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第三章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第1课时
1. 掌握用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2. 能适当归纳生活中的积分问题和行程问题，寻找解决相关问题的一般方法；
3. 通过用二元一次方程组解决实际问题，体会方程组这一数学模型的作用．
重点：理解和掌握解决积分问题和行程问题的方法
难点：能利理解方程思想与模型.
（一）创设情境
回顾： 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分.该队胜几场，平几场？
思考：这道题目能不能用学过的一元一次方程来解决？
预设答案：解法一：设该市第二中学足球队胜场，
依题意，得，
解方程，得，
(场），
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
师生活动：教师提出问题，引导学生自主思考并小组交流，教师补充并追问：如果胜的场数与平的场数分别用不同的未知数x，y来表示，是否可以？
设计意图：以交流的方式讨论本节要学习的知识，让学生浸入学习的状态.
（二）探究新知
任务1：探究列方程组解决积分问题
探究：某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分.该队胜几场，平几场？
分析：将胜的场数与平的场数分别用不同的未知数x，y来表示，即可设该市第二中学足球队胜场，平场.
预设答案：设该市第二中学足球队胜场，平场，
依题意，得
解方程组，得
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤以及解决积分问题的注意点，教师补充总结.
总结：列方程组解决实际问题的步骤：
①审题：弄清题意和题目中的数量关系.
②设元：用字母表示题目中的未知数.
③列方程组：根据两个等量关系列出方程组.
④解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值.
⑤检验解答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
列方程组解决积分问题
任务2：探究列方程组解决行程问题
探究：甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇.两人的速度各是多少？
分析：
预设答案：解: 设甲、乙的速度分别是x km/h，y km/h.根据题意得
解方程组，得
答：甲的速度是5 km/h，乙的速度是3 km/h.
师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，分析行程问题中的相遇和追击两种情况，各自的等量关系式是什么，教师补充总结.
总结：
设计意图：通过解决问题的方式总结积分问题和行程问题的解决策略，提高学生学习的积极性.
（三）应用举例
例1：计算足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队在某次比赛中共踢了14场球，其中负5场，共得19分.问这个队共胜了多少场？
分析：等量关系①：胜场数+平场数+负场数=总场数;
等量关系②：胜积分+平积分+负积分=总积分.
设这个队共胜场，平场，
依题意，得
解：设这个队共胜场，平场，
依题意，得
解方程组，得
答：这个队共胜了5场.
例2：甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步.如果同时同地出发，相向而行，每隔2 min相遇一次；如果同向而行，每隔6 min相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙每分钟各跑多少圈？
分析：由“相向而行，每隔2 min相遇一次”可得这是相遇问题：2（甲速度+乙速度）=1圈；
由“同向而行，每隔6 min相遇一次”可得这是追及问题：甲速度×6-乙速度×6=1圈.
解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，
依题意，得
解方程组，得
答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈.
例3：一艘江轮航行在相距72 km的两个港口之间，顺溜需4 h，逆流需4 h 48 min，求江轮在静水中的速度.
分析：等量关系①：顺流航行的速度=静水中速度+水流速度;
等量关系②：逆流航行的速度=静水中速度-水流速度.
设净水中的速度为，水流速度为 ，
则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，
依题意，得
解：设江轮在净水中的速度为，水流速度为 ，
4 h48 min=4.8 h
依题意，得
解方程组，得
答：江轮在静水中的速度为.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.明德集团某校七年级六月初举办了一场“我是数学王”的挑战赛，每场赛制均有道题，比赛规则为：做对一题得分，做错题倒扣分，总分最高者为当场擂主．某学生在第一场赛事中得分分，他做对了______道题．
解：设该生做对道题，做错道题，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
2.某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次则甲的速度是___________．
解：设甲的速度是，乙的速度是，由题意得：
解得．
则甲的速度是，乙的速度是．
故答案为．
3.一条船顺流航行，每小时行，逆流航行，每小时行，则船在静水中的速度为__________．
解：设船在静水的速度为，水流的速度为，
依题意，得：，
解得：．
故答案为．
4.为迎接南陵县足球联赛，某学校组织八年级个班进行足球比赛，规定每两个班之间均要比赛两场．
该校八年级每一个班要比赛几场？若有个班比赛，则每一个班要比赛几场？
规则为胜一场得分，平一场得分，负一场得分，到目前为止，若八班已经踢完所有比赛，其中平的场数是负的场数的倍，且共得分，则八班胜了几场？
解：因为每两个班之间均要比赛两场，该校八年级共有个班进行足球比赛，
所以该校八年级每一个班要比赛场
若有个班比赛，则每一个班要比赛场．
设八班负了场，胜了场，则平了场，
根据题意，得解得
答：八班胜了场．
5. ，两镇相距，甲从镇、乙从镇骑车同时出发，相向而行，设甲、乙行驶的速度分别为，．出发后相遇甲行驶的速度比乙行驶的速度快，试根据题意，由条件列出方程组，并求解．
解：．
由题意得
解得
答：甲的速度为，乙的速度为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？第三章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第2课时
1. 掌握用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2. 能适当归纳生活中的百分率问题和分配与配套问题，寻找解决相关问题的一般方法；
3. 通过用二元一次方程组解决实际问题，体会方程组这一数学模型的作用．
重点：理解和掌握解决百分率问题和分配与配套问题的方法
难点：能利理解方程思想与模型.
（一）创设情境
回顾：玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成的，要求原料中含二氧化硅70%.已知石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.在3.2 t原料中，石英砂和长石粉各有多少？
思考：问题中涉及哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？
分析：设原料中石英砂有x t，长石粉有y t，补全下表.
预设答案：解：设原料中石英砂有x t，长石粉有y t，根据题意，得
解方程组，得
答：在3.2 t原料中，石英砂有0.3 t，长石粉有2.9 t.
师生活动：教师提出问题，引导学生自主思考并小组交流，教师补充并追问：本题如果只引入一个未知数能解决吗？试试看.
预设答案：解：设原料中石英砂有x t，则长石粉有t，
根据题意，得，
解方程组，得
.
答：在3.2 t原料中，石英砂有0.3 t，长石粉有2.9 t.
设计意图：以交流的方式讨论本节要学习的知识，让学生浸入学习的状态.
（二）探究新知
任务1：探究列方程组解决百分率问题
探究：某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多630hm .计划明年春播作物的面积增加20%，秋播作物的面积减少10%，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加12%.这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？
分析：审题：信息一：春播作物面积秋播作物面积
信息二：春播作物面积增加20% 秋播作物面
积减少10%总面积增加12%
设元：用字母表示未知量
设这个乡今年春播作物的面积为x hm ，秋播作物的面积为y hm .
列方程：根据等量关系，列出方程
解方程：求出未知数的值
写答：检查是否符合实际情况，并写答
预设答案：设这个乡今年春播作物的面积为x hm ，秋播作物的面积为y hm .
根据题意，得
解方程组，得
答：这个乡今年春播作物的面积是990hm ，秋播作物的面积是360hm .
师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，总结用二元一次方程组解决百分率问题的方法，教师补充总结.
总结：
任务2：探究列方程组解决分配、配套问题
探究：某村18位农民筹集50万元资金，承包了一些低产农田.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，该种蔬菜和荞麦.种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表.
在现在的条件下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工作，且资金正好够用
分析：
预设答案：解:设蔬菜的种植面积为 hm ，荞麦的种植面积为 hm .
根据题意，得
解方程组，得
则
此时
答：这18位农民应承包4hm 的田地，种植蔬菜和荞麦各2hm ，并安排10人种蔬菜，8人种荞麦，这样能使所有人都有工作，且资金正好够用.
师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，分析行程问题中的相遇和追击两种情况，各自的等量关系式是什么，教师补充总结.
探究：用白铁皮制罐头盒，每张白铁皮可制盒身个或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒．现在有张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
分析：由“一个罐头盒=一个盒身+两个盒底”可得“盒身的数量×2=盒底的数量”.
预设答案：解: 设用张制盒身，用张制盒底可以使盒身与盒底正好配套.
根据题意，得
解方程组，得
答：用16张制盒身，用20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套.
总结：
设计意图：通过解决问题的方式总结分配问题和配套问题的解决策略，提高学生学习的积极性.
（三）应用举例
例1：石岭村原有林地、旱地共162 hm .村里把一部分旱地改造为林地，使旱地面积为林地面积的20%.求改造后的旱地面积和林地面积.
分析：等量关系①：改造前林地面积+旱地面积=改造后林地面积+旱地面积=162;
等量关系②：改造后旱地面积=林地面积×（1+20%）.
设改造后的旱地面积为hm ，林地面积为hm ，
由题意，得
解：设改造后的旱地面积为hm ，林地面积为hm ，
根据题意，得
解方程组，得
答：改造后的旱地面积为hm ，林地面积为hm .
例2：某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品.已知每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.08单位铁质，每克乙原料含0.5单位蛋白质和0.04单位铁质，如果患者每餐需要34单位蛋白质和4单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？
分析：
解：设每餐甲原料克，乙原料克，
根据题意，得
解方程组，得
答：每餐甲原料40克，乙原料20克恰好满足患者的需要.
例3：向某地运送物资.第一批480t，用8节火车车厢和20辆卡车正好装完.第二批540吨，用10节火车车厢和5辆卡车正好装完.求每节火车车厢和每辆卡车分别能装多少吨.
分析：等量关系①：8节火车车厢装的+20辆卡车装的=480;
等量关系②：10节火车车厢装的+5辆卡车装的=540.
设每节火车车厢能装t，每辆卡车能 t，
根据题意，得
解：设每节火车车厢能装t，每辆卡车能 t，
根据题意，得
解方程组，得
答：每节火车车厢能装t，每辆卡车能 t.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.有含氮的碳酸氢铵和含氮的尿素两种化肥，要求混合为千克含氮的肥料使用，两种肥料分别取多少千克？设取碳酸氢铵千克，尿素千克，则可列方程组为 ．
解：
2.月份，甲、乙两个工厂用水量共为吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施．月份，甲工厂用水量比月份减少了，乙工厂用水量比月份减少了，两个工厂月份用水量共为吨，求两个工厂月份的用水量各是多少．设甲工厂月份的用水量为吨，乙工厂月份的用水量为吨．根据题意，列出关于，的方程组为 ．
解：
3. 九章算术中有一道题的条件是“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛”大致意思是有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，大桶加小桶共盛 斛米注：斛是古代一种容量单位
解：设大桶盛米斛，小桶盛米斛，利用个大桶加上个小桶共盛米斛，个大桶加上个小桶共盛米斛，可列出方程组
故，
则．
4.程大位是珠算发明家，他的名著直指算法统宗详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁。意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？
解：设大和尚有人，小和尚有人，
依题意，得：
解得：
答：大和尚有人，小和尚有人
5. 一张学生课桌由一个桌面和四条桌腿组成，若立方米的木料可制作桌面个或桌腿条，现在有立方米的木料，请你设计方案使制作的桌面与桌腿恰好配套．
解：设用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，可以使制作的桌面与桌腿恰好配套．
根据题意，得 解得
答：用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，可以使制作的桌面与桌腿恰好配套．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第三章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第3课时
1. 掌握用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2. 能适当归纳生活中的工程问题和分配与计费问题，寻找解决相关问题的一般方法；
3. 通过用二元一次方程组解决实际问题，体会方程组这一数学模型的作用．
重点：理解和掌握解决工程问题和计费问题的方法
难点：能利理解方程思想与模型.
（一）创设情境
情景：甲、乙两人同时加工一批零件，前3h两人共加工126件.后5h甲先花了1h修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件.甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
思考：问题中涉及哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？
（二）探究新知
任务1：探究列方程组解决工程问题
分析：设甲原来每小时加工x 件，乙元每小时加工y 件，补全下表.
预设答案：设甲原来每小时加工x件，乙原来每小时加工y件，根据题意，得
解方程组，得
答：甲原来每小时加工0件，乙原来每小时加工件.
师生活动：教师提出问题，引导学生自主思考并小组交流，教师补充总结：工作效率×工作时间=工作量.
任务2：探究列方程组解决计费问题
探究：购买1个A产品和2个B产品需400元，购买2个A产品和5个B产品需900元，求两种产品的单价.
分析：
预设答案：解：设A产品的单价为x元， B产品的单价为y元.
据题意，得
解方程组，得
答：A产品的单价为200元， B产品的单价为100元.
师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，分析计费问题中的关系式是什么，教师补充总结.
变式：为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某省的电价标准每月例如：方女士家月份用电千瓦时，电费二档电价三档电价元李先生家月份用电千瓦时，交费元，请问表中二档电价、三档电价各是多少
阶梯 电量 电价
一档 千瓦时 元千瓦时
二档 千瓦时 二档电价
三档 千瓦时及以上 三档电价
分析：等量关系①：180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352
等量关系②：180×0.6+220×二档电价+60×三档电价=316
预设答案：解：设二档电价是元千瓦时，三档电价是元千瓦时．
根据题意，得
解得
答：二档电价是元千瓦时，三档电价是元千瓦时．
总结：
设计意图：通过解决问题的方式总结工程问题和计费问题的解决策略，提高学生学习的积极性.
（三）应用举例
例1：某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天
分析：等量关系①：改进加工方法前的时间+改进加工方法之后的时间=6;
等量关系②：改进加工方法前的工作量+改进加工方法后的工作量=22.
设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，
根据题意，得
解：设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，
依题意，得，解得
答：该合作社改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天．
例2：某天，一蔬菜经营户用元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品名 萝卜 白菜
批发价元
零售价元
问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱
分析：等量关系①：萝卜质量+白菜质量=40;
等量关系②：萝卜批发总价+白菜批发总价=60.
解：设批发了萝卜和白菜各，，根据题意得
解得
元．
答：当天卖完这些萝卜和白菜共赚元．
例3：为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：说明：每户产生的污水量等于该户的自来水用水量水价计费自来水销售费用污水处理费用
每户每月用水量
单价：元吨 自来水销售价格 污水处理价格
单价：元吨
吨及以下
超过吨不超过吨部分
超过吨的部分
已知小王家月份用水吨交水费元月份用水吨交水费元．
求，的值．
月份小王家用水吨，应交水费多少元．
分析： 等量关系①：;
等量关系②：.
水费=17吨及以下的水费+17到30吨的水费+30到32吨的水费+32吨水的污水处理费
解：由题意可得
解得；
即，；
根据题意得
元．
答：当小王家月份交水费元.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1. 为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度千米的有轨电车该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建千米，乙工程队每天修建千米，两工程队共需修建天求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？
解：设甲工程队修建千米，乙工程队修建千米，由题意得：
整理得：
得：,
把代入得：
解得
答：甲工程队修建千米，乙工程队修建千米.
2. 甲、乙两个施工队在某城际高铁施工时，每天甲队比乙队多铺设米钢轨，甲队天铺设的长度刚好等于乙队天铺设的长度若设甲队每天铺设米，乙队每天铺设米．
依题意列出二元一次方程组
求出甲、乙两施工队每天各铺设多少米．
解：甲队每天铺设米钢轨，乙队每天铺设米钢轨，每天甲队比乙队多铺设米钢轨，甲队天铺设的长度刚好等于乙队天铺设的长度，
解方程组得
答：甲队每天铺设米钢轨，乙队每天铺设米钢轨．
3. 为加强美育教育，学校计划开设书法特色课程，需购买钢笔、毛笔共支，据调查，某商城每支钢笔的价格为元，每支毛笔的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买钢笔、毛笔各多少支？
解：设购买钢笔支，毛笔支，
依题意得：
解得：
答：购买钢笔支，毛笔支．
4. 喜迎元旦，某玩具店购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共个，花去元，这两种吉祥物的进价、售价如下表：
进价元个 售价元个
冰墩墩
雪容融
求冰墩墩、雪容融各购进了多少个；
如果将销售完这个吉祥物所得的利润全部捐赠，那么该玩具店捐赠了多少钱？
解：设冰墩墩购进了个，雪容融购进了个．
根据题意，得 解得
答：冰墩墩购进了个，雪容融购进了个．
元
答：该玩具店捐赠了元．
5. 滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 元 元 元
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程以内含不收远途费，超过的，超出部分每千米收元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为与，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟
实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候，已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多，计算两人各自的实际乘车时间．
解：设小王乘坐滴滴快车的实际行车时间为，小张乘坐滴滴快车的实际行车时间为．
由题意得，
化简得．
答：这两辆滴滴快车的实际行车时间相差．
由及题意得
解得
答：小王的实际乘车时间为，小张的实际乘车时间为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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