资源简介

第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
▍教学目标
理解集合的概念；理解元素与集合的关系；熟记常用数集专用符号．
深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．
会用集合的表示方法表示一些简单集合．感受集合语言的意义和作用．
数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法． 逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用． 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类． 直观想象：集合的图形表示． 数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算．
▍情境设置
【问题1】 学校通知：8月15日8点，高一年级学生到操场集合．试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
[教师引导] 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．
▍概念的探究与建构
【问题2】 我们高一（1）班一共50人，其中班长李明，现有以下问题： 我班的50人能否组成一个整体？ 李明和50人所组成的班集体是什么关系？ 假设张三是相邻班的学生，问他与我班是什么关系？
[学生活动] 学生回答： 50个人能成为一个集体． 李明属于这个班集体． 张三不属于这个班集体．
形成知识 元素与集合： 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合； 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写的拉丁字母来表示． 元素与集合间的关系： 若是集合的元素，就记作，读作“属于”； 若不是集合的元素，就记作，读作“不属于”．
【问题3】 高一（1）班的全体同学能否组成一个集合，为什么？ 在问题1的集合中，有没有两位完全相同的学生？ 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？
[提示] 能．因为集合中的元素是明确的（确定性）． 没有（互异性）． 相等．
形成知识 集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同（即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素），那么称这两个集合相等． 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． 常见数集： 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或
【问题4】 非负整数集与正整数集有何区别？ 若，则一定有吗？反过来呢？
[提示] 非负整数集包括0，而正整数集不包括0． 若，则一定有；反过来，若，但不一定有．
形成知识 集合的表示法： 列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“”内，元素之间用逗号分隔，这样表示集合的方法称为列举法； 描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式，这样表示集合的方法称为描述法； Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法．
[教师引导] 使用列举法表示集合应注意以下问题： ①元素之间用“，”隔开； ②元素不能重复； ③元素没有顺序． 使用描述法表示集合应注意以下问题： ①写清楚该集合中元素的代号（用字母表示的元素符号）； ②说明该集合中元素的性质．
形成知识 集合的分类（按照集合中元素的多少，集合可以分为有限集和无限集）： 含有有限个元素的集合叫作有限集； 含有无限个元素的集合叫作无限集； 不含任何元素的集合叫作空集，记作． 概念辨析： 和不是同一个集合，中含有一个元素0，而中没有任何元素． 和不是同一个集合，中含有一个元素，而中没有任何元素．
【思考1】 你还可以用集合语言来表示空集吗？
[学生活动] 等．
【思考2】 集合与集合是同一个集合吗？
[学生活动] 不是．集合是点集，集合是数集．
【思考3】 ，相等吗？
[学生活动] 相等，两个集合都表示所有的奇数构成的集合．
【思考4】 何时用列举法？何时用描述法？
[学生活动] 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法． 如：集合． 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法． 如：集合．
▍知识的运用与升华
【例题1】 观察下列各组对象能否组成一个集合？ 无限接近零的数； 方程的所有解； 平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．
[提示] 利用集合的含义及集合中元素的特性来判断．
[解析] 不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合； 能．因为方程的解为，确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素和； 能．因为第一象限内的点是确定的点．
方法归纳 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即确定性．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
【例题2】 下列关系中正确的个数为（　　） ①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
[提示] 先明确符号、、及的含义，再判断数，，，与相应数集的关系．
[答案] A
[解析] ①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵不是正整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确．
方法归纳 明确数集（如、、、）的含义再求解． 判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
【例题3】 用适当的方法表示下列集合： 方程的解集； 在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合； 不等式的解的集合； 大于且不大于6的自然数的全体构成的集合．
[解析] ∵方程的解为和，∴的解集为； ； ； ．
方法归纳 一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 方程（或方程组）的解的个数较少，因此方程（或方程组）的解集一般用列举法表示；不等式（或不等式组）的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“……的解集”或写出“……的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．
【例题4】 已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，． 若，求的值； 若，求实数的值；
[解析] 由且， 可知或， 当时，；当时，． 经检验，与都符合要求． ∴或． 当，都有， 但考虑到集合元素的互异性，，，故．
方法归纳 在解方程求得字母的值后，若忘记验证集合中元素的互异性，会造成过程性失分． 解答此类问题一般先根据集合中元素的确定性解出字母所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．
▍课堂总结
【问题5】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[教师引导] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合； 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值（范围）时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求； 解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 思想与方法层面：数学抽象、逻辑推理、数形结合……

展开更多......

收起↑