资源简介

基本不等式
第一课时 教学设计
【教学目标】
1.经历从几何图形中抽象出数学问题的过程，构建基本不等式a2+b2≥2ab与（a>0，b>0），进一步感受不等关系是普遍存在的；
2.探索这两个不等式的证明思路及它们的内在联系，了解不等式证明的基本方法；
3.了解基本不等式的几何背景，从数形结合的角度对基本不等式进行再认识，体会数与形的和谐统一，感受数学美；
4.会用基本不等式进行一些简单证明，初步了解不等式的应用价值．
【教学重点】基本不等式的结构特征、使用条件，用数形结合的思想理解基本不等式.
【教学难点】会用基本不等式进行一些简单证明．
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】计算机、投影仪．
【核心素养】数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
在上图中，我们提炼出如下不等关系：
当a≠b时，a2+b2 >2ab．
今天我们继续进行探究．
二、归纳探索，形成概念
问题1 若图中4个直角三角形的直角边的边长发生变化，使得每个直角三角形都变为等腰直角三角形，这时你发现了什么？
师生活动 教师演示动画，让4个直角三角形的直角边的边长发生变化，学生在观察的基础上进行思考，教师组织学生交流并回答问题．
设计意图 引导学生发现a2+b2 >2ab中等号成立的条件，即a=b时，E，F，G，H重合，这时a2+b2 =2ab．
教师指出，通过上面的探讨，我们得到一个猜想：
猜想1 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
问题2 特别地，用，分别代替猜想1中的a，b可以得到什么？
师生活动 教师提出问题后，学生进行尝试、思考，相互交流，最终得到猜想2．
设计意图 通过问题2，让学生经过思考，得到猜想2，让学生明确两个猜想之间的联系与区别，为进一步学习做好准备．
教师指出，用，分别代替猜想1中的a，b可以得到猜想2．
猜想2 对任意正数，，当且仅当a=b时等号成立．
三、掌握证法，适当延展
问题3 请同学们给出这两个不等式的证明．
证明1（作差法）
因为
所以，当且仅当时等号成立．
证明2（分析法）
由可知，要证明，
只要证明，
即证，
上式显然成立．
所以对任意正数，，当且仅当a=b时等号成立．
师生活动 教师引导学生对两个猜想进行证明，在这个过程中教师重点关注学生能否灵活运用不等式的性质以及不等式的证明方法完成证明.教师引导学生关注不等式的结构，从而利用作差比较法和分析法来完成证明.
设计意图 通过引导学生完成证明，从而得出本节课的教学内容，明确两个定理之间的关系，体会转化与化归的数学思想.并进一步掌握不等式的性质及不等式的证明方法.
在此基础上，教师指出，下面的定理及推论称为基本不等式.
定理 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
推论 对任意正数，，当且仅当a=b时等号成立．
深化认识 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.
把不等式(a＞0，b＞0)称为基本不等式.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.
问题4 如图，以长是a+b的线段为直径作圆O，在直径AB上取点C，使得CA=a，CB=b，过点C作CD⊥AB交上半圆于点D，连接AD和BD．你能利用这个图得到基本不等式吗？
由已知条件不难证明Rt△ACD∽Rt△DCB，那么，
则CD2=CA·CB，
即．
因为OD是圆的半径，故OD=．显然，它大于或等于CD，
即
当且仅当点C和点O重合时，即a=b时，等号成立．
再次证明对任意正数，，当且仅当a=b时等号成立．
思考：对于任意实数a，b，都有≥ 成立吗？
师生活动 教师出示图片和问题，引导学生利用圆的几何性质，得到及的几何意义，从而根据圆中的数量关系得到基本不等式.
设计意图 通过问题4，让学生加深对基本不等式的认识，对基本不等式中取等号的条件有更直观的认识，进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性.
四、应用举例，巩固提高
例1 设a，b为正数，证明下列不等式：
（1）； （2）.
证明 （1）因为a，均为正数，由基本不等式，得
，
当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立.
（2）因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得
，
当且仅当，即时等号成立.所以原不等式成立.
例2 对任意三个正实数，求证：
，
当且仅当时等号成立.
证明 因为＞0，由基本不等式，得
，
将上述三个式子的两边相加，得
，
即
，
当且仅当，即时等号成立.
师生活动 教师指导学生完成证明，引导学生体会基本不等式中所蕴含的两个正数的积与和两类运算结构，从而在证明过程中以此为突破口,进而完成证明.
设计意图 通过例1，例2，让学生进一步理解基本不等式及其等号成立的条件，体会基本不等式中两个正数的积与和两类运算结构.
五、归纳小结，提高认识
基本不等式
定理 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
推论 对任意正数，，当且仅当a=b时等号成立．
通过本节课的学习，你对基本不等式有怎样的认识？你能归纳一下基本不等式的研究过程吗？其中体现了哪些你认为重要的思想方法？在应用基本不等式解决实际问题时，需要注意哪些问题？
六、布置作业，课后延拓
（1）必做作业：课本习题2.1第5，6题
（2）选做作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

展开更多......

收起↑