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第四单元 平行与相交
类型1 平行线的特征应用题
典型例题1：
下图中右边画框挂正了吗？说明其中的道理。
思路分析：
根据平行线的含义，观察画框下面的那条边和地面间的距离是不是处处相等，如果相等则那条边就和地面平行，画框就挂得正，如果不是，则挂得不正。
答题区：
变式训练：
战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的特点。请用合适的方法说明这句话的意思。（说明思考过程）
类型2 垂直的特征应用题
典型例题2：
如图，直线，点是直线上一点，过点作，垂足为，垂线段的长叫做直线、间的距离。请在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为（ ）。
思路分析：
根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离画图；夹在两条平行线间的距离相等，可知垂线段，，垂线段的长度相等。
答题区：
变式训练：
下图中，a∥b，请经过点E分别画出垂直于直线a、b的垂线，并测量a、b间的距离。直线a、b间的距离是（ ）厘米。
类型3 点到直线的距离应用题
典型例题3：
菜园在明明家的东北面，小河在他家北面（如图）。爸爸想从家修一条路到菜园，再从河边修条水渠到菜园。请你帮明明设计一下，并说明理由。
理由1：
理由2：
思路分析：
线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段；连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短；
过直线外一点作垂线：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。
答题区：
变式训练：
黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。
（1）裁判员会以（ ）脚落地点（ ）来确定她的立定跳远成绩。
（2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。
类型4 平行与垂直综合应用题
典型例题4：
球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。
（1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？
（2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。
思路分析：
已知外圆直径4米，内圆直径2米。扩建（增加）面积＝圆环面积＝外圆面积－内圆面积，代入数据计算即可。
答题区：
变式训练：
下图中，直线a和直线b互相平行。
（1）测量∠1和∠2的度数，并比较这两个角的大小。
∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠1○∠2。
（2）观察∠1和∠2的位置关系，你还能在图中找到这样关系的角吗？ 写一写吧！
1．观察下图，下面说法正确的是（ ）。
A．图中只有1组互相平行的线段B．图中有3个锐角 C．图中有3个钝角
2．在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，这两条直线（ ）。
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交
3．把一张长方形纸按下面的方法对折两次，再打开，则这几条折痕（ ）。
A．互相平行 B．互相垂直 C．不在同一平面
4．下面每组中的两条直线互相平行的有( )，互相垂直的有( )。
5．过直线外一点，可以画( )条直线与该直线平行；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相( )，两条直线的交点叫( )。
6．如图，两个不同大小的正方形叠放在一起。你能找到( )组互相平行的线。
1．张村要修一条水泥路与公路相连，怎样修路最近？在图上画出来。这样修路最近的原因是什么？
2．看图完成下列各题。
（1）用量角器量出∠1的度数：∠1＝（ ）°。
（2）过点C画线段AB的垂线。
（3）过点A画线段BC的平行线。
3．把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的几条折痕一定互相平行吗？请画图说明。
1．
（1）请你设计一条从楼房到小屋最近的路，在图中画一画。
（2）请你设计一条从小屋到大街最近的路，在图中画一画。
（3）请你从数学的角度简要说明（1）（2）设计的理由。
2．下图表示的是上海世博会的“一轴四馆”，“一轴”是世博轴，“四馆”是世博中心、世博会文化中心、世博会主题馆和中国国家馆。
（1）请分别画出从“四馆”到“一轴”的最短路线，用数学的眼光来看，我这样画图的依据是：（ ）；其中到世博轴距离最近的是（ ）。
（2）如果要经过中国国家馆修一条与世博轴平行的路，那么该怎样修呢？在图中画出来。
（3）请你在图中画出从世博会主题馆到世博中心最近的路线，用数学的眼光来看，我这样画图的依据是：（ ）。
3．操作。
（1）西青路与（ ）路互相平行。
（2）与南三路互相垂直的是（ ）路。
（3）请你画一条从A点处到光明小学最近的路。
（4）请你画一条从A点处到南二路最近的路。
答案解析
类型1 答案解析
典型例题1：
答题区：
画框挂正了，因为画框的一边与地面间的距离处处相等，说明这边和地面互相平行，所以画框挂正了。（道理合理即可）
变式训练答案：
“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，即平行线之间的距离处处相等。
类型2 答案解析
典型例题2：
答题区：
如图：
在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为PQ＝MA＝NC。
变式训练答案：
如图：
经测量直线a、b间的距离是2厘米。
类型3 答案解析
典型例题3：
答题区：
如图：
理由1：点与点之间，线段最短，这样明明家到菜园的距离最短。（答案不唯一）
理由2：点与直线之间，垂线段最短，这样从河边到菜园的距离最短。（答案不唯一）
变式训练答案：
（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。
（2）作图如下：
【点睛】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。
类型4 答案解析
典型例题4：
根据分析可得：
（1）两条平行线之间垂线段最短，已知MN是足球场两长边中点的连线，所以当EF与MN平行时，EF最短，
端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，故EF＝MN＝68（米）；
答：横幅EF的最短长度为68米。
（2）最短路线图如下图：
变式训练答案：
（1）通过测量∠1＝30°，∠2＝30°
∠1＝∠2
（2）根据分析：
∠3＝∠4，∠5＝∠6（答案不唯一）
1．C
【分析】A．在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，此图中水平的两条直线互相平行，竖直的两条直线也是互相平行的。
B．锐角小于90°，图中小于90°的角只有1个。
C．大于90°而小于180°的角是钝角，由此可知图中共有3个钝角。
【详解】
A．图中有2组互相平行的线段，所以原题干说法不对。
B．图中只有1个锐角，所以原题干说法不对。
C．图中共有3个钝角，原题干说法正确。
故答案为：C
2．A
【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
【详解】如图：
所以，在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，这两条直线互相平行。
故答案为：A
3．A
【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。
【详解】把一张长方形纸按下面的方法对折两次，再打开，则这几条折痕互相平行。
故答案为：A
4． ②⑤ ④
【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直；据此解答。
【详解】根据分析可知，互相平行的有②⑤；互相垂直的有④。
5． 一 垂直 垂足
【分析】根据题意，根据平行公理，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。当两条直线相交成直角时，它们的位置关系称为互相垂直。互相垂直的两条直线的交点称为垂足，表示垂直相交的位置。以此答题即可。
【详解】根据分析可知：
过直线外一点，可以画一条直线与该直线平行；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两条直线的交点叫垂足。
6．4
【分析】根据平行的含义：同一平面内，不相交的两条直线，叫作平行线；我们可以在图中将各个顶点标上字母，然后找出互相平行的线，据此解答即可。
【详解】根据分析可得：如下示意图
如上图，两个不同大小的正方形叠放在一起，能找到平行线AB与DC、AD与BC、EF与GH、EH与FG，共计4组互相平行的线。
所以能找到4组互相平行的线。
1．见详解
【分析】把张村看做一个点，公路看做一条直线，根据垂线段最短的性质，画一条垂线。过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与公路重合，让三角尺的另一条直角边通过点张村，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是公路的垂线。因为点到直线之间垂线段最短。据此解答即可。
【详解】作图如下：
因为点到直线之间垂线段最短。
2．（1）55
（2）（3）见详解
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
（2）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。
（3）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。
【详解】（1）∠1＝55°。
（2）（3）见下图
3．不一定互相平行；画图见详解
【分析】如下图所示，把一张长方形纸对折后，再对折，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。
【详解】画图如下：
把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的折痕不是一定互相平行的。
1．（1）（2）见详解
（3）两点之间线段最短；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。
【分析】（1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此可知，过楼房和小屋这两个点画一条线段，这条线段就是从楼房到小屋最近的路。
（2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求从小屋到大街最近的路，则从小屋向大街作垂线，这条垂线即为所求。
（3）根据两点之间线段最短，以及从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这两个性质进行说明。
【详解】（1）（2）
（3）（1）设计的理由是两点之间线段最短。（2）设计的理由是从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。
2．（1）见详解；点到直线之间垂线段最短；中国国家馆
（2）见详解
（3）见详解；两点之间线段最短
【分析】（1）根据点到直线之间垂线段最短，结合垂线的画法，分别画出从“四馆”到“一轴”的最短路线，解答即可。过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线。
（2）根据平行线的画法，经过中国国家馆修一条与世博轴平行的路，在图中画出来即可。过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。
（3）根据两点之间线段最短，在图中画出从世博会主题馆到世博中心最近的路线即可。
【详解】（1）分别画出从“四馆”到“一轴”的最短路线，如图所示，这样画图的依据是：点到直线之间垂线段最短；3厘米＞2厘米5毫米＞2厘米，所以其中到世博轴距离最近的是中国国家馆。
（2）经过中国国家馆修一条与世博轴平行的路，经过中国国家馆画世博轴的平行线即可，如图所示。
（3）在图中画出从世博会主题馆到世博中心最近的路线，如图所示，这样画图的依据是：两点之间线段最短。
3．（1）长康
（2）东京
（3）见详解
（4）见详解
【分析】（1）根据同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线，解答即可；
（2）根据两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，解答即可；
（3）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间线段最短。据此可知，要画一条从A点处到光明小学最近的路，用线段将A点和光明小学连接起来即可解题；
（4）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要画一条从从A点处到南二路最近的路，则从A点处到南二路作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】由分析可知：
（1）西青路与长康路互相平行。
（2）与南三路互相垂直的是东京路。
（3）
（4）
【点睛】本题主要考查了平行和垂直的特征、线段的性质、垂直的性质。关键是明确两点之间线段最短，以及从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。

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