资源简介

数学 八年级上册
13.3.2三角形的外角
1．理解三角形的外角的概念．
2．掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，并利用这一性质解决相关问题，发展空间观念、几何直观和推理能力．
三角形的外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
三角形的外角的性质的证明．
新课导入
【回顾】如图，在证明三角形的内角和定理时，我们用过这样的方法．想一想：图形中除了出现△ABC的三个内角外，还出现了什么样的角？这样的角又有什么样的特点呢？
【设计意图】回顾旧知，为引入三角形外角的概念作铺垫．
　 新知探究
【问题1】如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．试着说出这个角有什么特征．
【师生活动】小组交流，小组代表汇报交流结果．
【答案】（1）角的顶点是三角形的顶点；
（2）角的一边是三角形的一边；
（3）角的另一边是三角形某一边的延长线．
【新知】像∠ACD这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
【设计意图】借助直观图形，类比三角形的内角，引入三角形的外角的概念．
【问题2】如图，你能画出△ABC的所有外角吗？观察这些外角，试着说出你的发现．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，尝试找出所有外角，学生代表分享交流，教师点评．
【答案】（1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角．
（2）向两个方向延长三角形的各边，可以画出这个三角形所有的外角：三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形有6个外角，其中三个与另外三个分别相等．
【设计意图】帮助学生深化对三角形外角的认识．
【问题3】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°．∠ACD是△ABC的一个外角，你能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，观察思考后，通过计算得出结论．
【答案】解：能．∠ACD＝∠A＋∠B．
由三角形内角和定理，得
∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－70°－60°＝50°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－50°＝130°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B．
【追问】任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
【师生活动】学生独立思考后完成学习任务单上的相关任务，小组讨论交流后发现并猜想任意一个三角形的一个外角都等于和它不相邻的两个内角之和．教师在全班巡视指导后进行讲评．
【答案】已知：∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证明：∵ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴ ∠ACB＝180°－∠A－∠B．
∵ ∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴ ∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B．
【新知】一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．）
【设计意图】让学生经历由特殊到一般的探究过程，建立空间观念和几何直观，培养学生的推理能力．
例题精讲
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
【师生活动】教师在学生独立思考的基础上，鼓励学生从不同角度切入，用不同的方法解决问题．学生在学习任务单上进行解答，教师组织讨论交流，分享不同解法．
【答案】解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE＝∠2＋∠3，
∠CBF＝∠1＋∠3，
∠ACD＝∠1＋∠2．
所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．
解法2：由∠1＋∠BAE＝180°，
∠2＋∠CBF＝180°，
∠3＋∠ACD＝180°，
得∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°．
又∠1＋∠2＋∠3＝180°，
得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．
【归纳】三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫作三角形的外角和．三角形的外角和等于360°．
【设计意图】鼓励学生从不同的角度思考问题，培养学生思维的灵活性，丰富学生的解题经验．
课堂练习
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它两个内角的和
C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D．三角形的外角和为180°
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织交流．
【答案】C
【解析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于与它不相邻的内角，故选项A，B错误；三角形的外角和为360°，而不是180°，故选项D错误．
2．说出下列各图形中∠1和∠2的度数．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织交流．
【答案】（1）∠1＝40°，∠2＝140°；
（2）∠1＝110°，∠2＝70°；
（3）∠1＝50°，∠2＝140°；
（4）∠1＝55°，∠2＝70°；
（5）∠1＝80°，∠2＝40°；
（6）∠1＝60°，∠2＝30°．
【归纳】应用三角形外角性质的注意事项：
（1）应用三角形外角的性质时，不能忽视“不相邻”这个条件；
（2）不要混淆“三角形内角和是180°”与“三角形的外角和是360°”这两个定理．
【设计意图】利用三角形外角的性质求解角度问题，加强学生对知识的巩固．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？
2．怎样证明 “三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”？
【思维导图参考】
【设计意图】引导学生从学习内容与学习过程两个方面进行回顾与小结．通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第16～17页习题13.3第2、5、6、8、11题．
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