资源简介

数学 八年级上册
13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
　　1．理解三角形的中线、角平分线、高以及三角形的重心等概念．
　　2．会用工具准确画出三角形的中线、角平分线和高，在画图过程中，培养观察能力，发展空间观念与数学思维．
　　三角形的中线、角平分线和高的概念及画法．
　　钝角三角形高的画法．
新课导入
【回顾】三角形的相关概念：
如图，线段 AB，BC，CA 是三角形的边．
点 A，B，C 是三角形的顶点．
∠A，∠B，∠C 是相邻两边组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．
【思考】若点D为顶点A所对的边BC上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，线段AD与△ABC的边和角之间会形成哪些特殊的关系呢？
【设计意图】通过复习巩固旧知，为引入三角形的三种重要的线段做准备．
新知探究
【问题1】在△ABC中，当点D是BC边上的中点时，线段AD叫作△ABC的边BC上的中线．请你画出线段AD，并用自己的话叙述中线的定义．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，动手画图，结合具体图形尝试叙述中线的定义，并在教师的组织下交流分享，完善对定义的描述．
【新知】如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作
△ABC的边BC上的中线．
【追问1】用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，画图并相互交流．
【答案】如图，线段BE，CF即为所求．
【追问2】请你再画一个直角三角形和一个钝角三角形，你能分别画出它们的三条中线吗？试着说出你的发现．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，画图，经过观察、思考、交流后，猜想三角形的中线都在三角形的内部，且三条中线交于一点；部分学生还能进一步发现三角形的中线除了具有平分边的特点外，还平分了三角形的面积．
【答案】
【新知】一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
【设计意图】从实践操作中获得对三角形中线概念的直观感受；在结合具体图形叙述定义的过程中，培养学生的语言表达能力．
【问题2】在△ABC中，当线段AD平分∠A时，线段AD叫作△ABC的角平分线．请你画出线段AD，并用自己的话叙述角平分线的定义．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，动手画图，结合具体图形尝试叙述角平分线的定义，并在教师的组织下交流分享，完善对定义的描述．
【新知】如图，画△ABC中∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线．
【追问1】用同样的方法，你能画出△ABC的另两个角的平分线吗？
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，画图并相互交流．
【答案】如图，线段BE，CF即为所求．
【追问2】请你再画一个直角三角形和一个钝角三角形，你能分别画出它们的三条角平分线吗？试着说出你的发现．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，画图，经过观察、思考、交流后，猜想三角形的角平分线都在三角形的内部，且三条角平分线交于一点．
【答案】
　　
【新知】三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部．
【设计意图】从实践操作中引入三角形的角平分线的概念，让学生体验知识发生发展的过程．
【问题3】在△ABC中，当线段AD垂直于边BC时，线段AD叫作△ABC的高．请你画出线段AD，用自己的话叙述高的定义．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，动手画图，结合具体图形尝试叙述高的定义，并在教师的组织下交流分享，完善对定义的描述．
【新知】如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线．三角形的高线简称三角形的高．
【追问1】用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，画图并汇报结果．
【答案】如图，线段BE，CF即为所求．
【追问2】请你再画一个直角三角形和一个钝角三角形，你能分别画出它们的三条高吗？试着说出你的发现．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，动手画图．在画钝角三角形的高时，教师提醒学生作图时要紧密联系概念“从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线”，所以有两个垂足是落在边的延长线上的．交流分享时，学生会猜想锐角三角形和直角三角形的高交于一点．教师可引导学生把钝角三角形的高延长后再看一看．
【答案】
【归纳】三角形高的特点：
（1）锐角三角形的三条高都在三角形的内部，且交于三角形内一点．
（2）直角三角形的三条高交于直角顶点．
（3）钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，三条高所在的直线交于三角形外一点．
【设计意图】从实践操作中引入三角形的高的概念，通过探究各种形状的三角形的高的不同情况，感悟分类讨论的数学思想．
例题精讲
【例1】填空题．
（1）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则BD＝ CD ， AE＝ AC ，
AB＝2 AF 或 BF .
（2）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ∠2 ，∠3＝ ∠ABC ，
∠ACB＝2 ∠4 或 ∠ACF .
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【设计意图】将三角形的三条重要线段在一个几何模型里综合考查，加深学生对三角形的三条重要线段的理解．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD＝6.5，求BE的长．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，已知AC＝8，BC＝6，AD＝6.5，根据三角形面积公式，得
，
即，
得
【归纳】根据三角形面积公式求高：解决与三角形的高和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高．
【设计意图】通过例题，让学生掌握运用三角形面积公式求高的方法．
【例3】如图，AD为BC边上的中线，AB＝5 cm，AC＝3 cm，求△ABD和△ACD的周长差．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【分析】根据AD为BC边上的中线，可得BD＝CD．又因为在△ABD和△ACD中，AD是公共边，所以△ABD和△ACD的周长差就是AB和AC的差．
【答案】解：因为AD为BC边上的中线，所以BD＝CD，所以△ABD和△ACD的周长差为（AB＋BD＋AD）－（AC＋CD＋AD）＝AB－AC＝5－3＝2（cm）．
即△ABD和△ACD的周长差为2 cm．
【归纳】三角形的中线常见的两个应用：
（1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题；
（2）根据中线分三角形得面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题．
【设计意图】通过例题，让学生掌握运用三角形中线的相关知识解决与周长有关的问题．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？什么是三角形的高？它们各有何特点？
2．你能画出任意三角形的中线、角平分线和高吗？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第9～10页习题13.2第3、4、7、8题．
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