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第五单元 三角形
第21课时 线段与角、相交线与平行线
学习目标：
1.了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，
解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；
2.了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行
重点难点：
1.了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念。
2．会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行
教学设计：
二、典例精析
1.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
2.如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．2个
3.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则CD= ________cm．
4.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，．
（1）求∠EOF的大小；
（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题
5.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．
第22课时 三角形
学习目标：
1.进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间关系以及三角形的内角和.
2.掌握勾股定理及逆定理，并能运用它解决一些实际问题．
3.掌握等腰三角形有关性质，并能运用它解决一些实际问题．
4.能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质、定理及判定定理．
重点难点：
1.三角形分类，特殊三角形有关性质及其应用
2.三角形有关性质、判定的综合运用
教学设计：
一、知识梳理
1.三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的
顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
(4) 三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段。
2.三角形的边角关系
（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；
（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180°．
3.三角形的分类
（1）按边分：
（2）按角分：
4.特殊三角形
（1）直角三角形性质
①角的关系：∠A+∠B=90°；
②边的关系：
③边角关系：
（2）等腰三角形性质
①角的关系：∠A=∠B；②边的关系：AC=BC；③轴对称图形，有一条对称轴。
（3）等边三角形性质
①角的关系：∠A=∠B=∠C=60°；②边的关系：AC=BC=AB；③轴对称图形，有三条对称轴。
（4）三角形中位线：
5.特殊三角形的判定
6.两个重要定理：
（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）
（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）
二、典例精析
1.DE是△ABC的中位线， F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于（ ）
A．l：1 B．2：1 C．1：2 D．3：2
2.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．
3.正三角形的边长为a，则它的面积为_____.
4.两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________
5.已知D、E分别是ΔABC的边AB、BC的中点，F是BE的中点．若面ΔDEF的面积是10，则ΔADC的面积是多少？
　
第23课时 全等三角形
学习目标：
1.了解图形全等的概念，能利用全等图形解决有关问题。
2.掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题．
3.体会在证明过程中，所运用的归纳、转化等数学思想方法．
重点难点：
1.掌握两个三角形全等的条件
2.应用三角形的全等解决一些实及问题
教学设计：
一、知识梳理
1.全等三角形的判定方法简写成“角边角”或"ASA”
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，
（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.注意事项：
（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．
二、典例精析
1.如图，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（）
A．145° B．130° C、110° D．70°
2.两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3.点D、E、F分别为△ABC三边的中点，且 S△DEF=2，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
第24课时 等腰三角形
学习目标：
1.理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；
2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；
3.了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
重点难点：
1.掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质 ，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定
2.掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质
教学设计：
一、基础回顾
等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档解答题，如：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、例题选讲：
1．一个正三角形的边长为a，它的高是（ ）
（A）a （B）a （C） a （D）a
2．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（ ）
（A）26 （B）14 （C）13 （D）9
3.若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为
4.等腰三角形的周长为2＋，腰长为1，底角等于 度
5.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝BC, BD＝CE,M是AC的中点,求证：△DEM是等腰三角形
第25课时 相似三角形
学习目标：
1.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；
2.会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等
重点难点：
1.论证三角形相似，线段的倍分以及等积式，等比式，常以论证题型或计算题型出现；
2.寻找构成三角形相似的条件，在中考题中常以 选择题或填空题形式出现，如：下列所述的四组图形中，是相似三角形的个数是（ ）
①有一个角是45°的两个等腰三角形；②两个全等三角形；③有一个角是100°的两个等腰三角形；④两个等边三角形。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
教学设计：
一、基础回顾
1.比例基本性质及运用
（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．
注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．
（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．
（3）比例的性质，
①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
②合比性质：若，则
③等比性质：若，则
注意：灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由推出等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc的基本性质不变．
（4）黄金分割：在线段AB上有一点C，若AC：AB=BC：AC，则C点就是AB的黄金分割点．一条线段有两个黄金分割点。
2、 相似三角形的性质和判定
（1）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比．相似比为1的两个三角形是全等三角形。
（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．
二、典例精析
1.在比例尺为1：8000的地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m　
2.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是__________m.
3.创新实验学校设计的矩形花坛的平面图，这个花坛的长为10m，宽为6m．
⑴ 在比例尺为1：50的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少cm？
⑵ 在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？
⑶ 花坛的长和宽的比为多少？
⑷ 你发现这两个比有什么关系？
第26课时 相似三角形应用
学习目标：
1.了解图形的位似，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
2.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。
3.利用图形的相似解决一些实际问题．
重点难点：
1.掌握相似三角形的判定和性质的应用,能应用他们进行简单的证明和计算
2.利用图形的相似解决一些实际问题。
教学设计：
一、知识梳理
1.相似多边及位似图形
(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
(2) 相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3) 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．
2.相似的应用: 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对应边成比例来求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等
二、典例精析
1.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ）
A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm
2.如图是跷跷板的示意图．支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点 ，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA）是（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
3.一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度．
4.(1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得△A3B3C2；
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C( )、点C1( )、　点C2( )、
5.我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由
第27课时 中位线与面积
学习目标：
1.掌握平行线等分线段定理，三角形中位线定理，三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边；
2了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；
3.掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
重点难点：
1.考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，
2考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，
3.三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米2
4.考查形式几何变换能力，多以中档解答题形式出现
教学设计：
一、知识回顾
三角形的中位线
（1）概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
(强调三角形的中位线是线段,有三条.注意与三角形的中线的区别:
三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段)
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
练习
１.在△ABC中,DE是中位线,如果DE=5,那么BC= 10 （直接考察三角形中位线的性质）
２.如果三角形的周长为10cm,那么连结各边中点所得的三角形的周长为 5cm .
３.小明想要测量如图所示Ａ、Ｂ两点间的距离，但这两点被障碍物隔开不能直接测量，你能帮助他吗？（学生说出测量的方法，构造三角形，作出它的中位线；利用三角形中位线的性质.测量出MN的长度就知道A、B之间的距离.）若测得ＭＮ的长为１５cm，则Ａ、Ｂ之间的距离为 30cm .（结合实际，考察知识点）
4.如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O.AF与DE有怎样的关系？为什么？
（一要区分三角形的中位线和三角形的中线；二要分析题目，观察AF与DE是四边形ADFE的两条对角线，要说明它们的关系，就要先说明四边形ADFE是什么图形）
5、一个任意四边形ＡＢＣＤ，顺次连接四边形各边中点得到四边形ＥＦＧＨ，
则四边形ＥＦＧＨ是什么图形？
(如果将任意四边形替换成矩形或菱形，那么四边形EFGH是
什么图形？）强调格式！
解：连接AC,在△ABC中，
因为E、F分别是AB、BC的中点，
即EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC，EF=AC,
同理,得HG∥AC，HG=AC,
因为EF∥AC，HG∥AC,
所以HG∥EF,
因为HG∥EF，HG=EF,
所以四边形EFGH是平行四边形,
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
如果换成矩形或菱形，则根据它们特殊的性质对角线相等或互相垂直判定得到的四边形是菱形还是矩形.
结论：
任意一个四边形，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形.
如果这个四边形对角线互相垂直，那么顺次连结四边形各边的中点可以得到一个矩形.
如果这个四边形对角线相等，那么顺次连结四边形各边的中点可以得到一个菱形.
6、如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，猜想四边形EHFG的形状并说明理由.（对于前面一个知识的运用，强调格式）
第28课时 锐角三角函数
学习目标：
1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用.
2.掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；
3.掌握互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化简。
4. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
重点难点：
1.掌握特殊角三角函数值，并能运用进行计算和化简；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
2.互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化简.
教学设计：
一、知识梳理
1.直角三角形的边角关系
（1）边的关系（勾股定理）：+=；
（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=90°；
（3）边角关系：
锐角三角函数：
∠A的正弦=；
∠A的余弦= ,
∠A的正切=
注：三角函数值是一个比值．
2.特殊角的三角函数值．
3.三角函数的大小比较
(1) 同名三角函数的大小比较
①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．
②余弦是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(2) 异名三角函数的大小比较
①tanA＞SinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA
②若0°＜A＜45°，则cosA＞sinA；
若45°＜A＜90°，则cosA＜sinA
二、典例精析
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，∠BDC=60°，AD=l，求BD、DC的长．
　
2. 计算：
（1）sin248°＋ sin242°－tan44°×tan45°×tan 46°;
（2）cos 255°＋ cos235°
　
　
3.比较大小（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
　若α=45°，则sinα________cosα；
　若α＜45°，则sinα cosα；
　若α＞45°，则 sinα cosα.

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