资源简介

4.2一元一次方程及其解法（第1课时 一元一次方程） 教学设计
1.教学内容
本课为新教材苏科版七年级上册第四章《一元一次方程》第4.2节第1课时，核心涉及一元一次方程的定义、解及等式基本性质的应用，帮助学生初步形成对一元一次方程的系统认知。
2.内容解析
通过典型实例引导学生认识“一元一次方程”的三要素：整式形式、唯一未知数、未知数次数为1。在实际问题中验证解的正确性，突出概念形成及应用价值，帮助学生优化等式变形与检验思路。
1.教学目标
能识别一元一次方程，经历从具体实例归纳概念的过程，发展抽象能力。
能判断未知数的值是否是一元一次方程的解，会用等式基本性质解简单的一元一次方程，发展运算能力。
2.目标解析
侧重让学生通过观察和比较，明晰一元一次方程的本质与结构。
重点培养方程求解与检验能力，帮助学生学会运用等式的基本性质，形成初步的方程思维。
3.重点难点
教学重点：掌握一元一次方程的概念和判断方法，熟悉方程解法步骤。
教学难点：灵活运用等式基本性质化简、多步检验，保证解的正确性。
学生对整式和简单方程已有初步认识，但对方程列式的多样形式和建模方法理解不深。部分学生在理解未知数唯一且次数为1的条件时较容易，但将实际情境转化为方程时尚需更多指导与练习，以逐步巩固和深化对一元一次方程的掌握。
创设情景，引入新课
问题情境：
根据所设未知数列方程：
1.教师提问：小丽网购3本同样的书，书费和邮费的总价为97.5元，邮费6元．求书的单价．(设书的单价为x元)
学生思考并讨论：3x＋6＝97.5；
2.教师提问：甲、乙两人练习赛跑， 甲每秒跑7m，乙每秒跑5m， 甲让乙先跑8 m，甲出发后几秒可追上乙？(设甲出发t 秒可追上乙)
学生思考并讨论：7t＝8＋5t；
3.教师提问：过路人，这座石墓里安葬着丢番图．他生命的是幸福的童年，生命的是青少年时期，又过了生命的他才结婚．婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便去世了，孩子去世后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘世生涯．过路人，你知道丢番图的寿命吗？(设丢番图的寿命为x 年)
学生思考并讨论：x＋x＋x＋5＋x＋4＝x．
【设计意图】通过生活实例（网购、赛跑、丢番图寿命问题），激发学习动力，引导学生观察方程形式，回顾未知数与方程的关系，为探究“一元一次方程”概念和解法做铺垫。
探究点1：一元一次方程
1.探究交流：
教师提问：这几个方程有什么共同特点？
3x＋6＝97.5，7t＝8＋5t，x＋x＋x＋5＋x＋4＝x
学生思考并讨论：都是只含有一个未知数且未知数的次数为1的等式.
教师总结：
等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程．
2.知识链接
李治（1192-1279）《测圆海镜》(1248年)系统总结天元术．
3.讨论交流
下列方程是否为一元一次方程？
(1) y＋2y＝6；
(2) ＝4；
(3) ＝2；
(4) x＋2y＝1．
解：(1) 是；(2)不是，未知数的最高次数是2；
(3)不是，分母中含有未知数，不是整式；
(4)不是，含有两个未知数。
3.讨论交流，共同总结可得：
一元一次方程包含三个要素：
1. 等号两边都是整式；
2. 只含有一个未知数；
3. 未知数的次数都是1．
三者缺一不可．
【设计意图】通过对已有方程的观察和比较，启发学生从算式结构和未知数种类两个角度分析，进而抽象出一元一次方程的定义，培养学生的抽象概括能力。
探究点2：解一元一次方程
1.典例分析
例1 判断x＝2是否为下列一元一次方程的解：
(1) 3x－1＝5；(2) 2x－3＝x＋1；(3) 3x＝6．
解：(1) 把x＝2代入方程左边，方程两边都为5，等式成立，
所以x＝2是方程的解；
(2) 把x＝2代入方程两边，左边＝1，右边＝3，等式不成立，
所以x＝2不是方程的解；
(3) 把x＝2代入方程左边，方程两边都为6，等式成立，
所以x＝2是方程的解.
例2 解下列方程：
(1)0.5x＝－3； (2) 3x＋5＝11．
【分析】运用等式的基本性质，转化为x＝c的形式。
解：(1) 两边都除以0.5，得
x＝－6．
(2) 两边都减去5，得
3x＝6．
两边都除以3，得
x＝2．
2.讨论交流，共同总结可得：
利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤：
1. 利用等式的性质1，给方程左、右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式；
2. 利用等式的性质2，给方程左、右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，即将未知数的系数化为1，把方程逐步转化为x＝c的形式，从而求出方程的解.
【设计意图】通过观察并总结方程解法的核心步骤，让学生体会解一元一次方程的关键思路，逐步学会利用等式的性质简化方程，最终得到的数值解，培养学生的表达与推理能力。
1．对于方程： ①x－2＝；②0.3x＝1；③－4x＝3；④x＋2y＝0；
⑤x＝6；⑥7x＋5＝7(x－2). 其中一元一次方程有_____个．
解：只有②⑤是一元一次方程，所以有2个。
【知识补充】判断一个方程是否为一元一次方程不仅要看原方程，还要看化简后的方程.
2.判断x＝－2是否为下列方程的解：
(1) 2x＝5x＋6； (2) －3x＝6．
解：(1) 把x＝－2代入方程两边，左边＝－4，右边＝－4，等式成立，
所以x＝－2是方程的解；
(2)把x＝－2代入方程左边，方程两边都为6，等式成立，
所以x＝－2是方程的解.
3． 解下列方程：
(1) －x＝； (2) 2x－5＝－21．
解：(1) 两边都乘以－2，得
x＝－．
(2) 两边都加上5，得
2x＝－16．
两边都除以2，得
x＝－8．
拓展提升
1. 若 是关于 的一元一次方程，求 的值。
解：根据题意，可得
　　|m|－1＝1，且m＋2 ≠ 0 .
　　由|m|－1＝1，得|m|＝2，
　　所以m＝± 2 .
　　由m＋2≠0，得m≠－2 .
所以m＝2 .
【解题秘方】在一元一次方程中，如果未知数的次数或系数中含有字母，那么根据一元一次方程中“未知数的次数等于1”和“未知数的系数不等于0”可以求得这个字母的值或取值范围．
2.某同学利用等式的基本性质解方程8x－8＝12x－8的步骤如下：
解：在方程的两边都加上8，得8x＝12x.在方程的两边都除以x，得8＝12，所以原方程无解.
上述解题过程是否正确？如果正确，那么指出每一步的理由；如果错误，那么指出错在哪里，并加以改正. .
解：
改正：方程两边都减去12x，得 8x－12x＝0.
合并同类项，得 －4x＝0.
方程两边都除以－4，得 x＝0.
【设计意图】本环节选取略有难度的题目，引导学生进一步理解“一元一次方程”中对未知数次数与系数的要求，并体会对方程进行合理变形、检验的过程，拓展思路，提升综合运用能力。
主板书 4.2一元一次方程及其解法（第1课时 一元一次方程）探究点1 一元一次方程 探究点2 解一元一次方程 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演
1. 基础练习：完成课本相关练习中“一元一次方程”部分的计算题。
2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用一元一次方程解决问题。

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