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专题十、参数取值范围之零点比大小
1.求、、的最值或取值范围模型
在选择、填空压轴题中我们常常会遇到如下类型问题：
①不等式恒成立，求的最值或取值范围；
②不等式恒成立，求的最值或取值范围；
③不等式恒成立，求的最值或取值范围；
④不等式恒成立，求的最值或取值范围；
⑤不等式恒成立，求的最值或取值范围；
⑥不等式恒成立，求的最值或取值范围；
对于，通常的方法是构造新函数，则时，从而达到解决此类型题目的目的，但是此方法计算量大而且复杂，从时间成本来说，是没有必要的，故需要采取一些高观点低运算的方法，此类题目可以利用数形结合的思想，如图1所示，
图1 图2
通常是一个凹函数()，意味着与相切时恒成立，是直线与轴的交点，记为，故此类问题可以将的唯一零点求出，满足即可.
同理，在比较时，也可以同样类型转化，如图2所示，此时函数为凸函数()，构造即可，此类解决双参数问题的方法叫做零点比大小.
例题1：已知直线的图像恒在曲线的图像上方，则的取值范围是( )
答案：
解析：因为，所以为凸函数，零点为，故，当时，，利用零点比大小的模型可知，故选.
例题2：已知恒成立，则的最大值为 ；当取最大值时，的值为 .
答案：
解析：由，如下图，的零点为，直线的零点为，根据零点比大小模型，则，又因为曲线在轴上的截距为，则；当时，直线应为曲线的切线，所以.
例题3：已知对任意恒成立，则的最小值为 .
答案：
解析：由于零点不好求，故需要换元和代数变形才能求出零点，令，则，指对互换得，该题设等价于对任意恒成立，又等价于，如图所示，作出的图像，得到零点，再求出直线的零点，根据零点比大小模型，，所以.
例题4：已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为 ( )
答案：
解析：，令，，所以的零点为，直线的零点为，由零点比大小可知，，即，故选.
例题5：已知函数，若不等式在恒成立，则的最小值是( )
答案：
解析：由可得，如下图，作出的图像，已知是凸函数，则的零点为，直线的零点为，由零点比大小模型可得，则有，故选.
例题6：若直线是函数图像的切线，则的最小值为 .
答案：
解析：由于为直线在时取得的值，故此题需要构造零点为的函数，令，如下图，其零点，则与其相切直线向上平移一个单位为，其零点为，根据两零点比大小模型，则，当且仅当它们相切时取等号，此时.
例题7：已知是函数的切线，则的最小值为 .
答案：
解析：由于是直线在处取得的值，故可以通过平移，让其回到零点位置，令，如图所示，作出与的图像，由零点比大小模型可得，当时相切，则.
例题8：已知直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是 .
答案：
解析：构造函数与函数，作出其图像如下：
可知的零点为的零点为，根据零点比大小模型可得，即，解得.
例题9：若直线与曲线相切，则的最小值为 ( )
答案：
解析：设的零点为，的零点为，由零点比大小模型可得，所以.故选.
例题10：设曲线上任意一点处的切线方程为，则的可最小值为( )
答案：
解析：为直线在处的值，所以需要构造处的零点，令，由，可得，作函数和的图像，可知时相切，此时的最小值为，故选.
例题11：已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为( )
答案：
解析：由题可知，，作和的图像，如下图所示，的零点为的零点为，由零点比大小模型可知，所以，故选.
例题12：已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为( )
答案：
解析：由题意将不等式变形为，作函数和直线的图像，如图所示：
的零点为的零点为，由零点比大小模型可知，所以.故选
例题13：已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为 ( )
答案：
解析：把不等式变形为，令，其零点为，直线，其零点为，由零点比大小模型可知，即，所以，故选.
例题14：已知，若关于的不等式对一切正实数恒成立，则当取最小值时，的值为 .
答案：
解析：在平面直角坐标系中，分别作出和的图像，不等式对一切正实数恒成立，即直线恒在曲线上方，由零点比大小可知，取最小值时，直线与交点的纵坐标最小，根据图像可知，的最小值为，此时直线与曲线相切于点，因此有，从而.
例题15：若直线是函数图像的切线，则最小值为 .
答案：
解析：因为是直线在处取得的值，故此题需要构造零点为1的函数，令，其零点为，则与其相切直线向上平移一个单位为，其零点为,如下图所示：
根据零点比大小模型由，.
例题16：已知函数是函数的切线，则的最小值为 .
答案：
解析：是直线在处取得的值，故可以通过平移，让其回到零点位置，令，解得，作出与直线的图像，易知，，由零点比大小模型可得，当且仅当时相切，则，
例题17：已知关于的不等式在恒成立，则正整数的最大值为( )
答案：
解析：令，，则的零点为，的零点为，由零点比大小可知，，所以，正整数的最大值为.故选.
例题18：关于的不等式在上恒成立，则的最小值为( )
答案：
解析：由题意可知，令并作出它们的图像，如下图所示：
曲线的零点为，直线的零点为，由零点比大小模型可知，，故选.
例题19：(乐山市2021届二诊)设函数().
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若，求的最大值.
解析：(1)当，则，
①若，则恒成立，所以函数在上单调递增，不合题意；
②若，由，，所以函数在单调递减，在单调递增，则函数的极小值为，
有两个零点，则，即，解得.
(2)方法一：由题.
若单调递增，当时，，存在，使得，不符合题意；
若，由，知，即，此时.
若由,,所以函数在单调递减，在单调递增,则函数的极小值为，
所以，则，
令，，则，由，，所以在单调递增，在单调递减，即，
所以的最大值为.
方法二：因为，由于是直线在时取得的值，如图，作出的图像，已知是凹函数，零点为，直线的零点为，由零点比大小模型可得，解得，所以的最大值为.
2.指对跨阶型单参数问题
在一些定义域为认为设计无零点，比如指数函数，需要通过构造并凑出零点，方法通常是指对互换，换元法，将转化为，构造处定义域端点为零点后，再利用数形结合，解出参数的取值范围，通常以形式出现，若(已知)，则构造，利用.
对于形如的类型，两函数一定关于直线对称，考虑极限情况，公切线一定是，当时，恒成立，且切点为；当在区间恒成立，且，则边界就是取得最小值的点，找点法则通常是不考虑区间找出临界值，再考虑区间来分析端点值.
例题1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：因为，所以，两边取对数得，则直线的零点为，曲线的零点为，根据零点比大小可知，，则.
例题2：对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
答案：
解析：由题可知，，两边同时取对数得，直线的零点为，函数的零点为由零点比大小模型可知，则，所以，函数单调递增，且，所以，故选.
例题3：设函数(为自然对数的底数)，当时，恒成立，则实数的最大值为( )
答案：
解析：由题可知恒成立，即，两边同时取对数，得，即，令，其零点分别为，由零点比大小模型可知，故选.
例题4：对于任意的,不等式(,且)恒成立,则实数的取值范围是 .
答案：
解析：因为和互为反函数，则公切线是，设切点为，此时，解得，故时，不等式(,且)恒成立.
例题5：设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是 .
答案：
解析：方法一：不等式恒成立,则，两边同时取对数可得，直线的零点为，函数的零点为，根据零点比大小模型可知，即，因为函数单调递增，且，所以.
方法二：指对同构，具体过程略
例题6：已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)若函数的图像与函数的图像相切于处，求的值；
(2)当时，若不等式恒成立，求的最小值.
解析：(1)因为函数的图像与函数的图像相切于处，所以，所以，所以；
(2)令，则，当时，单调递增，而，所以时，，不合题意；当时，令，则，因为为减函数，所以时，单调递增，时，单调递减，所以，即①，但任意，，等号成立当且仅当，所以不等式①成立只能，即.
例题7：已知实数，设函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的最小值.
解析：(1)当时，，由，，所以函数在单调递减，单调递增，所以的极小值为，无极大值；
(2)由已知，对任意，不等式恒成立，当时，不等式恒成立，当时，则有，令，则，则在单调递增，于是，时，有，即，易知，即，则的最小值为.专题十、参数取值范围之零点比大小
1.求、、的最值或取值范围模型
在选择、填空压轴题中我们常常会遇到如下类型问题：
①不等式恒成立，求的最值或取值范围；
②不等式恒成立，求的最值或取值范围；
③不等式恒成立，求的最值或取值范围；
④不等式恒成立，求的最值或取值范围；
⑤不等式恒成立，求的最值或取值范围；
⑥不等式恒成立，求的最值或取值范围；
对于，通常的方法是构造新函数，则时，从而达到解决此类型题目的目的，但是此方法计算量大而且复杂，从时间成本来说，是没有必要的，故需要采取一些高观点低运算的方法，此类题目可以利用数形结合的思想，如图1所示，
图1 图2
通常是一个凹函数()，意味着与相切时恒成立，是直线与轴的交点，记为，故此类问题可以将的唯一零点求出，满足即可.
同理，在比较时，也可以同样类型转化，如图2所示，此时函数为凸函数()，构造即可，此类解决双参数问题的方法叫做零点比大小.
例题1：已知直线的图像恒在曲线的图像上方，则的取值范围是( )
例题2：已知恒成立，则的最大值为 ；当取最大值时，的值为 .
例题3：已知对任意恒成立，则的最小值为 .
例题4：已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为 ( )
例题5：已知函数，若不等式在恒成立，则的最小值是( )
例题6：若直线是函数图像的切线，则的最小值为 .
例题7：已知是函数的切线，则的最小值为 .
例题8：已知直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是 .
例题9：若直线与曲线相切，则的最小值为 ( )
例题10：设曲线上任意一点处的切线方程为，则的可最小值为( )
例题11：已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为( )
例题12：已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为( )
例题13：已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为 ( )
例题14：已知，若关于的不等式对一切正实数恒成立，则当取最小值时，的值为 .
例题15：若直线是函数图像的切线，则最小值为 .
例题16：已知函数是函数的切线，则的最小值为 .
例题17：已知关于的不等式在恒成立，则正整数的最大值为( )
例题18：关于的不等式在上恒成立，则的最小值为( )
例题19：(乐山市2021届二诊)设函数().
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若，求的最大值.
2.指对跨阶型单参数问题
在一些定义域为认为设计无零点，比如指数函数，需要通过构造并凑出零点，方法通常是指对互换，换元法，将转化为，构造处定义域端点为零点后，再利用数形结合，解出参数的取值范围，通常以形式出现，若(已知)，则构造，利用.
对于形如的类型，两函数一定关于直线对称，考虑极限情况，公切线一定是，当时，恒成立，且切点为；当在区间恒成立，且，则边界就是取得最小值的点，找点法则通常是不考虑区间找出临界值，再考虑区间来分析端点值.
例题1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 .
例题2：对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
例题3：设函数(为自然对数的底数)，当时，恒成立，则实数的最大值为( )
例题4：对于任意的,不等式(,且)恒成立,则实数的取值范围是 .
例题5：设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是 .
例题6：已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)若函数的图像与函数的图像相切于处，求的值；
(2)当时，若不等式恒成立，求的最小值.
例题7：已知实数，设函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的最小值.

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