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1.5 二次函数的应用
第1课时 二次函数的应用(1)
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.
2.经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.
3.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.
4.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.
【教学重点】
用抛物线的知识解决拱桥类问题.
【教学难点】
将实际问题转化为抛物线的知识来解决.
一、情境导入，初步认识
预习P29页的内容，完成下面各题.
1.要求出教材P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”，你准备采取什么办法？
2.根据教材P29图1-18，你猜测是什么样的函数呢？
3.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！
4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！
二、思考探究，获取新知
探究 直观图象的建模应用
例1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，
大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各
有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m,如
图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，
精确到0.1m)约为（ ）
A.6.9m B.7.0m C.7.1m D.6.8m
【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.
先建立平面直角坐标系,如图,设大门地面宽度
为AB,两壁灯之间的水平距离为CD,则B,D坐标
分别为(4,0),(3,3),设抛物线解析式为y=ax2+h.
把（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈6.9.故选A.
答案:A
【教学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.
例2 小红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,
当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m,水面
下降1m时，水面宽度增加多少？
【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.
解:由题意建立如图的直角坐标系,设抛物线的解析式y=ax2,
∵抛物线经过点A（2，-2），∴-2=4a,
∴a=-,即抛物线的解析式为y=-x2,
当水面下降1m时，点B的纵坐标为-3.
将y=-3代入二次函数解析式，得y=-x2,
得-3=-x2→x2=6→x=±,∴此时水面宽度为2|x|=2m.
即水面下降1m时，水面宽度增加了(2-4)m.
【教学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.
三、运用新知，深化理解
1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,溶洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（ ）
A.y= x2
B.y=x2+
C.y=-x2
D.y=-x2+
2.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
第2题图 第3题图
3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒.
4.(浙江金华中考）如图，足球场上守门员在O处
踢出一高球，球从离地面1米处飞出（A在y轴上），运
动员乙在距O点6米的B处发现球在自己的正上方达到最
高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;
(2)足球第一次落地点C距守门员是多少米 (取4≈7,2≈5)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？
【教学说明】学生自觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第4题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为y=a(x-6)2+4,过点A（0，1），可求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0,求出C点坐标（6+4,0),设抛物线CND为y=-(x-k)2+2,代入C点坐标可求出k值(k＞6+4).再令y=0可求出C、D的坐标，进而求出BD.
【答案】1.C 2.C 3.36
4.解:(1)y=-(x-6)2+4
(2)令y=0,可求C点到守门员约13米.
(3)向前约跑17米.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么 还有哪些疑惑
2.在学生回答的基础上,教师点评.
3.建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
1.教材P31第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课主要是利用二次函数解决生活中的实际问题,其主要思路是建立适当的直角坐标系,使求出的二次函数模型更简捷,解决问题更方便,让学生学会运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.第2课时 二次函数的应用(2)
1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.
2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.
3.经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.
4.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.
【教学重点】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
【教学难点】
二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
一、情境导入，初步认识
问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3
①x= 时，y有最 值，其值为 ；
②当-1≤x≤4时，y最小值为 ，y最大值为 .
答案:①1,小，-4；②-4，5
【教学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.
二、思考探究，获取新知
教学点1 最大面积问题
阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.
1.若设窗框的宽为x m，则窗框的高为 m,x的取值范围是 .
2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？
3.如何由关系式求出最大面积？
答案：1. 02.S=-x2+4x,03.Smax=m2.
例1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解：设矩形纸较短边长为a,设DE=x，则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-时，y最小值=2×（a）2-2a×a+a2=a2
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.
【教学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.
教学点2 最大利润问题
例2 讲解教材P31例题
【教学说明】通过例题讲解使学生初步认识到要解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.
例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大
【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:
关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.
解:设降价x元，总利润为y元，由题意得
y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.
当x=0.5时，总利润最大为225元.
∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.
三、运用新知，深化理解
1.如图，点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C为AB的三点分点时,S最小
D.当C是AB的三等分点时,S最大
第1题图 第2题图
2.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为 时，横断面面积最大，最大面积是 .
3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.
①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A 2. cm, cm2
3.解：①45+ ×7.5=60（吨）.
②y=(x-100)(45+×7.5).
化简，得y=-x2+315x-24 000.
③y=-x2+315x-24 000=-(x-210)2+9 075.
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.
④我认为,小静说得不对.
理由:当月利润最大时,x为210元，每月销售额W=x(45+×7.5=- (x-160)2+19 200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.
【教学说明】1.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.2.要分清利润,销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么 还有哪些疑惑
2.在学生回答的基础上,教师点评:能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.
1.教材P31第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题,通过对此问题的探究解决,使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系,提高学习数学的积极性.

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