值点时，实数的取值范围是.
例题12：已知函数.
(1)若函数的极小值为，求实数的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)函数定义域为，，
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，，，所以的极小值为，解得；
(2)令，，则必须有，下证时，不等式恒成立，，构造函数，显然，当且仅当时等号成立，故，当时等号成立，当时，，显然，故恒成立，即实数的取值范围是.
例题13：已知函数.
(1)若是曲线的切线，求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)设切点为，，则，则有，解方程组得；
(2)方法一：根据题意，变形可得，且，所以
，设，，设，，则在上单调递增，且，则存在，满足，故
，则有，令，变形可得，由变形可得，则有，设，且为增函数，则有，则，所以，解得，故实数的取值范围是.
方法二：由，变形可得，即，构造函数，显然恒成立，当且仅当时等号成立，故
恒成立，当且仅当，且有时等号成立，故
，又因为，所以，解得，故实数的取值范围是.
例题14：已知函数(是自然对数的底数).
(1)当时，求点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)当时，，，，所以在点处的切线方程为，即.
(2)方法一：由得，令，，易证，所以，所以，则函数在单调递增，则，即，所以实数的取值范围是.
方法二：易证不等式成立，由，即，所以.
例题15：已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求证：.
解析：(1)函数定义域为，
①当时，恒成立，函数在单调递增，无极值；
②当时，，，所以函数有极小值
；
(2)方法一：由，且，
①当时，不等式恒成立，则；
②当时，分离常数，，
令，，所以在单调递减，则，则，则在单调递减，由洛必达法则，
，所以，故，
综上所述，.
方法二：由，即，令，
，，所以，画出和的图像，如图所示：
当时，恒成立即得图像必须在图像的下方，在时取得极值，而此时取得极值时，斜率为，所以，解得.
例题16：已知函数.
(1)求函数的单调区间和零点；
(2)若恒成立，求的取值范围.
解析：(1)函数定义域为，，，所以函数在单调递减，在单调递增；由解得，所以函数零点为；
(2)因为恒成立，即得图像恒不在直线的图像下方，如下图所示：
当它们相切时，设切点为，所以，且，联立解得，，由图可知所以的取值范围是.
例题17：已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求的表达式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)，则，，所以；
(2)方法一：时，恒成立，则，令，则，易证成立，所以，，，所以，则，实数的取值范围是.
方法二：构造函数，求导，易知，故有对任意恒成立，则，即，实数的取值范围是.
例题18：已知函数.
(1)若直线为的切线，求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
解析：(1)设切点，所以，，解得
(2)对任意的，不等式恒成立，则，
①当时，不等式恒成立，则；
②当时，，，令，则，则单调递增，有，即，所以函数在单调递增，由洛必达法则，
，所以，即，故的取值范围是.

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