资源简介

2.4.1圆的标准方程
教学目标
1、会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程.
2、会判断点与圆的位置关系.
3、掌握待定系数法求圆的标准方程.
4、体会数形结合的数学思想
重、难点:
①由已知条件求圆的标准方程 ②由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标.
教学方法：采用启发式探索式教学
教学用具：直尺，圆规；PPT课件.
教学过程
复习导入
上节课我们已经学过直线方程的概念，直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线----圆的方程的第一节圆的标准方程.
知识讲解（难点突破）
1．提出问题，复习导入
问题1：在直线的方程的学习中，我们研究了哪些问题？
【师生活动】引导学生归纳我们建立了直线的方程，并利用直线的方程研究直线的位置关系，距离等几何性质.
追问：类似的，如何研究圆？直线的方程是如何建立的？
【师生活动】学生在回顾的基础上，明确采用坐标法建立圆的方程，再利用圆的方程研究圆的几何性质.教师引导学生回顾根据直线的几何要素建立直线的方程.
【设计意图】回顾所学知识，体会坐标法研究几何问题的思想，明确研究方向.
问题2：类似于直线的方程的建立，为建立圆的方程，我们首先考虑建立一个圆的几何要素.圆的定义是什么？如何用集合语言描述？
【师生活动】引导学生总结，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点称为圆心，定长称为半径．因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径.学生明确抓住圆的几何要素可以确定一个圆．
【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程．
2．探究问题，生成新知
问题3：在平面直角坐标系中如何确定一个圆呢？
【师生活动】教师引导学生归纳，在平面直角坐标系中，☉的圆心坐标为，半径为，为圆上任意一点，则圆就是以下点的集合：．
追问1：你能用坐标表示点满足的条件吗？
【师生活动】学生根据两点间的距离公式，容易得到，
追问2：能进一步整理吗？
【师生活动】两边平方得到(1)．
追问3：显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，点是否在圆A上？有没有例外？
【师生活动】教师类比直线的方程的定义，引导学生归纳若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，点就在圆上．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程．
追问4：圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是什么？
【师生活动】学生回答
追问5：方程一定表示圆心在原点的圆吗？
【师生活动】学生讨论，教师引导归纳当时方程不表示圆，表示原点；当时，方程表示圆心在原点，半径为的圆.
【设计意图】问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程．
3．典例分析，深化理解
例1．求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上．
【师生活动】由教师分析解题思路，由学生完成后，教师多媒体展示图形.
问题4：点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
【师生活动】由学生自主探究，总结，点在圆内的条件是点到圆心的距离小于半径，即；点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径，即．
【设计意图】让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法）．最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想．
例2： ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7, 3)，C(2, 8)，求 ABC的外接圆的标准方程.
【师生活动】学生交流合作，给出解决方案.
解法1（代定系数法）：设△的外接圆的标准方程为，将三点坐标分别代入方程，联立解出参数的值．
解法2（几何法）：设△的外接圆的圆心为，则点是线段的垂直平分线的交点．
由线段中点及直线斜率知线段的垂直平分线为；同理可得线段的垂直平分线为．
联立解得，即圆心坐标为．
而半径，所以△的外接圆的标准方程是．
【设计意图】例2为已知圆的相关条件，求圆的标准方程．通过例2的练习，帮助学生理解圆的标准方程由两个要素（圆心坐标、半径大小）确定，由浅入深，符合学生的认知规律．
课堂练习（难点巩固）
1.求下列圆的标准方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆.
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
2.已知P(4,9).Q（6，3）两点，求以线段PQ为直径的圆的的标准方程，并判断点M（6，9），N(3,3)在圆上、圆内还是圆外？
归纳小结，回顾重点
圆的标准方程：
（）
圆心为()，半径为
2、点与圆的位置关系：
（1）点在圆外
（2）点在圆上
（3）点在圆内
3、待定系数法：
作业布置：
必做题：教科书习题2.4第2、3题.
选做题：教科书习题2.4第5题
板书设计：
2.4.1圆的标准方程
圆的标准方程 例题： 练习：
点与圆的位置关系
待定系数法 小结：

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