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数学 八年级上册
13.3.1　三角形的内角（第1课时）
1．经历探索并证明三角形内角和定理的过程，发展几何直观和推理能力．
2．能运用三角形的内角和定理解决简单问题．
三角形的内角和定理．
添加辅助线证明三角形的内角和定理，规范表述推理论证的过程．
新课导入
【回顾】我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，你还记得是怎么得出这个结论的吗？请大家回忆小学时的学习经验，借助手中的三角形纸片进行探究．
【师生活动】学生动手操作，教师巡视，然后让学生汇报探究结果．从学生的探究情况来看，有的学生用度量的方法得出结论，有的学生通过剪图、拼图或者折叠的方法得出结论．
【追问】你们认为，通过这样的方法获得的结论具有信服力吗？
【师生活动】小组交流，小组代表分享交流结果，教师进行总结：由于测量常常有误差，这样的验证方法不能完全令人信服；同时，由于形状不同的三角形有无数多个，我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和都等于180°．因此，需要通过推理的方法去证明“任意一个三角形的内角和一定等于180°”．
【设计意图】让学生通过实验操作，一方面发现实验操作的局限性（视觉误差、度量误差、实验次数有限与三角形个数无限的矛盾），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程中受到启发，为下一步证明三角形的内角和定理提供思路和方法．
新知探究
【问题】根据下面的剪拼过程，你能受到启发，发现证明的思路吗？
【师生活动】学生先独立思考，完成学习任务单上的相关任务，然后交流分享．在教师的引导下，不难发现：图中的拼合方法是将△ABC的∠B和∠C剪下来，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上．
【追问1】想一想，直线l与△ABC的边BC有什么位置关系？
【师生活动】学生凭直觉能够发现直线l与边BC平行，教师及时肯定学生的发现，并进一步引导学生利用平行线的性质与平角的定义来证明“三角形的内角和等于180°”这一结论．
【答案】由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．
【设计意图】让学生在操作过程中体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用．
【追问2】请你试着写出完整的证明过程．
【师生活动】学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程．教师指出，这个经过证明的结论被称为“三角形的内角和定理”．
【答案】已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC．
∵ l∥BC，
∴ ∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）．
同理 ∠3＝∠5．
∵ ∠1，∠4，∠5组成平角，
∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．
∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．
【新知】以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
【追问3】通过前面的证明过程，同学们受到了什么启发？根据下面的剪拼过程，你能想出证明三角形内角和定理的其他方法吗？
【师生活动】学生独立思考，完成学习任务单上的相关任务，然后交流分享，达成共识：图中的拼合方法是将△ABC的∠A和∠B剪下来，移到∠C的同一侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点C的直线l，移动后的∠A和∠B各有一条边在l上，同样利用平行线的性质与平角的定义可以证明“三角形的内角和等于180°”这一结论．
【答案】已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明：如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB．
∵ l∥AB，
∴ ∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）．
∵ ∠3，∠4，∠5组成平角，
∴ ∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．
∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．
【设计意图】引导学生从实验操作中寻找证明思路，体会添加辅助线的方法，通过逻辑推理证明“三角形内角的和等于180°”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，发展推理能力．
例题精讲
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
【师生活动】教师引导学生分析解题思路：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠DAB的度数即可．由于∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠DAB＝20°．学生在学习任务单上独立完成解题过程，教师讲评．
【答案】解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD＝∠BAC＝20°．
在△ABD中，
∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°．
【设计意图】运用三角形的内角和定理求相关角的度数，强化学生对定理的理解．
【例2】如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
【师生活动】教师引导学生寻找解题思路：将实际问题转化为数学中三角形的角的问题，即A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB和∠ABC，根据三角形的内角和定理，就能求出∠ACB．学生在学习任务单上独立完成解题过程，教师讲评．
【答案】解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．
由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°．
所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，
∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°．
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°．
【设计意图】让学生体会三角形的内角和定理的实际应用价值，提高学生的应用意识和数学表达能力．
【追问】你还能想出其他解法吗？
【答案】解：如图，过点C作CF∥AD，交AB于点F，则CF∥BE．
由CF∥AD，得∠ACF＝∠CAD＝50°，
由CF∥BE，得∠BCF＝∠CBE＝40°，
所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°．
因为∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，
所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°．
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°．
【归纳】求角度有技巧，一转二计算：
（1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置；
（2）计算：集中条件应用三角形的内角和定理计算角的度数．
【设计意图】通过一题多解，培养学生的思维发散能力；运用辅助线使问题简化，丰富学生的解题经验．
课堂练习
1．如图，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处的仰角∠CBD＝45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，全班交流．
【答案】解：在△ACD 中，
∠ACD＝180°－(∠CAD＋∠D)＝180°－(30°＋90°)＝60°．
在△BCD 中，
∠BCD＝180°－(∠CBD＋∠D)＝180°－(45°＋90°)＝45°．
所以∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°．
2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，求∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED的度数．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，全班交流．
【答案】解：在△ADE中，
∠ADE＋∠AED＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．
在△ABC 中，
∠B＋∠C＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．
所以∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED＝140°＋140°＝280°．
【设计意图】让学生体会三角形的内角和定理的实际应用价值，同时提升学生的计算能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，并请学生从以下方面进行梳理和总结：
1．为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？
2．三角形的内角和定理是怎样证明的？
3．我们从哪些方面研究了三角形的性质？你从中获得了哪些启示？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，体会证明的必要性以及辅助线在几何证明中的作用，同时帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第16～17页习题13.3第1、3、7、9题．
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