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专题九、函数零点问题
1.嵌套函数零点问题
①嵌套函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的嵌套函数，记为：.
②嵌套函数数值计算的步骤：求的函数值遵循“由内到外”的顺序，一层一层求出函数值.例如：已知，计算.
解析：，所以.
③已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值.
例如：已知，若，求.
解：令，则解得，当无解，当，，解得，综上所述：
④嵌套函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数.
⑤求解嵌套函数零点问题的技巧：
(I)此类问题与函数图像结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像；
(II)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围.
例题1：已知函数，若方程恰有七个不同的实根，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：作出函数的图像，如下图：
因为方程最多只能解出两个，若要求出七个跟，则，所以，解得：，故选.
例题2：设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的解，则
答案：
解析：先做出函数的图像，如下图：
观察发现对于任意的，满足的的个数分别为个()和个()，已知有个解，从而可得必为方程的根，而另一个根为或者是负数，所以，可解得：，所以.
例题3：已知函数，若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：令，则，作的图像，如图1所示,设的零点为，由图2可知，数形结合有，解得
图1 图2
例题4：已知,函数，，若有个零点，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：作出函数的图像，如图1所示，令与的图像最多有个零点，当有个零点，则，从左到右交点的横坐标依次为，由于函数有6个零点，，则每一个的值对应个的值，则的值取最小值时，必须高于内函数的顶点，函数对称轴为，则的最小值为，由图2可知，，则，满足①，又②，联立①②得，所以实数的取值范围是.
图1 图2
例题5：已知，关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围为 .
答案：
因为函数，所以当时，，单调递增；当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，由极大值，作出的图像如图1所示，令，所以当时，有3个解，当或时，有1个解，当时，有2个解，因为关于的方程有四个不同的实数根，所以关于的方程在和上各有1个解，令，如图2，所以，即，故答案为.
图1 图2
例题6：已知函数，函数有三个不同的零点，则的取值范围是(其中是自然对数的底数) ( )
答案：
解析：由图作出函数的图像如图所示，所以当时，抛物线的对称轴为，若函数有三个不同的零点，不妨设，即，有三个不同的根，则，即，当时，，即，则，当时，由，得，即，则，设，则导数，则当，时，恒成立，即此时函数为减函数，则，，即，即，即的取值范围是，故选.
例题7：已知函数有三个不同的零点(其中)，则的值为 ( )
答案：
解析：令，则，所以当时，，当时，，则在单调递增，单调递减，且，如图1所示，由题意得必有两个根，由韦达定理有，由图2可知，有一解有另两解，且，则，故选.
图1 图2
例题8：，，若有9个零点，则实数的取值范围是 ( )
答案：
解析：令，，当时，函数递增，当时，函数递减，所以函数有极大值，极小值，若有9个零点，画出函数图像如图1所示，观察函数与直线的交点，当时，，此时函数与最多由3个交点，故不成立，当时，，，，有三个解，有两个解，共5个解，不成立；当时，显然不成立；故要使函数有9个零点，，如图2，根据图像，每个最多与有三个交点，要有9个交点，只能每个都要有3个交点，当，与的交点，，显然，有三个解，有三个解，即，即，，综上：，故选.
图1 图2
例题9：已知函数则函数的零点个数为(为自然对数的底数) ( )
答案：
解析：利用切线放缩函数，当且仅当时等号成立，可得，即，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，根据题意，如下图所示，构造函数与，易知，当取得等号，即；当时，与有两个交点，其中，且，如图1和图2所示，作出图像，易知与和各有两个交点，当时，与仅有一个交点，综上，函数的零点为5个，故选.
图1 图2
2.函数导数隐零点问题
导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性，应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，一定与的单调性有关，基本上需要解方程，而该方程多数时候是超越方程，初等方法不能求解出该方程的根，本专题例举三种方法求解.
方法一、察“言”观“色”、猜出零点
由于导函数为超越方程，无法利用初等方法解方程，可在观察方程结构的基础上大胆猜测，一般地当导函数中出现时，常常猜测，出现时，常常猜测.
例题1：已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在有两个零点，求实数的取值范围.
分析：(1)首先求出函数的导函数，再因式分解为，再对参数分类讨论可得；
(2)依题意可得，当函数在定义域上单调递增，不满足条件；当时，由(1)得在为增函数，因为，，再对三种情况讨论可得.
解析：(1)因为，由，得，.
①当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递增；
②当时，，令得或，由得；所以在为单调递增函数，在为单调递减函数;
③当时，，令得或，由得；所以在为单调递增函数，在为单调递减函数;
(2)因为，
①当时，在为增函数，所以在上至多一个零点；
②当时，由(1)得在为增函数，所以，.
(i)当时，时，时，；所以在为减函数，为增函数，,所以在上只有一个零点；
(ii)当时，，，使得，且在区间为减函数，为增函数，所以，又
，根据零点存在定理，在有且只有一个零点，又在上有且只有一个零点0，故当时，在上只有两个零点；
(iii)当时，，，使得，且在区间为减函数，为增函数，所以在有且只有一个零点0，若在有两个零点，则在有且只有一个零点，又，所以，即，所以，即当时，在有两个零点，综上所述，实数的取值范围是.
例题2：已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若且有两个零点，求实数的取值范围.
解析：(1)定义域为，对于方程，当时，，则在上单调递增，
①当时，对于，有，则在上单调递增.
②当时，令，的或，令，得，所以在，上单调递增，上单调递减.
(2)由已知，因为，所以，而，所以，所以在上单调递增，所以，故有两个零点，等价于在内有两个零点，等价于有两根，显然不是方程的根，所以原方程等价于(，且)，设，则，令，解得，或；令，解得，故在单调递减，，单调递增，其图像如下：
所以，所以，所以.
方法二、设而不求，巧借零点
例题1：已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的范围.
解析：(1)证明：即是证明，设，
当，，单调递增；当，，单调递减；所以在处取到最大值，即，所以得证，
(2)原式子恒成立即在恒成立，设，
，设，
，所以单调递增，且，
所以有唯一零点，而且，所以
两边同时取对数得
易证明函数是增函数，所以得，所以
所以由在上单调递减，在上单调递增，
所以，于是的取值范围是
例题2：已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.
解析：（1）当时,,,
则,,由点斜式方程可得:化简得:,
即切线方程为.
（2）由,得,
令,则.所以在上单调递增,且.
①当时,,函数单调递增,
由于恒成立,则有,即,所以满足条件;
②当时,则存在,使得,当时,,则,单调递减;当时,,则,单调递增.
所以，又满足,即,
所以,则,即，得.
又，令，则，可知，当时，，则单调递减，所以，此时满足条件.综上所述,的取值范围是.
例题3：已知函数，，．
（1）若存在极小值，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：．
解析：（1）由题意得，令，则．
∴当时，得，此时单调递减，且，，
当时，得，此时单调递增，且，，∴．
①当，即时，，于是在上是增函数，从而在上无极值．
②当，即时，存在，使得，
且当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，故是在上的极小值点．
综上，．
（2）要证）即等价于证明．
①当时，得，，显然成立；
②当时，则，结合已知，可得．
于是问题转化为证明，即证明．令，，
则，令，
则，易得在上单调递增．∵，，
∴存在使得，即．∴在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又，，
∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，故，问题得证．
例题4：设函数.
(1)讨论的导函数的零点的个数；(2)证明：当时，.
解析：(1)的定义域为，.
①当时，，没有零点；
②当时，易知单调递增，单调递增，所以在单调递增，又，当满足，且时，，故当时，存在唯一零点，
(2)由(1)，可设在的唯一零点为，当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增，所以当时，，所以，，故当时，.
例题5：已知函数.
(1)设是的极值点，求并讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
解析：(1)由的增区间为，减区间为，
(2)当时，，，所以，令，则，所以在上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以，又，所以，则，所以，故，即，又，故
例题6：设函数有两个极值点，证明：的极小值大于.
证明：，令，函数有两个极值点，等价于函数在上有两个不等实根，即.
设是方程的两个均大于的不相等的实根，且，由，其对称轴为，所以，，当时，，在内为增函数；当时，在单调递减；当时，在内为增函数.所以的极大值点是，的极小值点是.
由得，
所以.
设，其中，则，当时，，在上单调递增，所以，当时，.
故.
例题7：已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数的值；(2)若关于的不等式对任意恒成立，求整数的最大值.
解析：(1)，得，
解方程组，
(2)根据题意，不等式恒成立，令，，求导可得，令，，则；，则，故在单调递减，在单调递增，又，，且，故存在唯一，使，故当时，；当时，；故在单调递减，单调递增.
所以
例题8：设函数.
（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标＜.
解析：（Ⅰ）函数的零点为，单调减区间；单调增区间；
（Ⅱ）存在斜率为6的切线即存在点处导数为6，于是，即，令为增函数，易判断所以，所以为减函数，所以
所以曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标＜.
例题9：已知函数,．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）当时，证明：.
（Ⅰ）解析：因为，所以.
因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得.
（Ⅱ）证法一：因为,，
所以等价于．
当时，．
要证，只需证明.
以下给出三种思路证明．
思路1：设，则.
设，则．
所以函数在上单调递增．因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.
因为，所以，即.
当时，；当时，，
所以当时，取得最小值.
所以.
综上可知，当时，.
思路2：先证明．
设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．所以（当且仅当时取等号）．
所以要证明， 只需证明．
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．所以（当且仅当时取等号）．
由于取等号的条件不同，所以．
综上可知，当时，.
（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）
思路3：先证明．
令，转化为证明．
因为曲线与曲线关于直线对称，
设直线与曲线、分别交于点、，点、到直线的距离分别为、，则．
其中，．
①设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增．
所以．所以．所以．
综上可知，当时，.
证法二：因为,，
所以等价于．
以下给出两种思路证明．
思路1：设，则.
设，则．
所以函数在上单调递增．
因为，所以，.
所以函数在上有唯一零点，且.
因为，所以，即．
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．
所以．
综上可知，当时，．
思路2：先证明，且．
设，则．因为当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值．
所以，即．所以（当且仅当时取等号）．
再证明．由，得（当且仅当时取等号）．
因为，，且与不同时取等号，
所以 ．
综上可知，当时，．
例题10：设函数f(x)=ex﹣ax﹣2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值．
解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增；
若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，lna)，增区间是(lna，+∞)．
(2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(ex﹣1)+x+1．
故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜+x(x＞0)(*)，
令g(x)=+x，则g′(x)=，
而函数f(x)=ex﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0，
所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．
设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)．
②又由g′(a)=0，可得ea=a+2，
③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2．
点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤：
①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)；
②根据零点的意义进行代数式的替换；
③结合前两步，确定目标式的范围。
例题11：已知函数f(x)=，其中a为常数．
若a=﹣1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)＜﹣2．
解析 证明：a=﹣1，则f(x)=导数为f′(x)=，
①设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，②可得，即有，要证f(x0)＜﹣2，即+2＜0，由于+2=+2=，由于x0∈(0，1)，且x0=，2lnx0=1﹣不成立，③则，故f(x0)＜﹣2成立．
例题12：已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．
(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f(x0)＜2﹣2．
解析(1)因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x＞0)，则f(x)≥0等价于
h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′(x)=a﹣．则当a≤0时h′(x)＜0，即y=h(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当x0＞1时，h(x0)＜h(1)=0，矛盾，故a＞0． 因为
当0＜x＜时h′(x)＜0，当x＞时h′(x)＞0，所以h(x)min=h()，又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；
(另解：因为f(1)=0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x＞0时的最小值为f(1)，
所以等价于f(x)在x=1处是极小值，所以解得a=1；)
(2)证明：由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx，f′(x)=2x﹣2﹣lnx，
令f′(x)=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t(x)=2x﹣2﹣lnx，则t′(x)=2﹣，
令t′(x)=0，解得：x=，所以t(x)在区间(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，所以t(x)min=t()=ln2﹣1＜0，从而t(x)=0有解，即f′(x)=0存在两根x0，x2，且不妨设f′(x)在(0，x0)上为正、在(x0，x2)上为负、在(x2，+∞)上为正，
所以f(x)必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f(x0)=﹣﹣=﹣﹣=﹣+，由x0＜可知f(x0)＜；由f′()＜0可知x0＜＜， 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以f(x0)＞f()=；
综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f(x0)＜2﹣2．专题九、函数零点问题
1.嵌套函数零点问题
①嵌套函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的嵌套函数，记为：.
②嵌套函数数值计算的步骤：求的函数值遵循“由内到外”的顺序，一层一层求出函数值.例如：已知，计算.
解析：，所以.
③已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值.
例如：已知，若，求.
解：令，则解得，当无解，当，，解得，综上所述：
④嵌套函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数.
⑤求解嵌套函数零点问题的技巧：
(I)此类问题与函数图像结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像；
(II)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围.
例题1：已知函数，若方程恰有七个不同的实根，则实数的取值范围是( )
例题2：设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的解，则
例题3：已知函数，若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
例题4：已知,函数，，若有个零点，则实数的取值范围是 .
例题5：已知，关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围为 .
例题6：已知函数，函数有三个不同的零点，则的取值范围是(其中是自然对数的底数) ( )
例题7：已知函数有三个不同的零点(其中)，则的值为 ( )
例题8：，，若有9个零点，则实数的取值范围是 ( )
例题9：已知函数则函数的零点个数为(为自然对数的底数) ( )
2.函数导数隐零点问题
导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性，应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，一定与的单调性有关，基本上需要解方程，而该方程多数时候是超越方程，初等方法不能求解出该方程的根，本专题例举三种方法求解.
方法一、察“言”观“色”、猜出零点
由于导函数为超越方程，无法利用初等方法解方程，可在观察方程结构的基础上大胆猜测，一般地当导函数中出现时，常常猜测，出现时，常常猜测.
例题1：已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在有两个零点，求实数的取值范围.
分析：(1)首先求出函数的导函数，再因式分解为，再对参数分类讨论可得；
(2)依题意可得，当函数在定义域上单调递增，不满足条件；当时，由(1)得在为增函数，因为，，再对三种情况讨论可得.
例题2：已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若且有两个零点，求实数的取值范围.
方法二、设而不求，巧借零点
例题1：已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的范围.
例题2：已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.
例题3：已知函数，，．
（1）若存在极小值，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：．
例题4：设函数.
(1)讨论的导函数的零点的个数；(2)证明：当时，.
例题5：已知函数.
(1)设是的极值点，求并讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
例题6：设函数有两个极值点，证明：的极小值大于.
例题7：已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数的值；(2)若关于的不等式对任意恒成立，求整数的最大值.
例题8：设函数.
（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标＜.
例题9：已知函数,．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）当时，证明：.
例题10：设函数f(x)=ex﹣ax﹣2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值．
例题11：已知函数f(x)=，其中a为常数．
若a=﹣1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)＜﹣2．
例题12：已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．
(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f(x0)＜2﹣2．

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