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专题十三、指对跨阶之同构式构造
1.单调性同构：
(1)若，且
可以构造新函数为增函数
(2)若，且
可以构造新函数为减函数
含有地位相等，形式雷同的两个变量，首先预设两个变量的大小，并把式子整理成不等式两边具有结构一致形式，往往暗示去构造新函数.
2.指对跨阶想同构
(1)积型：
如：，后面的转化方法同(1)，
在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数单调性一看便知，
(2)商型：
(3)和差型：
如：，
3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量，
(1)，后面转化2(1)，
(2)
(3)，后面转化同2(1)，
例题1：对于任意，不等式(或)恒成立，则的取值范围是 .
例题2：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 .
例题3：对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
例题4：设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是 .
例题5：已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是( )
例题6：已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
例题7：若对任意，恒有，则实数的取值范围是( )
例题8：设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为( )
例题9：已知函数.
(1)设是的极值点，求的值并求的单调区间；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围.
例题10：已知函数为函数的导函数.
(1)若，求证：对任意，都有；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围.
例题11：已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线垂直于直线，求证：当时，.专题十三、指对跨阶之同构式构造
1.单调性同构：
(1)若，且
可以构造新函数为增函数
(2)若，且
可以构造新函数为减函数
含有地位相等，形式雷同的两个变量，首先预设两个变量的大小，并把式子整理成不等式两边具有结构一致形式，往往暗示去构造新函数.
2.指对跨阶想同构
(1)积型：
如：，后面的转化方法同(1)，
在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数单调性一看便知，
(2)商型：
(3)和差型：
如：，
3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量，
(1)，后面转化2(1)，
(2)
(3)，后面转化同2(1)，
例题1：对于任意，不等式(或)恒成立，则的取值范围是 .
答案：
解析：由，故只需，由在上单调递增，在单调递减，故，所以，解得.
例题2：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：由题意得恒成立，则需要满足，显然恒成立，故只需要，解得.
例题3：对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
答案：
解析：由，则，令
，，所以，即，故选.
例题4：设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是 .
答案：
解析：由，即恒成立，所以.
例题5：已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是( )
答案：
解析：由对任意的实数恒成立，此时，即，故选.
例题6：已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：由
,只需,由切线放缩可知，所以,即，故选.
例题7：若对任意，恒有，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：，则有
，属于同构式，即，所以，故选.
例题8：设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为( )
答案：
解析：由，该不等式属于同构式：，则，所以，又，所以，故的最大值为.
例题9：已知函数.
(1)设是的极值点，求的值并求的单调区间；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围.
解析：(1)由，则，，当，，当时，，所以在单调递减，在单调递增；
(2)因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，设，则，函数在单调递增，故，等价于恒成立，则需要满足，令，，易知，故只需，即.
例题10：已知函数为函数的导函数.
(1)若，求证：对任意，都有；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围.
解析：(1)当时，，由切线放缩不等式有，所以，所以，故；
(2)若有两个极值点，即方程有两个不等的实根，
即，它们属于同构函数好，该函数单调递增，由，则，显然，所以.
例题11：已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线垂直于直线，求证：当时，.
解析：，
①当时，，则函数在上单调递增；
②当时，，，所以函数在单调递减，单调递增；
(2)由，故，要证明时，，只需要证明，根据“放对再防指，常数是关键”，构造(取等号的条件为)，如此便消去常数，即只需要证明.

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