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数学 八年级上册
14.2　三角形全等的判定（第4课时）
会作一个角等于已知角；会过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边和它们的夹角或已知两角和它们的夹边时，能作出三角形；了解尺规作图的原理，提升几何直观，发展空间观念．
作一个角等于已知角．
作一个角等于已知角的作法的探究过程．
新课导入
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们已经学习了用尺规作图的方法作一条线段等于已知线段．那么，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
【师生活动】学生交流讨论，回忆作一条线段等于已知线段的方法．
【设计意图】通过回忆旧知，引出课题．
新知探究
【问题1】如图，已知∠AOB，如何用直尺和圆规作一个角等于这个角呢？
【师生活动】教师引导学生思考：对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为这个三角形的一个角，那么，我们再作出一个与该三角形全等的三角形，是不是就能得到与∠AOB一样大小的角？
学生独立思考、小组交流，师生共同分析，梳理出作图的基本思路：如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点C，D，连接CD，得到△COD，则△COD的形状、大小是确定的，且∠AOB是△COD的一个内角．再作出三条边与△COD的三条边分别相等的△C′O′D，则△C′O′D′ ≌△COD，从而∠C′O′D′ ＝∠COD＝∠AOB．教师提示：为了作图方便，一般取OC＝OD．
根据上述分析，师生共同梳理出作一个角等于已知角的一般步骤，学生完成学习任务单上的相关任务，教师示范作图过程．
【作法】（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D′；
（4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′ ＝∠AOB．
【师生活动】教师指出：根据判定三角形全等的“边边边”方法，已知三边，这个三角形的形状、大小就确定了，因而能够作出符合条件的三角形．
【归纳】与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图．
【设计意图】让学生借助三角形全等的判定方法探究如何作一个角等于已知角，重点在“如何想到作法”上下功夫，体现尺规作图的思维方法．
例题精讲
【例1】如图，已知直线AB及直线AB外一点C．利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD．
【师生活动】教师引导学生回顾学过的判定两直线平行的方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
学生独立思考、小组交流，师生共同分析，梳理出作图的基本思路：前面学习了同位角 （或内错角）相等，两直线平行，可以利用这些结论先作出截线，再作出相等的同位角 （或内错角）．学生按上述思路尝试过点C作直线AB的平行线CD，完成学习任务单上的相关任务，教师请学生代表展示作图过程，并予以评价．
【作法】（1）过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；
（2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD ，使∠FCD＝∠CEB；
（3）反向延长CD，得到直线CD，则直线CD∥AB．
【追问】上面的方法利用“同位角相等，两直线平行”作出了过点C与直线AB平行的直线CD，想一想，我们是否还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图呢？
【师生活动】学生尝试独立完成学习任务单上的相关任务，教师巡视指导，并进行作图示范．
如图，直线CD即为所求作的直线．
【设计意图】让学生利用“作一个角等于已知角”探究如何过直线外一点作这条直线的平行线，通过类比探究，加深学生对作图方法的理解，发展学生的几何直观和空间观念．
【例2】如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α．
【师生活动】学生独立思考、小组交流，师生共同分析，梳理出作图的基本思路：可以先作∠A＝∠α，再由AB＝a，AC＝b确定顶点B，C，进而作出符合条件的三角形．学生按上述思路完成学习任务单上的相关任务，教师巡视指导．
【作法】（1）作∠DAE＝∠α；
（2）在射线AD上作AB＝a，在射线AE上作AC＝b；
（3）连接BC ，则△ABC就是所求作的三角形．
【追问】为什么按上述方法能够作出符合条件的三角形？
【师生活动】学生指出，根据判定三角形全等的“边角边”方法，已知两边和它们的夹角，这个三角形的形状、大小就确定了，因而能够作出符合条件的三角形．
【设计意图】让学生探究已知两边和夹角，如何运用尺规作图的方法作出相应的三角形，并用三角形全等的判定方法解释作图的原理，提升学生对几何知识的综合运用能力．
课堂练习
如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的相关任务，教师巡视指导，展示结果并分析作图思路．
【作法】（1）作AB＝a；
（2）作∠BAD＝∠α；
（3）作∠ABE＝∠β；
（4）延长AD和BE交于点C，则△ABC 就是所求作的三角形．
【设计意图】让学生探究已知两角和夹边，如何运用尺规作图的方法作出相应的三角形，发展学生的几何直观和空间观念，提升思维能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．我们是如何逐步深入地学习尺规作图方法的？
2．利用尺规作图时，我们需要注意哪些问题？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理尺规作图的内容、方法和依据，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课堂任务
完成教材第44页习题14.2第9、10题．
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