资源简介

数学 八年级上册
14.1　全等三角形及其性质
1．经历由实际例子抽象出全等形概念的过程，掌握全等形的概念．
2．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握全等三角形的性质，发展几何直观和空间观念．
掌握全等三角形的概念和性质，识别全等三角形中的对应边、对应角．
理解全等三角形边、角之间的对应关系，利用全等三角形的性质进行推理计算．
新课导入
【问题1】观察所给出的图形，说一说它们有什么共同特点．
【师生活动】学生仔细观察图片，小组讨论后完成学习任务单上的相关任务，之后请学生代表回答，教师点评．
【答案】每个大图形中，都包含了若干个形状、大小都相同的小图形．
【追问1】你能再举出一些生活中类似的例子吗？
【师生活动】学生举例，教师点评．
【追问2】翻动书本，把每页纸看作一个图形，这些图形有什么样的特点呢？
【师生活动】学生翻书，发现每页纸都能完全重合．
【教师小结】这些图形都有一个共同的特点，它们的形状、大小都是相同的，我们在这一章就要重点研究这类图形．
【设计意图】通过丰富的图片及生活实例激发学生的学习兴趣，让学生初步感受全等形的特点，为后面的探究活动打下基础．
新知探究
【问题2】把一把三角尺按在纸板上，画下其图形，照图形剪下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？你是用什么方法验证的？
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，独立操作，剪下和三角尺形状一样的纸板，通过把三角尺和剪得的纸板放在一起能够完全重合，验证纸板和三角尺的形状、大小完全一样．
【答案】形状相同，大小相等．
【新知】形状、大小相同的图形放在一起能够 完全重合 ．
能够完全重合的两个图形叫作 全等形 ．
能够完全重合的两个三角形叫作 全等三角形 ．
【师生活动】教师提示学生注意两点：
（1）研究对象已经“升级”为两个图形了，我们要关注的是它们之间的一种特殊的关系，能否完全重合．如果能，两个图形之间就是全等的关系，这两个图形，就叫作全等形．
（2）生活中存在丰富的全等形，因为三角形是最简单的封闭图形，我们在前面的学习中对三角形也有一定了解，所以本章以三角形为例，研究全等形的相关知识，研究的内容和方法可以推广到一般的全等形．
【设计意图】让学生经历寻找全等形的过程，并且通过操作、观察，得出形状、大小相同的图形的特征（能够完全重合），引出全等形的概念．
【问题3】（1）把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，这两个三角形全等吗？
（2）把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC，这两个三角形全等吗？
（3）把△ABC绕点A旋转，得到△ADE，这两个三角形全等吗？
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务．教师通过动画动态展示△ABC分别通过平移、翻折、旋转之后得到的图形，引导学生发现前后图形的形状、大小都没有改变，从而得出结论：每一组中的两个三角形全等．
【归纳】一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
【设计意图】初步帮助学生建立起平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等形的关系．
同时，这个结论是运用全等形的概念得出的，能起到巩固新概念的作用．
【追问1】在上面的问题（1）中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，我们知道△ABC与△DEF是全等三角形，也就是说两个三角形能够完全重合．把两个三角形重合到一起后，请你回答下面的问题．
（1）与顶点A重合的顶点是____，与顶点B重合的顶点是____，与顶点C重合的顶点是____．
（2）与边AB重合的边是____，与边BC重合的边是____，与边AC重合的边是____．
（3）与∠A重合的角是____，与∠B重合的角是____，与∠C重合的角是____．
【师生活动】根据图形，学生独立完成学习任务单上的相关任务，组内交流纠错．
【答案】顶点A与顶点D重合，顶点B与顶点E重合，顶点C与顶点F重合．边AB与边DE重合，边BC与边EF重合，边AC与边DF重合．∠A与∠D重合，∠B与∠E重合，∠C与∠F重合．
【新知】把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．
全等用符号“≌”表示，读作“ 全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，上面问题中的△ABC和△DEF全等，对应关系已确定，可以记作△ABC≌△DEF．
【设计意图】结合具体图形，使学生理解在全等三角形中“对应”的意思，为后续学习奠定基础．
【追问2】在上面的问题（1）中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
【师生活动】学生组内交流，完成学习任务单上的相关任务．教师通过动画演示，帮助学生直观理解对应边和对应角的关系．
【答案】对应边：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．
对应角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F．
【新知】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
【设计意图】引导学生发现并明确全等三角形的性质．
例题精讲
【例1】找出下列全等图形中相等的边和角．
（1）△ABC≌△ABD．
（2）△AOB≌△COD．
（3）△ABC≌△ADE．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的相关任务，学生代表分享解答过程，教师点评．
【答案】解：（1）∵ △ABC≌△ABD，
∴ AB＝AB，BC＝BD，AC＝AD；∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D．
（2）∵ △AOB≌△COD，
∴ AB＝CD，BO＝DO，AO＝CO；∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
（3）∵ △ABC≌△ADE，
∴ AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE；∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．
【设计意图】巩固学生对全等三角形的对应边、对应角的识别能力，以及对其性质的运用能力．
【归纳】全等三角形中，确定对应边、对应角的方法：
（1）有公共边的，公共边通常是对应边；
（2）有公共角的，公共角通常是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角通常是对应角；
（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或对应角）,一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）．
【例2】如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC ＝65°，∠ABC ＝26°，AC，BD的延长线相交于点E. 求∠CBD，∠E的度数．
【师生活动】教师引导学生明确解题的关键是求出∠ABD，然后利用两角的差、三角形的内角和定理就可以分别求出∠CBD，∠E的度数．学生独立完成学习任务单上的相关任务，教师巡视指导．
【答案】解：∵ △ABC≌△BAD ，
∴ ∠ABD＝∠BAC＝65°．
∴ ∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝65°－26°＝39°．
在△AEB中，∠E +∠BAE +∠ABE＝180°，
∴ ∠E＝180°－∠BAE－∠ABE＝180° － 65°－65°＝50°．
【设计意图】通过练习，进一步巩固对全等三角形中对应角的识别以及性质的运用．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．什么是全等形？平移、翻折、旋转前后的图形全等吗？
2．什么是全等三角形？全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是怎么确定的？
3．全等三角形的性质是什么？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第31页习题14.1第1、2、3、4、5题．
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