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第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程（组）
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义.
2.经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程，感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.
3.学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣.
重点：理解二元一次方程（组）的概念．
难点：会根据实际问题列方程组．
（一）创设情境
情境：“鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
你能用不同的方法解答这个问题吗？
预设答案：方法一：算术法
兔数：（94÷2） 35=12（只） 鸡数：35 12＝ 23（只）
方法二：一元一次方程解法
解：设鸡有只，则兔有只.
根据题意，可得，
解得.
则鸡有23只，兔有12只.
思考：题中有两个未知数，如果分别设为，又该如何求解呢？
设计意图：与现实生活中的问题相联系，通过利用不同的方法解决问题，引导学生类比之前学过的一元一次方程，引出二元一次方程的概念，便于学生理解.
（二）探究新知
任务一：二元一次方程（组）的概念
探究：情境问题中如果分别设鸡有x只，兔有y只，则可得以下方程：
由“上有三十五头”，可得x+y=35，由“下有九十四足”，可得2x+4y=94.
师生活动：观察上面列出的方程，对比一元一次方程的概念，组内交流此类方程的特点，并尝试给这类方程起个合适的名字.
设计意图：通过让学生相互讨论交流，发表自己的看法，并与一元一次方程的概念相结合，训练学生们的合作意识和对类比思想的应用，体会类比的方法在学习中的重要性.
探究：
这里的要同时满足“上有三十五头，下有九十四足”，所以我们把两个方程联立在一起，可得：
总结：二元一次方程（组）的概念
含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.几个方程联立在一起，称为方程组.由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
思考：观察下列方程组是二元一次方程组吗？
①②③④
师生活动：小组交流，说说自己的看法，尝试归纳出判断二元一次方程组的方法.
探究：
总结：二元一次方程组必须满足的条件：
①含有两个方程；
②两个方程中共含有两个未知数；
③未知数的最高次数为1；
④必须都是整式方程.
设计意图：通过分析列出的方程，观察出“元”和“次”的特点，让学生自己总结，归纳出二元一次方程（组）的概念，提高学生们的观察能力和归纳总结能力.
任务二：列二元一次方程组
探究：小明在植树节共植树45棵，其中樟树苗每棵9元，白杨树苗每棵4元，购买这些树苗共花了330元，樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
解：设樟树苗买了棵，白杨树苗买了棵.
可得二元一次方程组
设计意图：通过实际问题，让学生体会列方程组在实际生活中的应用，体会列方程组给解决实际生活中的问题所带来的便捷.
总结：根据实际问题列二元一次方程组的步骤：
①审题，找出等量关系；
②设出适当的未知数；
③根据等量关系列出方程组.
（三）应用举例
例1.下列方程是二元一次方程的是( )
分析：A.该方程的未知数的最高次数是2且只有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误；
B.该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
C.该方程中含有个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误；
D.该方程中含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误.
解：B
例2.下列方程组是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
解：．不是一次项，故不是二元一次方程组；
B.中不是整式方程，故不是二元一次方程组；
C.不是一次项，故不是二元一次方程组；
D.符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组．
答案：D
例3.我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，可列出符合题意的方程组为______．
分析：根据题意可得等量关系：绳索长=竿长+6尺，竿长=绳索长的一半+6尺，根据等量关系可得方程组．
答案：
例4.若是关于，的二元一次方程，则的值为 ( )
A. B. C. D.
分析：根据二元一次方程的定义，的次数必须为1且的系数不能为0，可得且，即可得出的值．
解：C
设计意图：通过4个例题，帮助学生进一步理解二元一次方程（组）的概念及其应用，提高学生对新知识的理解接受能力和应用能力.
（四）课堂练习
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
解：、是二元二次方程，故A不符合题意；
B、是二元一次方程，故B符合题意；
C、方程右边不是整式，所以，不是整式方程，是分式方程，故C不符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
2.下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
解：，不是一次方程，故该选项不合题意；
B.不是整式，故该选项不合题意；
C.含有三个未知数，故该选项不合题意；
D.符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意．
3.若是关于，的二元一次方程，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
解：由题意知：，，
解得．
根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为，求出的值．
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
4.已知关于，的方程．
当为何值时，它是一元一次方程
当为何值时，它是二元一次方程
解：由题意得，
解得或．
当时，，，此时方程为一元一次方程
当时，原方程可化为，此时方程为二元一次方程．
5.如图所示为某商店的宣传单，若小昱拿到后，到此店同时买了一件定价元的衣服和一件定价元的裤子，共省元，则依题意可列出的方程为( )
A. B.
C. D.
解：由题意得，．选C
6.方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤等于两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少．”大意是：只麻雀和只燕子一共重两，每只麻雀比每只燕子重，如果将麻雀和燕子互换只，那么它们的重量相等，求每只麻雀和每只燕子各重多少两．如果设每只麻雀重两，每只燕子重两，以下方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
解：根据“只麻雀和只燕子一共重两；只麻雀和只燕子的重量等于只麻雀和只燕子的重量”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
依题意得：
故选
设计意图：设置了6个练习题目，题目难度逐渐升高，通过练习，巩固本节课所学的二元一次方程（组）的概念和列方程组解决生活中的实际问题，提高学生对本节课内容的理解程度和应用能力.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：让学生自行总结，活跃课堂气氛，做到全员参与，理清知识脉络，强化重点，培养学生口头表达能力.第三章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第2课时 代入消元法
1.理解二元一次方程组的解，会熟练用代入消元法解二元一次方程组，并初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.
2.通过用代入法解简单的二元一次方程组，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.在解方程组的过程中让学生初步体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，培养学生自
主学习、合作交流的意识与探究精神.
重点：理解二元一次方程组的解和代入消元法．
难点：能利用代入消元法解二元一次方程组．
（一）创设情境
回顾：在上一课时的鸡兔同笼问题中，我们列出了如下方程组：
思考一下，如何求出x，y的值呢？
师生活动：回忆学过的解一元一次方程的方法，小组间进行讨论，说说自己的想法，并说出你这样做的依据.
设计意图：联系之前学过的知识，引导学生发现问题，提高学生的探究意识和对所学知识的把控和应用能力.
（二）探究新知
任务一：二元一次方程组的解
探究：解二元一次方程组：
将方程①变形得：， ③
将③代入②得：2(35 y)+4y=94，
解得：y=12，
将y=12代入③得：x=35 12=23.
将x=23，y=12代入方程组中检验，两个方程都成立.我们将其写成如下形式：
它们就是二元一次方程组的解.
思考：你能归纳一下什么是二元一次方程组的解吗？
设计意图：通过让学生经历解二元一次方程组的过程，初步体会消元的思想，重点理解二元一次方程组的解和二元一次方程组的关系，提高学生的自主学习能力和归纳能力.
总结：二元一次方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解.
注意：
①二元一次方程组的解必须使方程组中每一个方程都成立.
②必须写成大括号的形式.
③若已知方程组的解，将其代入方程组中的每个方程后都能使等号成立.
任务二：代入消元法
探究：
总结：上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程.
探究：
总结：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.
思考：用代入法解下面的方程组，试归纳出用代入法解二元一次方程组的步骤中有什么注意事项.
由②得：. ③
把③代入①得：
解得：.
把代入③得：.
所以原方程组的解为
思考：在将代数式变形时，可以用表示吗？比较一下哪种更简单.
由②得：.代入①得：
不难发现用表示时，变形之后出现了分母，难度增大，所以变形时选择系数较小，最好是1的未知数来表示比较简单.
设计意图：重新观察解二元一次方程组的过程，体会由二元一次方程转化成一元一次方程的过程，感受消元思想为我们解二元一次方程组带来的便利.
总结：代入消元法解二元一次方程组的步骤
（三）应用举例
例1.解为的二元一次方程组是( )
A. B. C. D.
分析：根据二元一次方程组解的定义，将x= 2，y=1分别代入四个方程组的每个方程中，找出能使哪个方程组中每个方程的等号都成立，即为该方程组的解.
答案：C
例2.解方程组：
分析：考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.方程②中的系数是1，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解.
解：由②，得：. ③
把③代入①，得. 解得.
把代入③，得. .
所以
例3.已知关于，的二元一次方程组的解为则，的值分别为 ( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
分析：根据二元一次方程组解的定义，已知方程组的解，代入方程组中每个方程都能使等号成立，得到关于的方程组求解即可．
答案：解析：将代入方程组得解得
答案：C
例4.已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式( )
A. B. C. D.
分析：求与的关系，使关于，的方程组与的取值无关，就是利用消元的思想，消去即可.
答案：解析：将代入得，
，
即，
答案：．
设计意图：通过4个例题，帮助学生进一步理解二元一次方程组的解的含义，熟悉利用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
（四）课堂练习
1.下列不是二元一次方程的解的是( )
A. B. C. D.
解：把，代入方程，左边右边，所以是方程的解；
B.把，代入方程，左边右边，所以是方程的解；
C.把，代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
D.把，代入方程，左边右边，所以是方程的解．
故选C．
2.用代入法解方程组下列说法正确的是( )
A. 直接把代入，消去 B. 直接把代入，消去
C. 直接把代入，消去 D. 直接把代入，消去
解：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法根据代入消元法求解的步骤即可得．
将代入，得：，
由此可知代入可消去，
故选B．

3.解方程组：
解：本题考查解二元一次方程组代入消元法 ．
原方程组变形，再用代入消元法求解即可．
原方程组可化为
将代入，得，
解得，
将代入，得，
所以原方程组的解为
4.若关于，的方程组的解为则等于( )
A. B. C. D.
解：本题考查了二元一次方程组的解，利用方程组的解满足方程组得出关于，的方程组是解题关键．根据方程组的解满足方程组，可得关于，的方程，根据代数式求值，可得答案．
关于、的方程组的解是，
，
解得，
，
5.已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是( )
A. B. C. D.
解：本题考查了解二元一次方程组，利用了代入消元法的思想，熟练掌握消元的方法及运算法则是解题的关键．
将代入，得到，
所以．
故选C．
6.解方程组时，可由得然后再将代入，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：
解：本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．仿照所给的题例先把变形，再代入中求出的值，进一步求出方程组的解即可．
由得，，
代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，．
故原方程组的解为．
设计意图：设置了6个练习题目，题目难度逐渐升高，通过练习，巩固本节课所学的二元一次方程组解的概念和代入消元法解二元一次方程组，提高学生对本节课内容的理解程度和应用能力.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：让学生自行总结，活跃课堂气氛，做到全员参与，理清知识脉络，强化重点，培养学生口头表达能力.第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第3课时 加减消元法
1.理解加减消元法的定义，掌握用加减消元法解二元一次方程组.
2.掌握通过改变系数来运用加减消元法解二元一次方程组的方法.
3.能根据二元一次方程组的特点选择合适的解法.
4.通过探索二元一次方程组的解法，了解二元一次方程组的“消元”思想，使学生养成好的探索习惯.
重点：理解用加减法消元的方法和步骤．
难点：能选择合适的方法解二元一次方程组．
（一）创设情境
回顾：在用代入消元法解方程组：
由方程①，得：. ③
把③代入②，得：.
解得：.
把代入③，得.
所以方程组的解为
想一想，除了代入消元法，还有没有其他消元方法呢？
设计意图：由代入消元法，联想其他的消元方法，拓展学生的思维，提高学生对于知识的应用能力，激发学生的探究意识.
（二）探究新知
任务一：加减消元法
探究：根据等式的基本性质，我们可以这样考虑：
把方程②的两边分别减去方程①的两边，得.
解得：x=15，
把x=15代入方程①，得15+y=45. 解得y=30.
所以方程组的解为
如果方程组变成上述消元的方法还能用吗？
把方程②的两边分别加上方程①的两边，得. 解得.
把代入方程①，得. 解得.
所以方程组的解为
设计意图：通过用加或减的方法消元，让学生理解并掌握加减消元法解二元一次方程组，熟悉用加减消元法解二元一次方程组的步骤，进一步体会消元的思想，.
总结：加减消元法
像这种把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法.
师生活动：观察上面解过的两个方程组，小组内讨论，说一说什么时候该用加法消元，什么时候该用减法？
总结：两个方程同一未知数的系数的绝对值如果相等，解方程组时考虑用加减消元法.某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法.
思考：观察下面的方程组，方程组中同一未知数的系数既不相等也不相反，能用加减消元法解吗？
总结：当一个方程组直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数或时，我们可以对其中一个(或两个)方程进行变形，使得这个方程组中或的系数相等或互为相反数，再来求解.
任务二：用适当的方法解二元一次方程组
探究：观察下面的方程组，说说用哪种消元方法比较合适？
设计意图：通过探究，进一步熟悉加减消元和代入消元两种方法，训练学生对于新知识的应用能力，加深学生对消元这种思想的认识.
总结：用适当的方法解二元一次方程组
在解二元一次方程组时，两种消元方法原则上是通用的，为了计算更简便，我们可以根据方程组中各个方程的特点选择合适的解法.
（三）应用举例
例1.解方程组：
分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数或，可以将方程①两边都乘2，把的系数变成相同系数，再将两个方程相减消掉.
解：将①×2，得8+2=28. ③
②－③，得.
把代入①，得. .
所以
例2.解方程组：
分析：比较方程组中的两个方程，的系数的绝对值较小，①×3，②×2，就可使的系数的绝对值相等，再用加减法即可消去.
解：①×3，得 ③
②×2，得. ④
③+④，得
把 代入①，得. .
所以
例3.解方程组：
分析：直接观察方程组，看不出哪种方法更简便，需要先把每个方程都化简，再确定用哪种方法消元.
解：将原方程组化简得
③+④×5，得. .
将代入④，得. .
所以
例4.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解为则原方程组的解( )
A. B. C. D.
分析：此题考查了二元一次方程组的解和加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值把甲的结果代入第二个方程求出的值，把乙的结果代入第一个方程求出的值即可；将与的值代入方程组，求出解即可．
答案：解析：将由题意得：
解得
把代入方程组得：
解得
答案：．
设计意图：通过4个例题，帮助学生进一步理解加减消元法的含义，熟悉加减消元法解二元一次方程组的步骤，并能根据方程组选择合适的消元方法，提高学生的应用能力.
（四）课堂练习
1.二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
解：D
2.利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )
A. 要消去，可以将
B. 要消去，可以将
C. 要消去，可以将
D. 要消去，可以将
解：D
3.解方程组：
解：设，，
则原方程组可化为
解得
所以，．
将它们组成新方程组，即解得
所以原方程组的解是
4.用适当的方法解下列方程组：
解：，得，．
将代入，得．
所以原方程组的解为
，得．
解得．
将代入，得．
得．
所以原方程组的解为
5.已知关于，的方程组和的解相同，求的值．
解：由得
将其代入得
解得
所以．
6.解关于，的方程组可以用，消去未知数；也可以用消去未知数，则 ， ．
解：
设计意图：设置了6个练习题目，题目难度逐渐升高，通过练习，巩固本节课所学的加减消元法解二元一次方程组，提高学生对本节课内容的理解程度和应用能力.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：让学生自行总结，活跃课堂气氛，做到全员参与，理清知识脉络，强化重点，培养学生口头表达能力.

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