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第六单元 因数与倍数
类型1 因倍数应用题
典型例题1：
完全数又称完美数，是一些特殊的自然数。它除了自身以外，所有因数的和恰好等于它本身。如：6＝1＋2＋3，请问28是完全数吗？请说明理由。
思路分析：
求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出28的所有因数，再求出除了它本身以外的所有因数之和是否等于这个数本身，据此解答。
答题区：
变式训练：
明德小学五（1）班有学生40人，要把这些学生分成人数相等的若干个小组（每个小组至少2人），有几种分法？每组最多有多少人？
类型2 公倍数与最小公倍数应用题
典型例题2：
垃圾分类是一项功在当代、利在千秋的工程。报纸、书本、纸箱、纸袋、信封、纸塑铝复合包装等废纸张都是可回收垃圾。青岛市某小学五（1）班同学每6天去回收一次废纸，五（2）班同学每9天去回收一次废纸，请问这两个班某天在垃圾场相遇后，至少再过多少天他们才能在垃圾场再次相遇？
思路分析：
小学五（1）班同学每6天去回收一次废纸，五（2）班同学每9天去回收一次废纸，这两个班某天在垃圾场相遇后，至少再过多少天他们才能在垃圾场再次相遇，就是求6和9的最小公倍数，据此解答即可。
答题区：
变式训练：
六一儿童节,老师给几个小朋友发奶糖,老师发现给每个小朋友分6块,8块,或者10块,都余下3块．奶糖至少有多少块
类型3 公因数与最大公因数应用题
典型例题3：
把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，剪的每段彩带最长是多少厘米？
思路分析：
由题意得，要想把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求剪的每段彩带最长是多少厘米，就是求64和40的最大公因数。据此解答。。
答题区：
变式训练：
王伯伯有两根彩条，长度分别是28厘米、42厘米，把它们截成同样长的几段且没有剩余。每段彩条最长几厘米？一共可以截成多少段？
类型4 质数与合数应用题
典型例题4：
一个长方形的周长是18分米，它的长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少平方分米？
思路分析：
根据长方形的周长计算公式，先计算出长方形长加宽的和，再根据质数的意义把和写成两个质数相加的性质，最后根据长方形的面积公式＝长×宽，代入数值计算即可解答。
答题区：
变式训练：
宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。
1．下面各图表示的关系正确的是（ ）。
A．B．C．
2．将分别标有1、2、3、4、5、6的六个同样的小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸出一个球，球上的数是质数与合数的可能性相比（ ）。
A．质数可能性大 B．合数可能性大 C．质数和合数可能性相等
3．用0、2、7三个数字组成的所有的三位数都是（ ）的倍数。
A．2 B．5 C．3
4．在括号里填上适当的质数。
32＝( )＋( ) 24＝( )＋( )
5．按要求在括号里填上合适的数字。
(1)既是3的倍数，又是5的倍数：75( )。
(2)是5的倍数，不是2的倍数：38( )。
6．张叔叔家的车牌号是鲁G7，每个图形代表一个一位数，其中◎是最小的合数，是最大的一位数，既是偶数也是质数，★既是2的倍数也是3的倍数。张叔叔的车牌号是鲁G7( )。
1．幼儿园里有一些小朋友，大于5人且小于20人。王老师拿了32块糖平均分给这些小朋友，正好分完。小朋友的人数可能是多少？
2．猴妈妈要把一些桃子平均分给3只小猴子，可是猴妈妈的篮子里现在只有23个桃子，至少还要增加几个桃子才能正好分完？
3．一个三位数既是2的倍数，又是5的倍数。在满足条件的三位数中，最大的数与最小的数相差多少？
1．小米的爸爸、妈妈每天坚持在北山晨练，跑一圈爸爸用9分钟，妈妈用12分钟。如果爸爸、妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时爸爸、妈妈分别跑了多少圈？
2．六年级三班学生和老师一共39人去公园划船，每只大船最多坐5人，每只小船最多坐3人，如果每只船都坐满人，有多少种不同的租船方法？请把你的思考过程和答案写在下面。
用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？
答案解析
类型1 答案解析
典型例题1：
答题区：
28÷1＝28
28÷2＝14
28÷4＝7
28的因数有：1、2、4、7、14、28。
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28
答：28是完全数。
变式训练答案：
40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40共8个。因为每组至少有2人，所以只有6种分法。
组数最少时，每组分得人数最多，则每组最多有：40÷2＝20（人）
答：有6种分法，每组最多有20人。
类型2 答案解析
典型例题2：
答题区：
6的倍数：6，12，18，…
9的倍数：9，18，…
6和9的最小公倍数是18，则至少再过18天他们才能在垃圾场再次相遇。
答：至少再过18天他们才能在垃圾场再次相遇。
变式训练答案：
因为6=2×3,8=2×2×2,10=2×5,6、8、10的最小公倍数是2×3×2×2×5=120．
120+3=123(块)
答:奶糖至少有123块．
类型3 答案解析
典型例题3：
答题区：
2×2×2＝4×2＝8（厘米）
答：剪的每段彩带最长是8厘米。
变式训练答案：
28＝2×2×7
42＝2×3×7
28和42的最大公因数是2×7＝14
28÷14＝2（段）
42÷14＝3（段）
2＋3＝5（段）
答：每段彩条最长14厘米，一共可以截成5段。
类型4 答案解析
典型例题4：
18÷2＝9（分米）
因为9＝2＋7，9＝3＋6，9＝4＋5，其中只有2和7都是质数，所以这个长方形的长是7分米，宽是2分米。
7×2＝14（平方分米）
答：这个长方形的面积是14平方分米。
变式训练答案：
8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。
7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。
2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。
3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。
8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。
答：8和7，2，3不同。
1．C
【分析】1既不是质数也不是合数，所以非零自然数按因数的个数可分为1、质数、合数。
等腰三角形是指至少有两边相等的三角形；等边三角形是指三边都相等的三角形。
四边形是由四条线段围成的封闭图形；平行四边形是两组对边分别平行的四边形；长方形是四个角都是直角的平行四边形；正方形是四条边都相等的特殊长方形；梯形是只有一组对边平行的四边形。
据此分析各选项，进而得出正确答案。
【详解】A．非零自然数按因数的个数可分为1、质数、合数。而关系图中没有包含1，所以选项A错误。
B．等边三角形是特殊的等腰三角形，应该是等腰三角形包含等边三角形，而关系图中是等边三角形包含等腰三角形，关系错误，所以选项B错误。
C．四边形包含平行四边形和梯形，平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，该关系图的关系是正确的，所以选项C正确。
表示的关系正确的是。
故答案为：C
2．A
【分析】质数只有1和它本身2个因数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数；首先明确1-6中质数、合数的数量，然后比较数量多少确定摸出质数与合数可能性的大小，数量越多可能性越大。
【详解】质数有2、3、5，共3个；合数有4、6，共2个；
因为3＞2，质数比合数数量多，所以摸出质数的可能性大。
故答案为：A
3．C
【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此逐项分析解答。
【详解】A．2的倍数；用0、2、7组成三位数是207；207不能被2整除，不是2的倍数，所以三个数字组成的所有三位数不一定是2的倍数，不符合题意。
B．5的倍数；用0、2、7组成三位数是702；702不能被5整除，所以三个数字组成的所有三位数不一定是5的倍数，不符合题意。
C．3的倍数；0＋2＋7＝9；9能被3整除，所以三个数字组成的三位数一定是3的倍数。
用0、2、7三个数字组成的所有的三位数都是3的倍数。
故答案为：C
4． 13 19 11 13
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数，如果除了1和它本身还有其它的因数，这样的数叫作合数。据此找出满足条件的质数即可。
【详解】13＋19＝32或29＋3＝32
11＋13＝24或7＋17＝24
32＝13＋19 24＝11＋13（答案不唯一）
5．(1)0
(2)5
【分析】（1）因为5的倍数末尾是0或5，所以括号里只能是0或5，又因为3的倍数，各个数位上的数字之和能被3整除，7＋5＋0＝12，12能被3整除，7＋5＋5＝17，17不能被3整除，所以括号里只能填0。
（2）因为5的倍数末尾是0或5，所以括号里只能是0或5，又因为2的倍数末尾是偶数，所以括号里只能填5。
【详解】（1）根据分析可知，既是3的倍数，又是5的倍数：750。
（2）根据分析可知，是5的倍数，不是2的倍数：385。
6．4926
【分析】
根据数学概念确定每个图形代表的数字：最小的合数是4（所以◎＝4 ）；最大的一位数是9（所以＝9 ）；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，偶数是能够被2所整除的整数，所以既是偶数也是质数的数只有2（所以＝2 ）；一个数既是2的倍数也是3的倍数，需满足是偶数且各位数字和是3的倍数，一位数中符合的是6（所以★＝6 ）。据此解答。
【详解】确定◎：最小的合数是4，◎＝4
确定：最大的一位数是9， ＝9
确定：既是偶数也是质数的数是2，＝2
确定★：一位数中，既是2的倍数也是3的倍数的是6，★＝6
车牌号是鲁G74926 。
1．8人或16人
【分析】根据题意，小朋友的人数是32的因数。据此，先利用等积式找出32的所有因数，再从中找出大于5且小于20的，即可解题。
【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8
所以，32的因数有1、2、4、8、16和32，其中大于5且小于20的有8和16。
答：小朋友的人数可能是8人或16人。
【点睛】本题考查了因数，掌握因数的概念和求法是解题的关键。
2．1个
【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2＋3＝5，5不是3的倍数，即23不是3的倍数；5＋1＝6，6是3的倍数，即23＋1＝24，24是3的倍数。所以比23大的3的最小倍数是24。
【详解】24是比23大的3的最小倍数。
24－23＝1（个）
答：至少还要增加1个桃子才能正好分完。
【点睛】明确3的倍数的特征是解决此题的关键。
3．890
【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数都是5的倍数。根据2、5的倍数的特征解答即可。
【详解】既是2的倍数，又是5的倍数的数，个位上一定是0，符合要求的三位数中，最小的数是100，最大的数是990。
990－100＝890
答：最大的数与最小的数相差890。
【点睛】明确2、5的倍数的特征是解决此题的关键。个位上是0的数既是5的倍数，又是2的倍数。
1．36分钟；4圈；3圈
【分析】求至少多少分钟后，两人再次在起点相遇，就是求9和12的最小公倍数。求多少分钟爸爸妈妈分别跑了多少圈，用再次相遇的用时分别除以爸爸和妈妈跑一圈需要的时间，即可求出爸爸、妈妈跑的圈数。
【详解】9＝3×3
12＝2×2×3
则9和12的最小公倍数是2×2×3×3＝36
36÷9＝4（圈）
36÷12＝3（圈）
答：至少36分钟后两人在起点再次相遇，爸爸跑了4圈，妈妈跑了3圈。
【点睛】本题考查最小公倍数的应用，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。
2．2种
【分析】因为每只船都坐满人，所以坐大船的总人数和坐小船的总人数之和要等于39人，且坐大船的总人数为5的倍数，坐小船的总人数为3的倍数。用列举法逐一尝试找到所有方案。
【详解】大船：1只，共坐5×1＝5（人），小船：39－5＝34（人），34÷3＝11……1，方案不符合；
大船：2只，共坐5×2＝10（人），小船：39－10＝29（人），29÷3＝9……2，方案不符合；
大船：3只，共坐5×3＝15（人），小船：39－15＝24（人），24÷3＝8（只），方案符合；
大船：4只，共坐5×4＝20（人），小船：39－20＝19（人），19÷3＝6……1，方案不符合；
大船：5只，共坐5×5＝25（人），小船：39－25＝14（人），14÷3＝4……2，方案不符合；
大船：6只，共坐5×6＝30（人），小船：39－30＝9（人），9÷3＝3（只），方案符合；
大船：7只，共坐5×7＝35（人），小船：39－35＝4（人），4÷3＝1……1，方案不符合；
符合的租船方法有2种：
大船3只，小船8只；大船6只，小船3只。
答：有2种不同的租船方法。
【点睛】本题主要考查倍数在实际中的应用，多种方法需要采用列举法逐一列出。
3．55平方厘米
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝周长÷2，据此求出长与宽的和，再根据质数的意义确定长、宽，然后根据长方形面积＝长×宽，把数据代入公式解答。
【详解】32÷2＝16（厘米）
16＝3＋13＝5＋11
13×3＝39（平方厘米）
11×5＝55（平方厘米）
55＞39
答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。

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