资源简介

5.3.2二元一次方程组的应用(第2课时) 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版 2024 八年级上册第五章 “二元一次方程组”，是 “二元一次方程组的应用” 第 2 课时，核心内容为借助表格梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，进而建立二元一次方程组解决利润、营养品配制、商品调价、行程、达标率等与生活紧密相关的复杂问题，同时回顾并深化 “审、设、列、解、验、答” 的解题步骤。
2.内容解析
本节是二元一次方程组应用的进阶内容，承接上一课时 “直接找等量关系列方程组”，聚焦 “复杂问题中梳理等量关系” 这一难点，通过表格这一可视化工具，将分散的数量关系系统化，实现 “生活具体问题” 到 “二元一次方程组” 的转化，是培养学生数学建模能力和逻辑分析能力的关键载体，也为后续学习更复杂的方程（组）应用奠定方法基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用 “表格法” 梳理收支、配比类实际问题的关键信息，用 “线段图法” 分析路程类实际问题的数量关系;熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 六步，列二元一次方程组解决实际问题。
1.教学目标
（1）能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 步骤列二元一次方程组解决问题。
（2）通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历 “梳理信息 — 找等量关系 — 列方程组” 的过程，提升分析问题、转化问题的能力。
（3）感受二元一次方程组在生活、生产中的实际应用，体会数学与现实世界的联系，激发学习数学的兴趣与探索精神。
2.目标解析
（1）学生能独立用表格梳理利润、行程问题中的已知量与未知量，能根据等量关系列出方程组，求解后能结合实际意义检验结果是否合理。
（2）学生在小组交流中，能清晰阐述 “先确定表格行列标题（如‘年份’‘总收入’），再填量，最后找关系” 的表格梳理思路，能独立将行程、达标率等新问题转化为表格形式。
（3）生在解决 “营养品配制”“商品调价” 等与生活相关的问题时，能积极参与思考，主动分享解题思路，体会数学在解决实际问题中的作用，增强学习数学的自信心。
（一）学生已有知识及掌握情况
学生在七年级已学习一元一次方程的应用，掌握了 “找等量关系列方程” 的基本思路；上一课时又学习了二元一次方程组的应用，明确了 “审、设、列、解、验、答” 的步骤，能解决等量关系较直接的问题（如 “两个数和为 10，差为 2”），对 “利润 = 总收入 - 总支出”“路程 = 速度 × 时间” 等基本数量关系有一定认知，具备初步的数学分析能力。
（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法
1. 困难一：无法准确梳理复杂问题中的核心量，难以搭建表格框架。
解决办法：以 “工厂利润问题” 为切入点，先带领学生逐一 “圈画题目中的量”（如去年总收入、去年总支出、今年总收入等），再引导学生将 “量” 分类（如按 “年份” 分，或按 “收入、支出、利润” 分），逐步搭建表格，再填充已知量与未知量，降低表格搭建难度。
2.困难二：填充表格时，无法将 “比例关系”（如 “甲商品降价 10%”）转化为具体表达式（如 “(1-10%) x”），导致表格信息不完整。
解决办法：先回顾 “比一个数增 a%，列式为‘数 ×(1+a%)’” 的基础公式，再在表格对应单元格旁标注转化过程（如 “今年总收入：x×(1+20%)”），让学生先跟着写，再独立尝试，教师巡视指导易错点。
困难三：填完表格后，无法从表格中提炼出 2 个独立的等量关系，导致列不出方程组。
解决办法：教学中在表格旁标注 “等量关系提示”（如利润问题表格旁写 “去年利润 = 去年总收入 - 去年总支出”“今年利润 = 今年总收入 - 今年总支出”），引导学生对照表格找 “总和”“差值”“倍数” 类关系，小组内互相检查 “是否找到 2 个独立关系”。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之间的混淆;准确确定复杂问题的核心量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的等量关系。
1.回顾旧知，导入新课
教学活动：
(1)提问引导：“上节课我们学了用二元一次方程组解决问题，谁能说出步骤？”（学生回答后，教师板书 “审、设、列、解、验、答”）；“列方程组最关键的一步是什么？”（学生回答 “找等量关系”）。
(2)情境过渡：“如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多个量，直接找等量关系容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关系’（板书课题）。”
(设计意图：设计意图：通过回顾旧知，激活学生对 “列方程组步骤” 和 “找等量关系” 的已有认知，再通过 “复杂问题难梳理” 的情境，引发学生的探究需求，自然导入新课。)
(教学建议：若学生忘记 “列方程组步骤”，可结合简单实例（如 “x+y=5，x-y=1”）回顾，避免占用过多时间；过渡时可让学生说说 “之前遇到多量问题时的困扰”，增强代入感。）
一、探究新知
某工厂去年的利润（总收入 - 总支出）为 200 万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
1、这个问题涉及哪些量？
去年的总收入、去年的总支出、
今年的总收入、今年的总支出、
去年的利润、 今年的利润。
2、这些量之间有怎样的等量关系？
（1）去年的利润 = 去年的总收入 - 去年的总支出；（2）今年的总收入 = 去年的总收入×（1+20%）；
（3）今年的总支出 = 去年的总支出×（1 10%）；（4）今年的利润 = 今年的总收入 - 今年的总支出。
（设计意图：让学生经历 “自主找量 — 小组验证” 的过程，突破 “确定核心量” 的难点，为后续设计表格奠定基础。）
（教学建议：若学生圈出无关量（如 “工厂名称”），可引导对比 “是否参与计算”，帮助排除无关量；汇总时将核心量分类（如 “去年相关量、今年相关量”），方便后续表格设计。）
3、你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流.
年份 总收入 / 万元 总支出 / 万元 利润 / 万元
去年 x y x-y
今年 (1+20%) (1 10%) 780
（设计意图：通过 “教师示范 — 学生跟随 — 自主转化” 的梯度设计，让学生掌握表格填写方法，同时将 “比例关系转化” 和 “等量关系提炼” 融入表格梳理过程，降低难点。）
（教学建议：填写 “今年总收入” 时，若学生混淆 “(1+20%) x” 和 “x+20%”，可举例 “去年收入 100 万，今年增 20% 是 120 万，100×1.2=120，而 100+0.2=100.2，显然不对”，用具体数值验证；找等量关系时，让学生指着表格单元格说 “谁减谁等于谁”，确保理解。）
解方程组，验答
教学活动：让学生独立解方程组 x - y = 200
1.2x-0.9y=780 ，
答：去年总收入 2000 万元，总支出 1800 万元.
（设计意图：巩固二元一次方程组的求解方法，强化 “验、答” 步骤的重要性，让学生形成完整的解题闭环。）
（教学建议：若学生解方程组时出错（如消元时符号错误），可让板演学生说说 “每一步的依据”，全班共同找出错误原因；检验环节强调 “既要验方程，也要验实际意义”（如 “收入、支出不能为负”）。
总结表格梳理方法:
在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。
（1）先明确题目涉及的核心量，确实表格的行或列标题；
（2）将题目中的已知量和未知量对应填充到表格的单元格中；
（3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列方程组。
（设计意图：通过学生自主总结，将表格梳理方法显性化，便于后续迁移应用。）
（教学建议：总结时让学生结合利润问题实例对应每一步，避免方法与实例脱节（如 “定核心量” 对应 “年份、总收入等”）。
二.典例分析
医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。如果患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：设每餐需要甲原料 x g,乙原料 y g，则有
成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0．7y 0.5x+0.7y
其中所含铁质 0．4 x+0.4y
甲原料中所含蛋白质+乙原料中所蛋白质=35
甲原料中所含铁质+乙原料中所铁质=40
解：设每餐需要甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要。
（设计意图：通过自主探究，让学生将利润问题中学到的表格梳理方法迁移到新场景，检验知识掌握情况，同时提升自主解题能力。）
（教学建议：若学生表格设计多样（如 “行设原料，列设成分” 或 “行设成分，列设原料”），只要合理，均给予肯定，避免限制学生思维；若学生漏填 “所配制营养品的蛋白质含量 0.5x+0.7y”，可提问 “患者需要的 35 单位蛋白质从哪来”，引导补充。）
1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、 乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 ( C )
某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x 元和y元。若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程 x＋y = 30000 ；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程 10%x＋11%y = 3150 ，由此可得方程组 。
甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？
设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h，填写下表并求x，y的值。
两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和
第一种情况 甲先走2h (2+2.5）x 2.5y 36
第二种情况 乙先走2h 3x (2+3)y 36
解： 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h， 根据题意，得
解方程组，得
所以，甲的速度为 6 km/h，乙的速度为 3.6 km/h。
4. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生
设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值。
人数 甲班 乙班 两班总和
学生人数 x y 100
达标学生人数 87.5%x 75%y 81%×100
解：设 甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得
解，得，
所以甲班有48人，乙班有52人。
必做题：习题5.3第7题、第8题、第9题
2．探究性作业：出行规划探究
二元一次方程组的解法 一、表格梳理找等量关系 1.定核心量，设表格行列； 2.填已知量、未知量（转化比例关系）； 3.找等量关系，列方程组。 二. 核心思想：方程思想、转化化归 三. 例题区：（学生板演区域）

展开更多......

收起↑