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5.1 认识方程
小学时，我们学过列算式解决实际问题。在学习了用字母表示数后，就可以用含字母的式子表示数量关系，这为实际问题的解决提供了新的方法。
引言
我国明代数学著作《九章详注笔类算法大全》中有一首诗：
远望巍巍塔七层，
红光点点倍加增。
共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？
大意为：一座雄伟壮观的七层宝塔，层层飞檐上闪烁着红灯，下层红灯数目是相邻上层红灯数目的2倍。全塔共有381盏灯，请问顶层有几盏灯？如何解决这个问题？
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小游戏——猜体重
问题: （1）如果告诉我你的体重乘2再加1等于几，我就能“猜”出你的体重。
我的计算结果是113 我的计算结果是149 …
你的体重是56千克 你的体重是74千克 …
如果把我的体重乘2再加1的话,结果等于109,谁能“猜”出我的体重吗？
你能告诉我,你是怎么“猜”出来的吗 要想知道其中的奥秘,需要同老师一起来认识方程。
观察与发现
活动一：探究方程和一元一次方程
情境一:“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增.共灯三百八十一,请问尖头几盏灯 ”这是章引言中的问题,我们可以用列算式的方法解决.
试着找到问题中的关键信息,并圈画出来。
问题: 题目涉及了哪些数量关系
如果设宝塔顶层有x盏灯,你能表示其他层灯的盏数吗
你能根据其中的等量关系列出一个等式吗？
设未知数解决问题的一般步骤:
(1)分析题意,圈画关键词;
(2)通过列表格、画情境图、画线段图等方式找出数量关系;
(3)设未知数,根据问题中的等量关系,写出含未知数的等式。
思考与交流
情境二:顾客购买某种练习本时有两种方案。方案1:直接按每册10元购买。方案2:先交会员费20元,之后按照每册8元购买。
问题:请问购买多少册练习本时两种方案的费用相等？
设购买x本练习册,你能模仿刚才的过程列出等式吗
情境三:某工厂生产紫砂茶具套装,每套茶具包含1把茶壶和6只茶杯。已知1kg紫砂泥可制作2把茶壶或8只茶杯.现要用15kg紫砂泥制作茶具套装,工厂应各分配多少千克的紫砂泥制作茶壶和茶杯
问题1:设制作茶壶的紫砂泥为x kg,则制作茶杯的紫砂泥为多少
问题2:x kg紫砂泥能制作多少个茶壶 (15-x)kg紫砂泥能制作多少个茶杯
问题3:茶壶、茶杯是怎么配套的
问题4:你能列出含x的等式吗？
问题:上面得出的等式①②③④,有什么相同点和不同点
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381。①
10x=8x+20。 ②
8(15-x)=6×2x。 ③
+2x=35。 ④
概括与表达
例题讲解
例1 下列等式中哪些是一元一次方程？
x+2y=3；（2）-3x+1=0；（3）-m+5=9；（4） -7 =2；（5）2x+1＞6；（6）3x-2=5x+8。
分析：(1)含有2个未知数;(2)未知数的最高次数是2; (4)等号的左边不是整式;(5)不是等式。
解:(3)(6)是一元一次方程。
变式训练
若关于x的方程2-9=0是一元一次方程，则n的值为 。
方程（m+1）+1=0是关于x的一元一次方程，则m= 。
解析：（1）因为2-9是一元一次方程，所以=1，解得=±2。
（2）因为（m+1）+1=0是一元一次方程，所以=1，且（m+1）≠0，所以m=1。
活动二：探究一元一次方程的解
“猜体重”游戏中,当你告诉我计算的结果是113时,可列方程 2x+1= 113,从而求出你的体重是56 kg。由于56能使方程左右两边的值相等,我们就把x=56叫作方程2x+1=113的解。
例题讲解
例2 x=10是方程10x=8x+20的解吗
解:当x=10时,左边=10×10=100,右边=8×10+20=100,左边=右边,所以x=10是方程x=10的解。
判断一个数值是不是方程的解的一般步骤是什么
变式训练
(1)已知关于x的方程3x+a-9=0的解是x=2,则a的值为( )。
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)已知关于x的方程4x-3m=2的解是x = m,则m的值是 。
解析：（1）因为x=2是方程3x+a-9=0的解，所以3×2+a-9=0成立，解得a=3。故本题选B。
（2）因为x = m是方程4x-3m=2的解，所以4m-3m=2成立，解得m=2。
知识点梳理
知识点一 方程的概念
含有未知数的等式叫作方程。如2x-5=1,x+y=6等。
题1 下列式子是方程吗？为什么？
（1）2x+8=7（2）6y-2x=4（3） m-n=3（4）5-4=1（5）4x+5y（6）（7） =4
提示：
方程的两个条件：①是等式；②含有未知数。二者缺一不可。
方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上。
解：（1）（2）（3）（6）（7）是方程，因为它们是含有未知数的等式。
（4）（5）不是方程，（4）虽然是等式，但它不含未知数，（5）虽然含有未知数，但它不是等式。
知识点二 一元一次方程的概念
方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。
一般形式：ax+b=0（a≠0）
拓展：
方程中所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数，即等号两边都是整式，这样的方程是整式方程。一元一次方程就是整式方程。
归纳：一元一次方程必须同时满足的条件：
①等号两边都是整式； （指化简整理前分母中不含未知数）
②只含有一个未知数；
③未知数的次数都是1；
④未知数的系数不为0。（合并后系数不为0）
题2 从下列各式中找出等式、方程、一元一次方程，并将它们的序号填入相应的大括号内。
①3x+2;②- =8;③a+3b=7;④5x-x-2;⑤4-1=3；⑥x-y＞1；⑦2+x=1;
⑧2y-3;⑨3x＞2x；⑩3x-2=2； 3x-2y=6; x=0。
等式：｛ …｝； 方程：｛ …｝；一元一次方程：｛ …｝。
分析：方程、一元一次方程必是等式，先找出等式再根据定义找出方程及一元一次方程。
解：等式：｛②③⑤⑦⑩ …｝；方程：｛②③⑦⑩ …｝；一元一次方程：｛⑩ …｝。
知识点三 方程的解
方程的解
使方程的等号两边相等的未知数的值叫作方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根。
检验方程的解的方法
将数值分别代入原方程的左右两边进行计算；若相等则是方程的解，否则不是。
图解验根法（如下图所示）
图5-1-1
注意：
方程的解是一个具体的数值。
方程的解可能不止一个，也可能无解。如x=-1和x=4都是方程-3x-4的解；而方程+1=-2无解。
题3 检验x=12，x=- 是不是方程 x = x +1的解？
1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：分别将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等。
解：把x=12分别代入方程 x = x +1的左边和右边，左边=×12=8，右边= ×12 +1=22。因为左边≠右边，所以x=12不是方程 x = x +1的解。
把x=- 分别代入方程 x = x +1的左边和右边，左边=×（- ）=- ，右边= ×（- ） +1=- 。因为左边=右边，所以x=- 是方程 x = x +1的解。
练习（p103）
根据题意列出方程:
x的2倍与18的和等于54；
27与x的差的一半等于x的4倍；
一个长方形的宽为x cm，长比宽多5 cm，面积为36 ；
书包的单价为128元，文具盒的单价为x 元，购买2个书包和5个文具盒共需351元。
解：（1）2x+18=54。（2）（27-x）=4x。（3）（5+x）x=36。（4）128×2+5x=351。
根据题意，设未知数并列出方程。
一家商店在销售某种服装时，按这种服装的标价销售10件的销售额，与按这种服装的标价降低30元销售11件的销售额相等。求这种服装每件的标价。
古埃及“纸草书”中记载：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33。这个数是多少？
解：（1）设这种服装每件的标价为x元，由题意，得10x=11（x-30）。
（2）设这个数为x，由题意，得x + x + x + x=33。
完成下表：
x的值 2 1 0 -1 -2 …
3x+5的值 …
你能从表中找到方程3x+5=2的解吗？
解：表格中从左往右填写如上图。
能。3x+5=2的解是x = -1。
重点内容总结

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