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专题七、分类讨论思想在导数中的应用
类型一：导函数是二次函数或类二次函数(如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二次)形式.
1.若二次函数或类二次函数的最高次系数存在参数，则需要对参数是否为零进行讨论；
2.若二次函数最高次系数不为零时，则需要对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导数是否有根，从而确定原函数极值点的个数；
3.若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系；
4.若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系.
类型二：导函数不是二次函数或类二次函数(如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二次)形式.
1.能因式分解的先因式分解，分解之后求根，注意所求的根在所给出的定义域内有没有意义；
2.如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要比较两根的大小关系；
3.如果原函数有定义域，还需要判断极值点和定义域端点的位置关系.
例题1：已知函数，讨论函数在定义域内的单调性.
例题2：设函数，求函数的单调增区间.
例题3：已知函数.
(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
例题4：已知函数，判断函数极值点的个数，并说明理由.
例题5：已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.
例题6：已知
（1）若，且在恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若不是的极值点，求实数的取值.
例题7：已知函数，，为的导函数.
（1）讨论的单调性，设的最小值为，并求证：
（2）若有三个零点，求的取值范围.
例题8：已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明．
例题9：已知函数，
（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，
例题10：已知函数.
（1）求证：对任意实数，都有；
（2）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）
例题11：已知函数在点处的切线与轴垂直．
（1）若a＝1，求的单调区间；
（2）若，成立，求的取值范围．
例题12：已知函数，（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值.
例题13：设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
例题14：设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
例题15：已知函数，.
（1）当a = 2时，求曲线y =在点( 0，f (0) )处的切线方程；
（2）求函数在区间[0 , e -1]上的最小值.专题七、分类讨论思想在导数中的应用
类型一：导函数是二次函数或类二次函数(如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二次)形式.
1.若二次函数或类二次函数的最高次系数存在参数，则需要对参数是否为零进行讨论；
2.若二次函数最高次系数不为零时，则需要对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导数是否有根，从而确定原函数极值点的个数；
3.若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系；
4.若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系.
类型二：导函数不是二次函数或类二次函数(如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二次)形式.
1.能因式分解的先因式分解，分解之后求根，注意所求的根在所给出的定义域内有没有意义；
2.如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要比较两根的大小关系；
3.如果原函数有定义域，还需要判断极值点和定义域端点的位置关系.
例题1：已知函数，讨论函数在定义域内的单调性.
解析：函数的定义域为，，设，令，则.
(1)当时，即，恒成立，则在单调递增；
(2)当时，即，令，得，
①若，即，在上单调递减，在上单调递增；
②若，即，在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当，在上单调递减，在上单调递增.
例题2：设函数，求函数的单调增区间.
解析：因为，
所以，
①当时，令，解得；
②当时，令，解得；
③当时，令，解得；
④当时，令，解得；
⑤当时，令，解得；
综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为.
例题3：已知函数.
(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
解析：(1)函数的定义域为，，
①若时，，则在上单调递减；
②若时，令，得，由，得，，得，
所以在单调递减，在单调递增.
(2)方法一：当时，由(1)可知，函数在上单调递减，所以最多一个零点，不合题意，
当时，当时，，则，当时，，则,要使函数有两个零点,只需要即可,,令,则，,则，则.
方法二(分离常数)：令，可得，令，则，令，，易知时，，时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，当时，，如图：
综上所述实数的取值范围是.
例题4：已知函数，判断函数极值点的个数，并说明理由.
解析：函数的定义域为，，
(1)当时，，由，，则有极小值；
(2)当时，令得或，
①当，即时，，所以在单调递增，无极值点；
②当，即时，当或，，此时有两个极值点；
③当，即时，当或，，此时有两个极值点；
例题5：已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.
解析：(1)的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，，所以在上单调递增；
当时，令，得，（舍）.
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)当时，，
当时，单调递增，，，则，故不存在零点；
当时，，在上单调递减，
所以，，
所以，单调递增，又，，
所以存在唯一，使得.当时，，，所以单调递减，又，，所以存在，使得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，，
因此，在上恒成立，故不存在零点.
当时，，所以单调递减，
因为，所以，单调递减，又，，
所以存在唯一，使得.
当时，，故不存在零点.
综上，存在两个零点，，且，，因此的最小值为3.
例题6：已知
（1）若，且在恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若不是的极值点，求实数的取值.
解析:(1)由题,当时,,所以,
设所以恒成立,
所以在上为增函数,所以,又,
所以恒成立,所以在上为增函数,所以,所以
（2）,
令,则,
设,则,
所以在上递增,且,
①当时,,所以当时,；当时,,
即当时,；当时,,
所以在上递减,在上递增,所以,
所以在上递增,所以不是的极值点,所以时,满足条件；
②当时,,又因为在上递增,所以,使得,
所以当时,,即,所以在上递增,又,
所以当时,；当时,,所以是的极小值点,不合题意,
综上,.
例题7：已知函数，，为的导函数.
（1）讨论的单调性，设的最小值为，并求证：
（2）若有三个零点，求的取值范围.
解析：（1）,令,所以,
令,解得,所以当时,,所以单调递减,即单调递减；当时,,所以单调递增,即单调递增；
所以的最小值,令,则,
令,解得,所以单调递增；单调递减,
所及,命题得证.
（2）由（1）若的最小值,
即时,,此时在上单调递增,
因为在上单调递增,不可能有三个零点,所以,此时,
又由(1)可知,单调递减；,单调递增,其中,
且,,所以存在,使得,
存在,使得,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
其中在中,有,存在,使得,
在区间上要有两个零点,必须①,
其中使得成立,即②,代入①式,
得,解得,由②得,令,,
所以在时单调递增,所以,所以.
例题8：已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明．
解析：（1）由得，
当时，，若；若 ，
故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.
（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.
当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.
当时，，则仅有一个零点.
当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.综上，有两个零点时，的取值范围是.
两零点分别在区间和内，不妨设.
欲证，需证明，
又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.
，
又，所以，
令，则，
则在上单调递减，所以，即，所以.
例题9：已知函数，
（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，
解析：(1),因为，
当时，，函数在（0，1）内单调递减，在内单调递增；
当时，即，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，，函数在内单调递增；
当时，即，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
综上：当时，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
（2）当时，由（1）可得函数在内单调递减，在内单调递增，
函数在内的最小值为，
要证：不等式成立，即证：，
即证：，，即证：，
令，
则函数在内单调递减，，因为，
则，即当时，成立
则当时，成立.
例题10：已知函数.
（1）求证：对任意实数，都有；
（2）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）
解析：（1）证明：由已知易得，所以
令得： ，显然，时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
所以 ，
令，则由得，
时，>0，函数t（）单调递增；时，<0，函数t（）单调递减
所以，即结论成立.
（2）由题设化简可得，令，所以
由=0得
①若，即时，在上，有，故函数单调递增，所以
②若，即时，
在上，有，故函数在上单调递减，
在上，有.故函数在上单调递增，
所以，在上， ，
故欲使，只需即可，
令，由得，
所以，时，，即单调递减，
又，，故
例题11：已知函数在点处的切线与轴垂直．
（1）若a＝1，求的单调区间；
（2）若，成立，求的取值范围．
解析：（1），由题，解得，由a＝1，得b=1.
因为的定义域为，所以，
故当时，，为增函数，当时，，为减函数，
（2）由（1）知b＝2－a，
所以.
（i）若，则由（1）知，即恒成立．
（ii）若，则且，
当时，，为增函数；当时，，为减函数，
，即恒成立．
（iii）若，则且，
故当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
由题只需即可，即，解得，
而由，且，得．
（iv）若，则，为增函数，且，
所以，，不合题意，舍去；
（v）若，则，在上都为增函数，且，
所以，，不合题意，舍去；
综上所述，a的取值范围是．
例题12：已知函数，（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值.
解：（1），令；所以在上递减，在上递增；
（2）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；
当即时，函数在区间上递减，所以
例题13：设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解析：（1）的定义域为
令，判别式，
当故上单调递增．
当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
当时，的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，．因为，所以
，又由(1)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
，,再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得
例题14：设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
解析：（1）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。
（2），令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.综合得的取值范围为
例题15：已知函数，.
（1）当a = 2时，求曲线y =在点( 0，f (0) )处的切线方程；
（2）求函数在区间[0 , e -1]上的最小值.
解：（1）f (x)的定义域为. 因为，a = 2，
所以，.所以 函数f (x)在点处的切线方程是 .
（2）由题意可得 .
(1)当时，，所以在上为减函数，
所以在区间上，.
(2) 当时, 令，则，
① 当，即时，对于，， 所以f (x)在上为增函数，
所以.
② 当，即时，对于，，所以f (x)在上为减函数，
所以.
③ 当即时，当x变化时，，的变化情况如下表：
0
- 0 +
极小值
所以
综上，当时，；当时，；当时，.

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