资源简介

2.5.3切线长定理
1.掌握切线长定理及其运用.
2.通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析,归纳及解决问题的能力.
3.通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的积极性和主动性.
【教学重点】
切线长定理及运用.
【教学难点】
切线长定理的推导.
一、情境导入，初步认识
活动1:如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线,回答问题:
(1)可作几条切线
(2)作切线的依据是什么 学生回答,教师归纳展示作法:
(1)①连OP.
②以OP为直径作圆，交⊙O于点A、B.③作直线PA，PB.即直线PA、PB为所求作的圆的两条直线.
(2)由OP为直径,可得OA⊥PA,OB⊥PB,由切线判定定理知:PA、PB为⊙O的两条切线.
【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点,教师展示后应放手让学生自己再动手作一次,让学生体会运用知识的成功感.
二、思考探究，获取新知
1.切线长定理
(1)切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
(2)如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.
学生完成:由此得出切线长定理.
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
2.切线长定理的运用
例1如图,AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.
求证:CO∥BD.
【分析】连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD.只要证CO⊥AB即可.
证明:连接AB.∵CA,CB是⊙O的切线,点A,B为切点,
∴CA=CB,∠ACO=∠BCO,
∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,即BD⊥AB,∴CO∥BD.
例2如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,已知PA=6,求△PCD的周长.
【教学说明】图中有三个分别从点P、C、D出发的切线基本图形,因此可以用切线长定理实现线段的等量转化.
解:∵CA、CE与⊙O分别相切于点A、E,
∴CA=CE.
∵DE、DB与⊙O分别相切于点E、B,∴DE=DB.
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,
∴PA=PB.
∴△PCD的周长C△PCD=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB
=2PA=12.
四、运用新知，深化理解
1.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°,则∠BAC的度数是_____.
第1题图 第2题图
2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°,PA=8，那么弦AB的长是_____.
3.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交BC于C,图中互相垂直的直线共有____对.
第3题图 第4题图
4.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC=______.
5.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系 并说明理由.
【教学说明】学生自主完成,加深对切线长定理的理解.
【答案】1.20° 2.8 3.3 4.90°
5.解：（1）证明：连接OE，
∵AM，DE是⊙O的切线.OA，OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°,
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE,
∵∠ABE=∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE.
(2)OF=CD,理由：连接OC，
∵BC，CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCE,
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°,
即∠EDO+∠OCE=90°,
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，∴OF=CD.
四、师生互动，课堂小结
1.在本课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.师生共同回顾切线长的定义及切线的定理.
1.教材P75第5题，P76第11题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课开始让同学们过圆外一点画圆的切线,从而得出切线长的定义及切线长定理,培养学生动手,动脑的习惯,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题.第2课时 切线的性质
1.理解并掌握圆的切线的性质定理，能初步运用 它解决有关问题
2.通过对圆的切线性质定理及其应用的学习，培养学生分析、归纳问题的能力.
3.在学习过程中，独立思考，合作交流，增强学习的乐趣与自信心，在学习活动中获得成功的体验
【教学重点】
圆的切线的性质定理及应用
【教学难点】
圆的切线的性质定理，判定定理的综合应用.
一、情境导入，初步认识
活动1：用反证法证明：两条直线相交只有一个交点
学生完成，教师点拨：
【教学说明】活动1的目的是让同学们熟 悉反证法的证明方法和步骤，为后面切线性质 的证明创造条件.
强调：如果一个命题从正面直接证明比较 困难，则应釆用反证法证明往往比较容易，即 ‘‘正难则反”.
二、思考探究，获取新知
1.切线的性质
活动2：如图，直线L切⊙O于点A，求证l丄OA.
老师点拨：①直接证明，行不行（学生思考）
②若用反证法证明，第一步是什么？（要求学生完成过程)
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
【教学说明】关于切线性质的五点理解
1.切线与圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
教学引申：对于任意一条直线，如果具备下
列条件中的两个，就可以推出第三个结论：（1）垂直于切线；(2)经过切点；(3)经过圆心.
2.例题讲解
例1 教材P68例3
教师引导学生完成
【教学说明】本例展示了切线性质定理应
用的基本辅助线作法：“见切点，连接圆心和切点’’，即连接圆心和切点得到垂直或直角解决问题
例2 教材P69例4
【教学说明】该例是圆的切线性质的简单应用，教师可要求学生独立完成
例3 如图，AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线，AC交
⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C
(1)求证：OD丄AC；
(2)若AE=8，，求OD的长.
【解析】（1）∵ BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°
三、运用新知，深化理解
1..在梯形 ABCD中，AD∥BC,AB = CD=5， AD=3,BC=9，以D为圆心，4为半径画圆，下底50与⊙D的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
2.（山西中考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A.40°。 B.50° C.60° D.70°
3.如图，两个圆心图，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是
4.如图，⊙O的直径为20cm，弦 AD=16cm， OD丄AB，垂足为点D.则AB沿射线OD方向平移 cm时可与⊙O相切.
5.如图，已知△ABC，以BC为直径，以O为圆心的半圆 交AC于点F，点E为 的中点，连结BE，交AC于点M,AD为△ABC的角平分线，且AD丄BE， 垂足为点H.
(1)求证:AB是半圆O的切线；
(2)若AB= 3,BC=4，求BE的长.
【教学说明】学生自主完成上述习题，加深对新知的理解，并适当对练习中题目加以分析.
【答案】1. C 2.B 3.8＜AB≤10 4.4
∴
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.学生回答，教师小结：本节主要学习了切线性质定理的证明及应用，旨在掌握圆的切线的 性质定理及应用切线性质定理的基本思路及基本辅助线作法.
1.教材P69第1、2题.
2，完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是从学生用反证法证明圆的切线的性质定理入手，使学生掌握切线的性质定理.通过例 题让学生掌握圆的切线性质定理的应用，加深学生对圆的切线的判定及性质的理解，体验应用知识的成就感，2.5.4 三角形的内切圆
1.理解三角形内切圆的定义，会求三角形的内切圆的半径.
2.能用尺规作三角形的内切圆.
3.经历作一个三角形的内切圆的过程,培养学生的作图能力.
【教学重点】
三角形内切圆的定义及有关计算.
【教学难点】
作三角形的内切圆及有关计算.
一、情境导入，初步认识
如图,已知△ABC,请作出△ABC的三条角平分线.
问:所作的三条角平分线是否相交于一点,这一点到三角形三边的距离是否相等,为什么
归纳:三角形三条角平分线交点到三边距离相等.
二、思考探究，获取新知
1.三角形内切圆的作法
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等.
学生思考下列问题:
圆心如何确定
学生回答:
【教学说明】分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN.设它们相交于点I,那么点I到三边的距离相等.以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切.
2.三角形内切圆的相关概念
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
【教学说明】要将三角形的外心与内心区别开来,三角形的外心是三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上,而三角形的内心只能在三角形内部.
3.例题讲解
例1如图,⊙O是△ABC的内切圆,已知∠A=70°,求∠BOC的度数.
解:∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.
∵∠A=70°.∴∠ABC+∠ACB=110°.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)
=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°-×110°=125°.
例2如图所示，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为______.
【解析】作OD⊥BC,OE⊥AB,连结OB,OC.由点O为内切圆的圆心,得∠ABO=∠CBO=∠BCO=30°,所以OB=OC，点D为BC的中点，即BD=1.设OD=r,则OB=2r.根据勾股定理，得12+r2=(2r)2,解得r= (舍去负值）.
答案:
【教学说明】本题还可以利用Rt△BOD中的条件，用三角函数或解直角三角形来解决比较容易.
四、运用新知，深化理解
1.下面说法正确的是()
A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆
B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆
C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆
D.任意一个三角形都有无数个内切圆
2.如图,△ABC的内切圆的半径为2cm,三边的切点分另为D、E、F,△ABC的周长为10cm，那么S△ABC=______cm2.
第2题图 第3题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC相切于D、E、F，半径r=2，则△ABC的周长为______.
4.如图，△ABC的内切圆分别与BC、AC、AB相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求AF、BD、CE的长.
第4题图 第5题图
5.如图,点E为△ABC的内心,AE交△ABC的外接圆于点D,求证:BD=ED=CD.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解.
【答案】1.C 2.10 3.30
4.解:AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm，
提示：设AF=AE=x,BF=BD=y,CE=CD=z,则有
解之即可.
5.解:连接BE,E为△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴,
∴BD=CD.
又∠ABE=∠CBE,∠BED=∠BAD+∠ABE,
而∠EBD=∠CBE+∠CBD,
又∠CBD=∠CAD,
∴∠BED=∠EBD,
∴ED=BD,∴BD=ED=CD.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问，请与同学们交流一下.
2.本节课先学习了三角形内切圆的作法,接着讲述了三角形内切圆的相关概念,然后是三角形内心的有关计算.
1.教材P75第6、7题，P76第8题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课通过学生动手画三角形的内切圆,解决三角形的内切圆有关的题目,常和切线长定理相联系,学习时要体会到这一点.2.5.2 圆的切线
第1课时 切线的判定
1.理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题.
2.通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力.
3.通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.
【教学重点】
圆的切线的判定定理.
【教学难点】
圆的切线的判定定理的应用.
一、情境导入，初步认识
同学们,一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶.如果把车轮看成圆,把路看成一条直线,这个情形相当于直线和圆相切的情况.再比如,你在下雨天转动湿的雨伞,你会发现水珠沿直线飞出,如果把雨伞看成一个圆,则水珠飞出的直线也是圆的切线,那么如何判定一条直线是圆的切线呢
二、思考探究，获取新知
1.切线的判定
(1)提问:如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，①随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)探究：讨论直径与经过直径端点的直线所形成的∠α来得到切线的判定.
可通过多媒体演示∠α的大小与圆心O到直线的距离的大小关系，让学生用自己的语言描述直线与⊙O相切的条件.
(3)总结：教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件：①经过半径外端，②垂直于这条半径，这两个条件缺一不可.
2.切线的画法：教师引导学生一起画圆的切线，完成教材P67做一做.
【教学说明】让每一位学生动手画圆的切线,感知一条直线是圆的切线须满足的两个条件,加深对切线判定的理解.
例1教材P67例2
【教学说明】该例展示了判定圆的切线的一种方法，即已知直线和圆有公共点时，要证明该直线是圆的切线，常用证明方法是：连接圆心和该点，证明直线垂直于所连的半径.
例2如图，已知点O是∠APB平分线上一点，ON⊥AP于N，以ON为半径作⊙O.求证：BP是⊙O的切线.
【分析】该例与上例不同,上例已知BC经过圆上一点D,所以思路是连接半径证垂直.该例BP与⊙O是否有公共点还不能确定,而要证BP是⊙O的切线,需用证明切线的另一种方法,即“作垂直，证明圆心到直线的距离并等于证半径”.
证明:作OM⊥BP于M.
∵OP平分∠APB,且ON⊥AP,OM⊥BP,
∴OM=ON,又ON是⊙O的半径
∴OM也是⊙O的半径
∴BP是⊙O的切线.
【教学说明】证明直线是圆的切线常有三种方法.
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;
(3)经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.
三、运用新知，深化理解
1.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
2.菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
3.如图，△ABC中，已知AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.求证:DE是⊙O的切线.
4.如图,AO⊥BC于O,⊙O与AB相切于点D,交BC于E、F,且BE=CF,试说明⊙O与AC也相切.
【教学说明】教师当堂引导学生完成练习,帮助学生掌握切线的判定方法,特别是把握不同条件时用不同的思路证明的理解与掌握.
【答案】1.B 2.B
3.证明:连接OD,则OD=OB,∴∠B=∠BDO.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BDO=∠C,
∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC.
∵DE ⊥AC,∴∠DEC=90°,∴ODE=90°,
即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线.
4.解:过点O作OG⊥AC,垂足为G,连接OD.
∵BE=CF,OE=OF,∴BO=CO.
又∵OA⊥BC,∴AO平分∠BAC.
∵⊙O与AB切于点D,∴OD⊥AB,
∴OG=OD.∴G在⊙O上,
∴⊙O与AC也相切.
四、师生互动，课堂小结
1.该堂课你学到了什么,还有哪些疑惑
2.学生回答的基础上教师强调:本堂课主要学习了切线的判定定理及切线的画法,通过例题讲述了证明圆的切线的不同证明方法.
1.教材P75第2~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课先探究了圆的切线的判定定理,接着讲述了切线的画法.通过画切线使学生进一步体会到直线是圆的切线须满足的两个条件,然后通过例题讲解了切线的证明方法,通过“理论感性理论”的认知，体验掌握知识的方法和乐趣.2.5直线与圆的位置关系
2.5.1直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆相交、相切、相离的概念.
2.会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
3.经历点、直线与圆的位置关系的探索过程,让我们了解位置关系与数量的相互转化思想,发展抽象思维能力.
4.教学过程中让我们从不同的角度认识问题,采用不同的方法与知识解决问题,让我们在解决问题的过程中,学会自主探究与合作、讨论、交流,感受问题解法的多样性,思维的灵活性与合理性.
【教学重点】
判断直线与圆的位置关系.
【教学难点】
理解圆心到直线的距离.
一、情境导入，初步认识
活动1学生口答，点与圆的位置关系三个对应等价是什么？
学生回答或展示：
【教学说明】设⊙O的半径为r，点P到圆心距离OP=d,则有：
点P在⊙O外d＞r，
点P在⊙O上d=r，
点P在⊙O内d＜r.
二、思考探究，获取新知
探究1直线与圆的位置关系
活动2前面讲了点和圆的位置关系，如果把这个点改为直线l呢？它是否和圆还有这三种关系呢？
学生操作：固定一个圆，按三角尺的边缘运动.如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？
【教学说明】如图所示：如上图1所示，直线l和圆有两个公共点，叫直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线.
如上图2所示，直线l和圆只有一个公共点,叫直线与圆相切,这条直线叫圆的切线,这个点叫做切点.
如上图3所示，直线l和圆没有公共点,叫这条直线与圆相离.
注:以上是从直线与圆的公共点的个数来说明直线和圆的位置关系的,还有其它的方法来说明直线与圆的位置关系吗 看探究二.
探究2直线与圆的位置关系的判定和性质
活动3设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，根据d与r的大小关系，你能确定直线与圆的位置关系吗？同学们分组讨论下：
学生代表回答：
【教学说明】直线与⊙O相交d＜r
直线与⊙O相切d=r
直线与⊙O相离d＞r
注：1.这是从圆心到直线的距离大小来说明直线与圆的三种位置关系的.
2.以上两种不同的角度来说明直线与圆的位置关系中,在今后的证明中以第二种居多.
三、典例精析，掌握新知
例1见教材P65例1
【分析】过O作OD⊥CA于D点，在Rt△COD中，∠C=30°.
∴OD=OC=3.
∴圆心到直线CA的距离d=3cm,再分别对（1）（2）（3）中的r与d进行比较,即可判定⊙O与CA的关系.
例2如图,Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围？
【分析】此题中以r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，此时要注意相切和相交两种情形，由于相交有两个交点但受线段AB的限制，也有可能只有一个交点，提示后让学生自主解答.
答案:r=2.4或3＜r≤4.
四、运用新知，深化理解
1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2.设⊙O的半径为3,点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O只有一个公共点，则d应满足的条件是（）
A.d=3 B.d≤3 C.d＜3 D.d＞3
3.已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，则直线l与⊙O的位置关系是_____ .
4.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心，r为半径作圆.若直线AB与⊙C:(1)相交，则r____;(2)相切，则r____;(3)相离，则____＜r＜_____.
5.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB所在直线与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与AB所在直线分别有怎样的位置关系？
【教学说明】要判断直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离d，再与圆的半径进行比较，要熟练掌握三个对应等式.
【答案】1.A 2.A 3.相交或相切 4.＞ = 0
5.解：（1）过点C作AB的垂线段CD.∵AC=4,AB=8,∠C=90°,∴BC=4,又CD·AB=AC·BC，∴CD=2，∴当半径长为2cm时，AB与⊙C相切.
(2)d=2cm,当r=2cm时d＞r,⊙C与AB相离；当r=4cm时，d＜r,⊙C与AB相交.
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上，教师强调：
①直线和圆相交、割线、直线和圆相切、切点、直线和圆相离等概念.
②设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交d＜r
直线l与⊙O相切d=r
直线l与⊙O相离d＞r
1.教材P65第1题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课由前面学过的点和圆的三种位置关系引入,让学生动手操作直尺和固定的圆之间有何关系,用类比的思路导入新课、学生易接受且容易操作和容易得到结论.最后用所得到的结论去解决一些实际问题.培养学生动手、动脑和解决问题的能力,激发他们求知的欲望.

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