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第三章 一次方程与方程组
3.6 三元一次方程组及其解法
1.掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法.
2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路，感受消元转化的数学思想.
3.能利用三元一次方程组解决实际问题，培养学生勇于探索，解决问题的能力.
重点：使学生会解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”的基本思想.
难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法.
（一）创设情境
知识回顾：引导学生通过以下三个问题回忆二元一次方程组的概念及解法
1.什么是二元一次方程组？
2.解二元一次方程组的方法有哪些？
3.解二元一次方程组的基本思路是什么？
预设：学生先独立思考，自行举手回答相关问题。
情境：猜猜三个小动物的年龄分别是多少.
①三个小动物年龄之和为26岁
②流氓兔比加菲猫大1岁
③流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大17岁
思考：题目中有几个未知量，几个等量关系？你能列出怎样的方程？
师生活动：教师给出一个情境，引导学生运用以前学习过的知识找等量关系列方程。
预设：前面已经学习过一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，在此知识基础上，学生能独立找出其中的未知数和等量关系，并列出方程。
这是一个三元一次方程组，就势引出本节课的课题。
设计意图：通过与三元一次方程组有关的情境，既能带领学生回忆利用方程解决实际问题的知识，又能引出今天所学习的内容，让学生体会到不同学段知识之间的关联，体会到知识与生活之间的关联，激发学生的学习热情，感受生活中数学的魅力。
（二）探究新知
任务一：探究三元一次方程组的概念
探究 ：观察情境中的方程组以及每一个方程，思考以下问题：
(1)方程②是什么方程，方程①和方程③与方程②有何区别？
(2)类比二元一次方程组的特征，描述上面方程组的特征.
(3)类比二元一次方程组的概念，请你给上面的方程组取个名字并下定义.
师生活动：教师引导学生观察情境中的方程组，并与已经学习过的二元一次方程组做对比，引导学生归纳出三元一次方程组的特点和定义，学生先独立思考，再进行小组讨论，合作完成探究中的问题。
预设答案：
(1)方程②是二元一次方程
联系：方程①，方程②，方程③都是一次整式方程
区别：方程②含两个未知数，方程①和方程③含三个未知数
(2)含有三个未知数；方程组中的每个方程都是一次整式方程
总结：由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
满足三元一次方程组的条件：
方程组中一共含有三个未知数；
每个方程中含未知数的项的次数都是1；
方程组中共有三个整式方程．
练习：下列方程组不是三元一次方程组的是( )
答案：D
总结：组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
设计意图：通过一系列的观察、对比、交流、探究活动，让学生类比二元一次方程组的特征与概念，得出三元一次方程组的概念，提高了学生类比思维和类比能力。
任务二：探究三元一次方程组的解法
探究 ：了解了三元一次方程组的概念，现在以情景中的方程为例，思考下方问题尝试探究三元一次方程组的解法。
(1)你会选择哪一个未知数进行消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组？用什么方法消掉这个未知数？
(2)解三元一次方程组
师生活动：教师引导学生观察情境中的方程组，先回想解二元一次方程组的基本思路，类比得出三元一次方程组的基本思路也是消元。理清学生思考的过程，让学生先选择消去哪一个未知数，如何消去这个未知数，最后再解方程。学生先独立思考，再进行小组讨论，合作完成探究中的问题。
预设答案：
解法一：消x
解：先用代入消元消去x
由②，得 x=y+1
将x=y+1代入①和③，得
2y+z=25 ④
3y z=15 ⑤
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组
④+⑤ ，得5y=40
y=8
将y=8代入④，得
z=9
将y=8代入②，得
x=9
所以
解法二：消y
解：先用加减消元消去y
①+②，得
2x+z=27 ④
②+③，得
3x z=18 ⑤
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组
④+⑤ ，得5x=45
x=9
将x=9代入④，得
z=9
将x=9代入②，得
y=8
所以
解法三：消z
解：先用加减消元消去z
①+③，得
3x+2y=43 ④
下面解由②④联立成的二元一次方程组
②×2+④ ，得5x=45
x=9
将x=9代入④，得
z=9
将x=9代入②，得
y=8
所以
总结：解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，把 三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。
设计意图：这道题选择任何一个未知数计算量都不大，能够对学生进行发散思维训练，同时也让学生了解到了三元一次方程组的核心思想就是消元。
任务三：探究三元一次方程组的应用
探究 ：有1元、5元、10元的人民币共50张，合计260元，其中1元的张数与5元的张数相同，则三种人民币各有多少张？
请同学找找出等量关系，列方程组解应用题
师生活动：教师引导学生仔细审题，找出其中的等量关系，列方程组解应用题。学生先独立思考，完成作答，教师再进行讲解。
预设答案：
解：设1元的人民币有x张，5元的人民币有y张．10元的人民币有z张．
根据题意，得
解得
答：1元的人民币有15张，5元的人民币有15张，10元的人民币有20张
设计意图：通过一道例题帮助学视理清运用三元一次方程组解应用题的方法，同时巩固了今天学习的三元一次方程组的解法。
（三）应用举例
例1：解方程组.
解：先用加减消元消去x
①×2+②，得
y+5z=3 ④
① ③，得
y 6z= 8 ⑤
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组
④ ⑤ ，得11z=11
z=1
将z=1代入④，得
y= 2
将y= 2,z=1代入①，得
x=3
所以
例2：某营养餐应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐,其中包含A,B,C三种食物.下表给出的是每份(50g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.
(1)该配餐中中A、B、C三种食物各位x、y、z份，请根据题意列出方程组.
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)设该配餐中中A、B、C三种食物各位x、y、z份，
由题意得
(2)由①，得 x=7 y 2z ④
将④代入②③，得
解得
将代入④，得 x=2
所以
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
例3：甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7，求这三个数．
解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z
由题意得
①+②+③，两边同时除以2得
x+y+z=8 ④
④ ①得，z=5
④ ②得，x=2
④ ③得，y=1
所以
答：甲、乙、丙三个数分别为2，1，5.
设计意图：通过三个例题，进一步巩固三元一次方程的解法以及应用，让学生进一步体会方程组的消元思想，例题难度逐步加深，提高学生的解题能力，同时也让学生感受到数学从生活中来，又运用到生活中去。
（四）课堂练习
1.下列方程是三元一次方程的是 填序号
．
解：
2.下列方程组中是三元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
解：中未知数的最高次数是，故不符合三元一次方程组的概念；
符合三元一次方程组的概念；
分母中含有未知数，故不符合三元一次方程组的概念；
只含有两个未知数，故不符合三元一次方程组的概念．
3.解方程组若要使运算简便，消元的方法应选( )
A. 消去 B. 消去 C. 消去 D. 以上说法都不对
解：B ，因为的系数的绝对值都是，所以消去较简便．
4.已知三元一次方程组经过步骤和消去未知数后，得到的二元一次方程组是( )
A. B.
C. D.
解：A
5.用两种消元法解方程组：
解：解法一：用代入法解方程组．
把变形为，
将代入，得，整理，得
．
将代入，得，整理，得
．
由组成方程组，得
解得
将代入，得．
所以原方程组的解为
解法二：用加减法解方程组．
，得．
，得．
由，得
解得
将代入，得．
所以原方程组的解为
6.某农场名职工耕种公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 人 万元
棉花 人 万元
蔬菜 人 万元
已知该农场计划投入设备资金万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用
解： 设种植水稻公顷，棉花公顷，蔬菜公顷，
由题意得解得
答：种植水稻公顷，棉花公顷，蔬菜公顷．
设计意图：通过练习，能巩固三元一次方程组的解法以及应用，让学生熟练消元的思想方法，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
（五）总结归纳
1.什么是三元一次方程组？
2.解三元一次方程组的基本思路是什么？
3.本节课你经历了怎样的学习过程,收获了哪些知识与方法？

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