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6．3.3　余角和补角
INCLUDEPICTURE "学习目标下.tif" INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/学习目标下.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../学习目标下.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../学习目标下.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../学习目标下.tif" \* MERGEFORMAT
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "知识梳理.tif" INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/知识梳理.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../知识梳理.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../知识梳理.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../知识梳理.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "知识梳理.tif" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　))
知识点一　余角和补角
1．如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．
2．如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
练习1　如果一个角的余角是60°，那么这个角的补角的大小是(　A　).
A.150° B．130°
C．90° D．30°
【解析】因为一个角的余角是60°，则这个角为30°，所以这个角的补角的大小是180°－30°＝150°.故选A.
总结　余角(补角)是指两个角的数量关系，是成对出现的，单独一个角或两个以上的角不能称其为余角(补角)；一个角的余角(补角)可以有多个，但它们的度数是相等的；互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．
知识点二　余角和补角的性质
3．同角(等角)的余角相等．
4．同角(等角)的补角相等．
练习2　若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足(　B　).
A．∠1＋∠3＝90°
B．∠1＝∠3
C．∠1＋∠3＝180°
D．∠1－∠3＝90°
总结　应用余角和补角的性质时应注意：①如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角；②“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后练习.tif" INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/课后练习.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课后练习.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课后练习.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../课后练习.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "课后练习.tif" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "三角.tif" INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "三角.tif" \* MERGEFORMAT 基础巩固
1．若∠α＝54°30′，则∠α的余角的大小是(　B　).
A．35°38′ B．35°30′
C．125°30′ D．125°38′
【解析】因为∠α＝54°30′，所以∠α的余角是90°－54°30′＝89°60′－54°30′＝35°30′.故选B.
2．若∠A＝120°，则它的补角的余角为(　C　).
A．20° B．25°
C．30° D．35°
【解析】因为∠A＝120°，
所以它的补角为180°－120°＝60°，
所以它的补角的余角为90°－60°＝30°.故选C.
3．下列结论：①互余且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°.其中正确的个数为(　B　).
A.2 B．3
C．4 D．5
4．如图，小明将一个直角三角形纸片的直角顶点放在直线l上的点O处，固定直线l，当纸片绕着点O在直线l上方旋转时，∠1与∠2的度数会发生改变，则∠1与∠2的关系是(　C　).
INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX216.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX216.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX216.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX216.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX216.tif" \* MERGEFORMAT
A．互为补角 B．相等
C．互为余角 D．以上都不对
5．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补角的度数为(　D　).
INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX330.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX330.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX330.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX330.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX330.tif" \* MERGEFORMAT
A．45° B．135°
C．75° D．165°
INCLUDEPICTURE "三角.tif" INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "三角.tif" \* MERGEFORMAT 能力达标
6．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为(　C　).
INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX217.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX217.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX217.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX217.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX217.tif" \* MERGEFORMAT
A．36° B．44°
C．54° D．63°
【解析】因为∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝36°.
又因为∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠BOD－∠COD＝90°－36°＝54°.故选C.
7．如图，利用量角器测量角，有如下4个结论：①∠AOC＝90°；②∠AOB＝∠BOC；③∠AOB与∠BOC互为余角；④∠AOB与∠AOD互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号是(　D　).
INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX221.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX221.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX221.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX221.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX221.tif" \* MERGEFORMAT
A．①② B．③④
C．①②③ D．①③④
8．如图，∠AOB＝90°，OB是∠DOE的平分线，点C，O，D在同一条直线上．若∠DOE＝68°，求∠AOC的度数．
INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX218.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX218.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX218.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX218.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX218.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】因为OB是∠DOE的平分线，且∠DOE＝68°，
所以∠BOD＝∠DOE＝34°.
又因为∠AOB＝90°，
所以∠AOD＝90°－∠BOD＝56°，
所以∠AOC＝180°－∠AOD＝124°.
INCLUDEPICTURE "三角.tif" INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../三角.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "三角.tif" \* MERGEFORMAT 挑战创新
9．(实践探究题)如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处(∠DOE＝90°).
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX290.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX290.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX290.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX290.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX290.tif" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(图1)) 　　 eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX290A.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX290A.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX290A.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX290A.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX290A.tif" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(图2))
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "../../../../广东慧源同步上册/广东慧源七年级上册数学/SX290b.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX290b.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../SX290b.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../SX290b.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "SX290b.tif" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(图3))
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________°.
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数．
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
(1)【答案】20
【解析】因为∠BOC＝70°，∠DOE＝90°，
所以∠COE＝∠DOE－∠BOC＝90°－70°＝20°.
(2)【解】因为OC平分∠BOE，
∠BOC＝70°，
所以∠COE＝∠BOC＝70°.
因为∠DOE＝90°，
所以∠COD＝∠DOE－∠COE＝90°－70°＝20°.
(3)【解】∠COE－∠BOD＝20°.
理由如下：
因为∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°，
∠BOD＋∠COD＝∠BOC＝70°，
所以∠COE＋∠COD－(∠BOD＋∠COD)＝90°－70°，
所以∠COE＋∠COD－∠BOD－∠COD＝20°，所以∠COE－∠BOD＝20°.6．3.3　余角和补角
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　))
知识点一　余角和补角
1．如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．
2．如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
练习1　如果一个角的余角是60°，那么这个角的补角的大小是(　).
A.150° B．130°
C．90° D．30°
知识点二　余角和补角的性质
3．同角(等角)的余角相等．
4．同角(等角)的补角相等．
练习2　若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足(　).
A．∠1＋∠3＝90°
B．∠1＝∠3
C．∠1＋∠3＝180°
D．∠1－∠3＝90°
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　))
基础巩固
1．若∠α＝54°30′，则∠α的余角的大小是(　).
A．35°38′ B．35°30′
C．125°30′ D．125°38′
2．若∠A＝120°，则它的补角的余角为(　).
A．20° B．25°
C．30° D．35°
3．下列结论：①互余且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°.其中正确的个数为(　).
A.2 B．3
C．4 D．5
4．如图，小明将一个直角三角形纸片的直角顶点放在直线l上的点O处，固定直线l，当纸片绕着点O在直线l上方旋转时，∠1与∠2的度数会发生改变，则∠1与∠2的关系是(　).
A．互为补角 B．相等
C．互为余角 D．以上都不对
5．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补角的度数为(　).
A．45° B．135°
C．75° D．165°
能力达标
6．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为(　).
A．36° B．44°
C．54° D．63°
7．如图，利用量角器测量角，有如下4个结论：①∠AOC＝90°；②∠AOB＝∠BOC；③∠AOB与∠BOC互为余角；④∠AOB与∠AOD互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号是(　).
A．①② B．③④
C．①②③ D．①③④
8．如图，∠AOB＝90°，OB是∠DOE的平分线，点C，O，D在同一条直线上．若∠DOE＝68°，求∠AOC的度数．
挑战创新
9．(实践探究题)如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处(∠DOE＝90°).
eq \o(\s\up7(),\s\do5(图1)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(图2))
eq \o(\s\up7(),\s\do5(图3))
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________°.
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数．
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．

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