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数学 八年级上册
13.3.1　三角形的内角（第2课时）
1．理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质解决直角三角形中角的计算问题．
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法．
3．在探究性质与判定的过程中，发展几何直观和推理能力．
掌握直角三角形的性质与判定．
应用直角三角形的性质与判定进行计算或推理．
新课导入
【导入】这是我们常用的一副直角三角尺，大家知道这两把三角尺中，两个锐角有什么关系吗？
【师生活动】学生根据以往的学习经验进行回答：两把三角尺中，两个锐角的度数之和都是90°，也就是说两个锐角互余．
【问题】对于任意直角三角形，两个锐角互余这个结论还成立吗？
【设计意图】结合学生熟悉的直角三角尺提出问题，为导入新课作铺垫．
新知探究
【问题1】试着证明你的结论．
【师生活动】学生尝试完成学习任务单上的相应任务，进行推理证明，教师讲评．
【答案】证明：由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋90°＝180°，
所以∠A＋∠B＝90°．
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
【新知】直角三角形的两个锐角互余．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
【注意】“Rt△”一般不单独使用，后面要紧跟直角三角形的三个顶点字母．如“直角三角形的边”一般不写成“Rt△的边”．
【设计意图】探索直角三角形中两个锐角的关系，总结出直角三角形的性质．
【问题2】我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说明理由．
【师生活动】学生尝试完成学习任务单上的相应任务，进行推理证明，教师点评．
【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形．
证明：由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°．
∵ ∠A＋∠B＝90°，
∴ ∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°．
∴ 有两个角互余的三角形是直角三角形．
【新知】有两个角互余的三角形是直角三角形．
【设计意图】引入直角三角形的判定方法，使学生经历“提出问题——猜想结论——推理验证”的过程．
例题精讲
【例1】如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师根据学生的做题情况予以指导．
【答案】解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE．
【设计意图】运用直角三角形的性质解题，强化学生对知识的掌握．
【例2】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答．教师请学生代表分享解题思路并点评，同时，教师注意向学生强调证明过程的严密性，如在没有证明三角形是直角三角形之前，不能给三角形标注直角符号等．
【答案】解：△ABD是直角三角形．
∵ CE⊥AD，
∴ ∠DEC＝90°．
∴ ∠C＋∠D＝90°．
∵ ∠A＝∠C，
∴ ∠A＋∠D＝90°．
由三角形内角和定理，得∠A＋∠ABD＋∠D＝180°．
∴ ∠ABD＝180°－(∠A＋∠D)＝90°．
∴ △ABD是直角三角形．
【设计意图】通过直角三角形的判定以及等量代换思想，锻炼学生通过推理的方法得出结论的能力．
【归纳】解决和直角三角形相关问题的注意事项：
（1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形；
（2）在运用直角三角形的判定或性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题．
课堂练习
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：∠ACD＝∠B．
∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴ ∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴ ∠ACD＝∠B．
2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师巡视指导，然后进行讲解．
【答案】解：△ADE是直角三角形．
∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，∴ ∠A＋∠1＝90°．
∴ ∠ADE＝90°．
∴ △ADE 是直角三角形．
【设计意图】通过课堂练习，检验学生对直角三角形的性质与判定的掌握情况，及时发现并纠正错误，强化知识应用．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．你能利用三角形的内角和定理证明直角三角形的两个锐角互余吗？你能利用这个性质进行直角三角形中相关角度的计算吗？
2．有两个角互余的三角形是直角三角形吗？你能给出证明吗？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第16～17页习题13.3第4、10题．
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