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专题八、含导函数的原函数构造全归纳
类型1.型构造
对于，可构造，则函数单调递增.
例题1：已知函数的导函数满足，且，则不等式的解集是 .
例题2：函数的定义域为，，对任意，则不等式的解集为 .
类型2.积商函数构造
积商形式：；
定理1：；.
定理2：当时，；.
例题3：(2015年二卷)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ( )
例题4：已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是( )
例题5：函数是定义在上的函数，，且在上可导，为其导函数，若且，则不等式的解集为( )
例题6：设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是 ( )
例题7：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )
例题8：函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为( )
例题9：已知奇函数的导函数是，且，当时，恒成立，则不等式的解集为 ( )
例题10：设函数，的导数为，且满足，则( )
不能确定与的大小
类型3.关于问题构造
定理3：若在定义域内可导,则;；
；.
定理4：若在定义域内可导,则
;；
；.
定理5：若在定义域内可导,则单调递增;单调递增.
例题1：设函数在上的导函数为，且，则下面不等式在上恒成立的是 ( )
例题2：已知设函数的导函数为，且对任意都有(是自然对数的底数)，，则 ( )
例题3：已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意，恒成立，若，则实数的取值范围是 ( )
例题4：已知定义在上的可导函数满足，设，则的大小关系是 ( )
大小与有关
例题5：已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为 ( )
例题6：已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为 .
例题7：设定义域为的函数满足，则不等式的解集为 .
例题8：设定义域为的可导函数满足(是的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是 ( )
例题9：已知定义在上的函数，其导函数为，若，且，则不等式(其中是自然对数的底数)的解集为 ( )
例题10：已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，，，则下列判断一定正确的是 ( )
例题11：已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集 ( )
例题12：定义在上的函数满足：且，，其中是的导函数，则不等式的解集为( )
例题13：已知是可导函数，且对于恒成立，则( )
类型4.关于或型构造
定理6：正弦同号，余弦反号定理
①，
当时，，
②，
当时，，
③，
当时，，
④，
当时，，
记忆方法：(1)看同号：加是乘，减是除；(2)看反号：加是除，减是乘
注意：如果遇，一定切化弦.
例题1：已知定义在上的函数满足，，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为 .
例题2：已知函数的图像关于点对称，函数对任意满足(其中是的导函数)，则下列不等式成立的是 ( )
例题3：已知函数在上单调递减，是其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是 ( )
例题4,：已知是的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则 ( )
例题5：已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是 ( )
例题6：设偶函数定义在上，其导函数为，当时，
，则不等式的解集为 ( )
类型5.含有型函数构造
定理7：；，
;
;
记忆方法：将公式全部转化为形式，首先满足导数构造中加乘减除符号不变性，若括号内无，则是或，若括号内是，则是或，若括号内是，则是或.
例题1：是定义在上的函数，其导函数是，且对任意都有，则 ( )
例题2：定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，则 ( )
例题3：已知函数是上的奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集是 ( )
例题4：已知函数的导函数满足，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是 ( )
例题5：定义在上的可导函数得导数为，且，则下列不等式正确的是 ( )
例题6：(有难度)已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是 ( )
类型6.非对称的构造
定理8.
①平移模型：
;
②倍数模型：
；
③奇偶模型：
为奇函数；
为偶函数(为奇函数).
例题1：已知为上的可导函数，且，均有，则有 ( )
例题2：已知定义在的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 .
例题3：设函数的导函数为，且，(为自然对数的底数)，则不等式的解集为 ( )
例题4：已知函数是定义在上的可导函数，是其导数，当且时，，若曲线在点处的切线斜率为，则的值为( )
例题5：设函数在上存在导函数，对任意，都有，当时，，若，则实数的取值范围是 ( )
例题6：已知的导函数为，若且当时，，则不等式的解集是 .
例题7：设函数在上存在导函数，对任意的实数，都有，当时，，若，则实数的最小值为 ( )
例题8：已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为( )
例题9：定义在上的可导函数，当时，恒成立，，，，则的大小关系为 ( )
例题10：定义在上的可导函数，对任意的实数，都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围是 ( )
例题11.已知定义在上的可导函数,对于任意实数都有成立,且当时,都有成立,若,则实数的取值范围是( )专题八、含导函数的原函数构造全归纳
类型1.型构造
对于，可构造，则函数单调递增.
例题1：已知函数的导函数满足，且，则不等式的解集是 .
答案：
解析：令，则，所以在上单调递增，又因为，所以，则可转化为，根据单调性可知不等式的解集为.
例题2：函数的定义域为，，对任意，则不等式的解集为 .
答案：
解析：构造函数，所以，对任意，所以成立，则函数在上单调递增，
又，所以，即不等式得解集为.
类型2.积商函数构造
积商形式：；
定理1：；.
定理2：当时，；.
例题3：(2015年二卷)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ( )
答案：
解析：由于当时，，则，则函数为减函数；又,为奇函数，则，当时，，当时，，根据奇函数的图像可得成立的的取值范围是.故选
例题4：已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是( )
答案：
解析：设，因为为奇函数，所以为上的偶函数，，所以，当是，，所以当时，，当时，，即在单调递增，在单调递减，，，，且，所以，即，故选.
例题5：函数是定义在上的函数，，且在上可导，为其导函数，若且，则不等式的解集为( )
答案：
解析：函数在上可导，为其导函数，令，则，可知当时，是单调减函数，时，是单调增函数，又，则，且，则不等式的的解集就是的解集，该不等式的解集为，故选
例题6：设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是 ( )
答案：
解析：由已知，首先令，得，排除，令，则，①当时，有，所以函数单调递增，所以，当时，，所以；
②当时，有，所以函数单调递减，所以，当时，，所以.综上所述，，故选.
例题7：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )
答案：
解析：令，，当时，，所以，所以在上单调递减，所以可转化为，即，故，故选.
例题8：函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为( )
答案：
解析：令，则，所以在上单调递增，等价于，即，所以，解得，故选.
例题9：已知奇函数的导函数是，且，当时，恒成立，则不等式的解集为 ( )
答案：
解析：由已知令，则，因为当时，有，所以，当时，，所以在单调递增，又因为函数是奇函数，所以函数，所以是定义域上的偶函数，由于，则，函数的图像大致如下：
由函数图像可得：或，所以不等式的解集为，故选.
例题10：设函数，的导数为，且满足，则( )
不能确定与的大小
答案：
解析：令，则，所以在单调递减，即，所以，故选.
类型3.关于问题构造
定理3：若在定义域内可导,则;；
；.
定理4：若在定义域内可导,则
;；
；.
定理5：若在定义域内可导,则单调递增;单调递增.
例题1：设函数在上的导函数为，且，则下面不等式在上恒成立的是 ( )
答案：
解析：因为，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以时，，即，故选.
例题2：已知设函数的导函数为，且对任意都有(是自然对数的底数)，，则 ( )
答案：
解析：令，则，因为对任意都有，则，可得，且，则，所以，故选.
例题3：已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意，恒成立，若，则实数的取值范围是 ( )
答案：
解析：设，则恒成立，所以在上单调递增，又，即，从而，即，所以，故选.
例题4：已知定义在上的可导函数满足，设，则的大小关系是 ( )
大小与有关
答案：
解析：设，则，则为单调递减函数，，则，所以，所以
，即，故选.
例题5：已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为 ( )
答案：
解析：由可得,令,则,则函数在上单调递减，又，则不等式的解集为，故选.
例题6：已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为 .
答案：
解析：令，所以，，故在上单调递减，又，所以，所以，不等式等价于，根据单调性可知，当，即得解集为.
例题7：设定义域为的函数满足，则不等式的解集为
.
答案：
解析：设，则，所以，所以，即函数在定义域上单调递增，由，可得，即，所以可得，故不等式的解集为.
例题8：设定义域为的可导函数满足(是的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是 ( )
答案：
解析：构造函数，所以在单调递减，令，则，则有，可得，下面证明不等式，即证明，令，则，即在上递减，，即，所以，若且，则，故选.
例题9：已知定义在上的函数，其导函数为，若，且，则不等式(其中是自然对数的底数)的解集为 ( )
答案：
解析：设，则，则在上单调递增，又因为，所以等价于，则，即,则不等式的解集为，故选.
例题10：已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，，，则下列判断一定正确的是 ( )
答案：
解析：令，则，因为，所以当时，，所以，此时函数单调递减，所以，即，所以，，即，故选.
例题11：已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集 ( )
答案：
解析：令，所以，则函数单调递减，因为，所以，函数是定义在上的增函数，，得在上恒成立，由得，解得，即，因为函数单调递减，即，故选.
例题12：定义在上的函数满足：且，，其中是的导函数，则不等式的解集为( )
答案：
解析：设，因为，，单调递增，因为，所以，即，所以，，所以，，故选.
例题13：已知是可导函数，且对于恒成立，则( )
答案：
解析：由已知，则，令，则
，所以在上单调递减，即，即
，故选.
类型4.关于或型构造
定理6：正弦同号，余弦反号定理
①，
当时，，
②，
当时，，
③，
当时，，
④，
当时，，
记忆方法：(1)看同号：加是乘，减是除；(2)看反号：加是除，减是乘
注意：如果遇，一定切化弦.
例题1：已知定义在上的函数满足，，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为 .
答案：
解析：构造函数，，因为，则，则为上的偶函数，由，则，则，
，对任意，不等式，则，即在单调递增，由偶函数的性质可知时，单调递减，由不等式，得或.则或.解集为
例题2：已知函数的图像关于点对称，函数对任意满足(其中是的导函数)，则下列不等式成立的是 ( )
答案：
解析：函数的图像关于点对称,所以为奇函数。所以为偶函数，函数对任意满足，即，所以在上单调递增，在单调递减，
由，即，可知错误；
由，即，可知错误；
由，即，可知正确；
由，即，可知错误；综上可知，答案选.
例题3：已知函数在上单调递减，是其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是 ( )
答案：
解析：函数在上单调递减，所以当时，又对任意都有，则，即，且，设，则，所以，则
，因为，所以不一定成立，由此可知成立，故选.
例题4,：已知是的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则 ( )
答案：
解析：因为，，所以，设，则，所以在单调递增，所以，所以，化简可得
，，，，所以错误，故选.
例题5：已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是 ( )
答案：
解析：令，由已知对任意的满足，所以，即函数在单调递增，则，即，即，故正确，，即，错误，，即，即，错误，，即，即，错误，故选.
例题6：设偶函数定义在上，其导函数为，当时，
，则不等式的解集为 ( )
答案：
解析：设，所以为偶函数，求导得，又由时，,则,所以函数在单调递减,又由于是定义在偶函数,,即，即，所以，且，故不等式的解集为.故选.
类型5.含有型函数构造
定理7：；，
;
;
记忆方法：将公式全部转化为形式，首先满足导数构造中加乘减除符号不变性，若括号内无，则是或，若括号内是，则是或，若括号内是，则是或.
例题1：是定义在上的函数，其导函数是，且对任意都有，则 ( )
答案：
思路分析：先转化为，易知是减法，即可作商，将括号内构造函数.
解析：因为，所以，所以，即，假设，则在区间为减函数，所以
，即，即，所以，故选.
例题2：定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，则 ( )
答案：
思路分析：先转化为，依然是减法，即可作商，括号内可以构造为导函数：.
解析：由得，，令，则，所以当时，，即在单调递增，所以，即，故选.
例题3：已知函数是上的奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集是 ( )
答案：
解析：设，则，所以由已知条件，当时，，所以函数在单调递减，所以，则当时，，又,所以；当时，,又,所以,又由是上的奇函数，则在区间和上，都有，
所以不等式等价于或，解得或，所以不等式的解集为，故选.
例题4：已知函数的导函数满足，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是 ( )
答案：
解析：令，由，，得，所以，故函数在单调递减，故，即，即，故选.
例题5：定义在上的可导函数得导数为，且，则下列不等式正确的是 ( )
答案：
解析：因为，所以所以，即，即，设，则在递减，所以，即，即，故选.
例题6：(有难度)已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是 ( )
答案：
解析：令，则，因为，，所以，即在上单调递增，又，所以当时，，即，令，则，不等式等价于，所以，即，解的，故选.
类型6.非对称的构造
定理8.
①平移模型：
;
②倍数模型：
；
③奇偶模型：
为奇函数；
为偶函数(为奇函数).
例题1：已知为上的可导函数，且，均有，则有 ( )
答案：
解析：设，因为，所以，即在上单调递减，所以，即，所以，同理可得，所以，所以，故选.
例题2：已知定义在的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 .
答案：
解析：设函数，所以时，，故函数在区间上递增，且，所以原不等式等价于，即，根据函数单调性可得，故原不等式的解集为.
例题3：设函数的导函数为，且，(为自然对数的底数)，则不等式的解集为 ( )
答案：
解析：设，由已知，则，即有在上递增，不等式等价于，即，所以，所以等价于，由在上单调递增，可得，解得，故不等式解集为，故选.
例题4：已知函数是定义在上的可导函数，是其导数，当且时，，若曲线在点处的切线斜率为，则的值为( )
答案：
解析：当且时，，可得时，，当时，令，，则，当时，，当时，，所以函数在处取得极大值，，又，所以，故选.
例题5：设函数在上存在导函数，对任意，都有，当时，，若，则实数的取值范围是 ( )
答案：
解析：因为，设，则，所以为奇函数，又，所以在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，所以，解得，故选.
例题6：已知的导函数为，若且当时，，则不等式的解集是 .
答案：
解析：令，则由，可得，故为偶函数，当时，，即，所以在上是增函数，不等式可转化为，根据的单调性和奇偶性可得，解得.
例题7：设函数在上存在导函数，对任意的实数，都有，当时，，若，则实数的最小值为 ( )
答案：
解析：设，则，当时，，则，当时，为单调递减函数，因为，所以，所以，即为偶函数，将不等式等价变形得，即，又因为为偶函数，且在单调递减，则在上单调递增，即，解得，所以的最小值为，故选.
例题8：已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为( )
答案：
解析：设，则，所以函数在上单调递增，又，所以，不等式等价于，即，即，则不等式的解集为，故选.
例题9：定义在上的可导函数，当时，恒成立，，，，则的大小关系为 ( )
答案：
解析：因为，则，设，则，所以在单调递增，则有，故，故，故选.
例题10：定义在上的可导函数，对任意的实数，都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围是 ( )
答案：
解析：设，故，又因为，所以，即在上单调递增，所以由，则，即，所以，解得，故选.
例题11.已知定义在上的可导函数,对于任意实数都有成立,且当时,都有成立,若,则实数的取值范围是( )
答案：
解析：令，则，所以，则在上为偶函数，又当时，都有成立，所以，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，所以，即，解得，故选.

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