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专题五、已知曲线的切线方程求参数值及其范围
1.切点的三重身份：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)曲线在切点处的导数值等于切线的斜率.
2.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系：
3.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系：
图1 图2
例题1：函数在点处的切线方程为，则 ， .
答案：
解析：对函数求导可得，由已知条件可得，即，解得.
例题2：已知曲线在的切线方程为，则 ， .
答案：
解析：对函数求导可得，由题意可知，即，解得.
例题3：若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：结合函数和的图像可知，如右图：
要使曲线和存在公共切线，只要方程在上有解，从而，令，即直线与函数图像有交点，则，得，，得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，所以.
例题4：若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则该切线方程为 .
答案：
解析：函数的定义域为，，设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,所以,解得，，由，可得，联立方程组，解得，则切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为.
例题5：已知函数与的图像在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围是( )
答案：
解析：设切点为，则，整理的，所以，解得，且，令，求导得恒成立，所以函数在单调递减，则，即，故选.
例题6：若函数在上仅有一个零点，则 .
答案：
解析：方法一：由已知函数在上仅有一个零点，等价于方程在在上仅有一个解，即方程有一个解，即曲线与曲线在第一象限有唯一交点，此时两曲线相切，设切点为，则，即，即，解得或，
(1)当时，，显然不和题意，舍去；
(2)当时，，则.
方法二：令，则，得，两边取对数，
，则，令，求导得，由，得，，得，如下图：
数形结合，可知.
例题7：已知为常数，若曲线上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：方法一：由题意知曲线上存在某点的导数值为，所以方程有正实数根，即方程有正根，
①当时，显然满足条件；
②当时，需满足，则
综上所述，实数的取值范围是.
方法二：由题意知曲线上存在某点的导数值为，所以方程有正实数根，即方程有正根，令，则直线与函数的的图像有交点，，由，得，，得，则，如下图：
数形结合，可得，即.
例题8：已知点是函数图像上一点，点是函数图像上一点，若存在使得成立，则的值为 .
答案：
解析：因为，且函数的图像是斜率为的直线，所以，解得，则曲线在处的切线方程为，又直线与直线平行，且它们之间的距离为，如图所示：
因为,所以最小时,点为切点且坐标为,所以,解得.
例题9：若直线与曲线相切于点,则( )
答案：
解析：对求导可得，因为直线与曲线相切于点，所以，解得，故选.专题五、已知曲线的切线方程求参数值及其范围
1.切点的三重身份：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)曲线在切点处的导数值等于切线的斜率.
2.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系：
3.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系：
图1 图2
例题1：函数在点处的切线方程为，则 ， .
例题2：已知曲线在的切线方程为，则 ， .
例题3：若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围是 .
例题4：若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则该切线方程为 .
例题5：已知函数与的图像在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围是( )
例题6：若函数在上仅有一个零点，则 .
例题7：已知为常数，若曲线上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 .
例题8：已知点是函数图像上一点，点是函数图像上一点，若存在使得成立，则的值为 .
例题9：若直线与曲线相切于点,则( )
4
f)
g(x)
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6
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