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4.1等式与方程（第1课时 等式） 教学设计
1.教学内容
本课为新教材苏科版七年级上册第四章《一元一次方程》第1课时“等式与方程”。主要围绕“等式”的概念及其在实际情境中的应用展开，通过“天平平衡”“火车过桥”以及“鸡兔同笼”等典型情境，帮助学生从具体问题中提炼等量关系，学会用含有字母的等式表达，并初步感知等式的基本性质。
2.内容解析
本节内容先从直观的问题情境切入：如“天平平衡”得到的 ，以及“火车过桥”得到的 ，让学生直面“等式”这一核心概念：表示两个量相等的数学表达式。随后，通过“鸡兔同笼”进一步体会建立等量关系的思路：总只数与总腿数分别对应不同的表达式，从而列出等等式。在操作体验方面，学生通过动手“平移”天平的砝码或物体，感受等式两边同时加减同样的数（或式子）所得结果不变，以及两边同时乘除同样的数（或式子，且不为 0）结果不变，进而理解“等式的基本性质”。最后，学生需掌握列等式解应用题的基本步骤：先寻求实际情境中的等量关系，后转化成含有未知数的等式，为后续学习一元一次方程的求解与应用打下坚实基础。
1.教学目标
经历建立等式的过程，了解等式概念，会根据实际问题中的等量关系列出等式，发展抽象能力。
通过操作体验活动经历等式基本性质的形成过程，能用等式基本性质对等式进行变形，发展推理能力。
2.目标解析
通过具体情境得出等式，学生能够归纳并理解“等式”的定义，培养从实际问题抽象出数学模型的能力。
在操作“天平平衡”或“火车过桥”的过程中，体会并应用等式的基本性质，对等式进行正确变形。
能使用字母和运算符号准确表达实际中的相等关系，提升符号感与模型思想。
3.重点难点
教学重点：从实际情境抽象出等量关系并列出等式，理解等式的基本性质。
教学难点：在多步骤操作或复杂情境下，准确抓住等量关系，避免变形错误，真正理解“等式两边做同样运算后，结果仍相等”的原理。
学生对“等式”和“方程”已有一定感知，能理解简单情境中的未知量，但对从生活情境建模并严谨表述为含未知数的等式还较陌生。部分学生对等式变形的合理性、尤其对“为什么要在等号两边同时做加减、乘除运算”尚缺乏深层理解。需通过丰富的案例与操作活动，让他们逐步形成从具体问题到抽象符号的迁移能力，帮助他们在后续学习一元一次方程时更好地理解方程的求解过程与应用价值。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.教师提问：天平中蓝色小球的质量是多少？如果设蓝色小球的质量是xg，你能得到一个关于x的等式吗？
学生思考并讨论：2x＋1＝x＋5
教师提问：火车在青山绿水中穿行，你能设计一个问题得到与上面相似的式子吗？
学生思考并讨论：一列火车匀速通过一座长1200米的桥，从火车头进入桥到火车尾完全离开桥，共用了30秒．已知火车的长度是300米，求火车的行驶速度．解答：30x＝1200＋300
【设计意图】通过结合天平实验与生活实例，形象展示等式基本性质的合理性，引导学生掌握等式变形的步骤和方法，发挥逻辑推理能力。
探究点1：等式的概念
1.探究交流：
小学里，我们研究过“鸡兔同笼”问题，它源自我国约公元4世纪的数学著作《孙子算经》.
教师提问：填写下表，你知道满足题意的鸡、兔各有多少只吗？
鸡的只数 1 2 3 4 5 6 ...
兔的只数 34 33 32 31 30 29 ...
总足数 ...
学生思考并讨论：
鸡的只数 1 2 3 4 5 6 ...
兔的只数 34 33 32 31 30 29 ...
总足数 138 136 134 132 130 128 ...
教师提问：用字母x表示鸡的只数，填写下表．你可以发现哪些等量关系？请用数学式子表示．
项目 只数 足数
鸡
兔
合计 35 94
学生思考并讨论：
项目 只数 足数
鸡 x 2x
兔 35－x 4(35－x)
合计 35 94
等量关系为：2x＋4(35－x)＝94
教师引导：对比两种不同的思维方式，说说你的想法．
教师总结本章章节导读：
2.新知探究
（1）天平左边托盘中有2袋食盐，每袋xg，右边托盘中有3袋白糖，每袋yg，天平平衡表示______；
解：因为2袋食盐的质量＝3袋白糖的质量，所以可得2x＝3y
（2）长方形的长和宽分别为x，y，面积为S，则S＝_____；
解：因为长方形的面积＝长×宽，所以可得S＝xy
（3）购买12支铅笔和3本笔记本共花费58元，铅笔每支a元，笔记本每本b元，则__________＝58．
解：因为12支铅笔的费用＋3本笔记本的费用＝58，所以可得12a＋3b=58
3.讨论交流，共同总结可得：
像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系的式子叫作等式。
【设计意图】通过"鸡兔同笼"、天平称重、长方形面积、购买文具等生活化情境，引导学生从具体到抽象，逐步学会用字母表示未知数并建立方程模型，理解等式的含义，培养符号化和模型化思想，为后续方程学习奠定基础。
探究点2：列等式的一般步骤
1.典例分析
例1 根据下列情境中的等量关系列出一个等式：
(1) 某高铁列车以v km/h的平均速度行驶0.5h，行驶的路程为150 km；
解：(1)等量关系：速度×时间＝路程，用等式表示为0.5v＝150；
(2)按盐和水的质量之比为1:10的配比，把 x g盐配成550 g的盐水；
解：(2)等量关系：盐的质量＋水的质量＝盐水的质量，用等式表示为x＋10x＝550；
(3)如图，一张正方形纸片被分割成四部分．
解：(3)等量关系：正方形纸片的面积等于四部分面积之和，用等式表示为
＝＋2ab＋；
2.讨论交流，共同总结可得：
列等式的一般步骤：
(1) 找出实际问题中的等量关系；
常用等量关系：速度×时间＝路程，总量＝各部分量之和，
售价＝标价(原价)× 折扣，利润＝ 售价－进价等．
(2) 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系．
【设计意图】通过典例分析生活情境中的等量关系，引导学生掌握列等式的一般步骤，培养数学建模与符号化表达能力，为方程学习打基础。
探究点3：等式的基本性质
1.新知探究
(1) 如图①，天平平衡．对天平两边进行如图②所示的操作，可以在保持天平平衡的状态下称出一个小球的质量．请写出每一步操作对应的等式，并解释对应等式的实际意义，你能否说出等式是如何变形的？你能说明变形的合理性吗？
解：2x-1=5两边都减去1之后得到2x=4（即两个小球的质量是4g），再两边都除以2得到x=2 （即一个小球的质量为2g）
(2) 如图，仿照上述过程设计天平操作过程，求出小球的质量y，写出每一步操作对应的等式，并解释等式的变形过程．
解：3y＝y＋6两边都减去y得到2y＝6，再两边都除以2得到y＝3
2.讨论交流，共同总结可得：
等式的基本性质：
1. 等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式．
2. 等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
用字母可以表示为：
如果a＝b，那 a±m＝b±m；
如果a＝b，那么am＝bm；
如果a＝b，且m≠0，那么＝．
【设计意图】通过天平操作情境，引导学生观察并归纳等式的基本性质，理解等式变形的合理性与步骤，培养从具体到抽象的数学思维能力，为后续解方程奠定基础。
探究点4：等式的基本性质的注意事项
1.典例分析
例2 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x＝c(c为常数)的形式：
(1)x＋5＝2；(2)－2x＝4；(3) 6x＝x＋5．
解：(1)根据等式的基本性质1，在等式x＋5＝2的两边都减去5，得x＝－3；
　　(2)根据等式的基本性质2，在等式－2x＝4的两边都除以－2，得x＝－2；
　　(3)根据等式的基本性质1，在等式6x＝x＋5的两边都减去x，得5x＝5，再根据等式的基本性质2，在等式5x＝5的两边都除以5，得x＝1．
2.讨论交流，共同总结可得：
运用等式的基本性质时注意“两同”：
(1) 同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算；
(2) 同一个数(或式子)：等式两边加或减的必须是同一个数(或式子)，
乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数.
【设计意图】通过典例分析，引导学生运用等式的基本性质将等式变形为 x=c 的形式，掌握“两同”原则，培养严谨的数学推理能力，为解方程奠定基础。
1．根据下列情境中的等量关系列出一个等式：
(1) 比a的一半多2的数是5；
(2) 从一根长20m的长绳上剪下两段长都为xm的短绳，还剩6m；
(3) 按如图所示的方式搭正方形，搭n个正方形恰好用了100根火柴棒．
解：(1) a＋2＝5；(2) 20－2x＝6；(3) 3n＋1＝100．
2.利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x＝c(c为常数)的形式：
(1) x＋2＝－6；(2) x＝3；(3) x－5＝－2；(4) 2x＋1＝5．
解：(1) 根据等式的基本性质1，在等式x＋2＝－6的两边都减去2，得x＝－8；
　　(2) 根据等式的基本性质2，在等式 x＝3的两边都乘以2，得x＝6；
　　(3) 根据等式的基本性质1，在等式x－5＝－2的两边都加上5，得x＝3；
(4) 根据等式的基本性质1，在等式2x＋1＝5的两边都减去1，得2x＝4，再根据等式的基本性质2，在等式2x＝4的两边都除以2，得x＝2．
拓展提升
1. 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x＝c(c 为常数) 的形式， 正确的是 (　　)
A. 由－x＝y得x＝2y B. 由3x－2＝2x＋2得x＝4
C. 由2x－3＝3x得x＝3 D. 由ax＝5a得x＝5
解：B
2. 若等式 ac＝bc成立，则下列等式不一定成立的是( 　　 )
A. a＝b B. abc＝c
C. ac＋a＝bc＋a D. ac－b＝bc－b
解：A
【知识补充】解答此类问题时，先要观察等式变形后的左边与右边，与等式变形前的左边与右边的差异，是同时增加(或减少) 还是同时扩大(或缩小)，然后确定变形的依据，最后得出结论.
3. 阅读理解题：
下面是小明将等式x－4＝3x－4进行变形的过程：
x－4＋4＝3x－4＋4，①
x＝3x，②
1＝3.③
(1) 第①步的依据是_______ . ；
(2) 小明出错的步骤是_______，错误的原因是 _______. ；
(3) 请给出正确的解法.
解：(1)等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式.
(2)③;等式两边都除以0.
(3)解：x－4＋4＝3x－4＋4，
x＝3x，
x－3x＝0，
－2x＝0，
x＝0.
【设计意图】通过练习帮助学生巩固对“从实际情境中列出等式”以及“运用等式的基本性质变形”的双重理解，进一步夯实解题技能。
主板书 4.1等式与方程（第1课时 等式） 探究点1 等式的概念 探究点2 列等式的一般步骤 探究点3 等式的基本性质 探究点4 等式的基本性质的注意事项 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演
1. 基础练习：完成课本相关练习中“等式与方程”部分的计算题。
2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用等式解决问题。

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