资源简介

《1.2.3全称量词和存在量词》教案
【教学目标】
1．使学生理解生活和数学中经常使用的两类量词（即全称量词和存在量词）的含义，会判断全称命题和特称命题的真假．
2．使学生能够根据含有一个量词的命题和它的否定在形式上的变化规律，正确对含有一个量词的命题进行否定，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】 通过生活和数学中丰富的实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【教学难点】 全称命题和特称命题的真假的判断，以及写出含有一个量词的命题的否定．
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】 计算机、投影仪．
【核心素养】 数学抽象，逻辑推理．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
课前布置任务：
下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4），（1）与（5），（2）与（6）之间有什么关系
（1）；
（2）是整数；
（3）对每一个实数, ；
（4）对任意一个，是整数；
（5）有一个实数，；
（6）至少有一个，是整数．
课上通过交流，引导学生回顾命题的概念，使学生思考发现（1）（2）含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，因此不是命题．
（3）（4）分别是在（1）（2）的基础上加了一个短语“对每一个”“对任意一个”对变量进行限制，是命题．
（5）（6）分别是在（1）（2）的基础上加了一个短语“有一个”“至少有一个”对变量进行限制，是命题．
〖设计意图〗通过对比，激发学生对“每一个”、“任意” “有一个”“至少有一个”这些短语的兴趣，由此引出量词的概念、符号以及全称命题与特称命题的概念．
二、归纳探索，形成概念
师生共同归纳探索，得出全称命题的概念，然后学生类比得出特称命题的概念．
板书全称命题的形式和特称命题的形式
“任意”“所有” “每一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫作全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫作全称命题．
通常将含有变量的语句用，，，……表示，变量的取值范围用集合M表示．那么全称命题“对M中任意一个元素，有成立”可用符号简记为M, ，读作“对任意属于M，有成立”．
“存在某个”“至少有一个”这种表示整体的一部分的词叫作存在量词．用符号“”表示．含有存在量词的命题叫作特称命题．
特称命题：“存在M中某个元素，使成立”可以用符号简记为
，读作“存在一个属于M,使成立”．
问题：你能举出生活中运用全称量词和存在量词的例子吗？
如：市场上卖鸡蛋的老太太说：“我篮子里的每一个鸡蛋都是好的．”
老太太表述了一个含有全称量词的命题．“每一个”是全称量词，全称量词“每一个”的作用范围是“我篮子里的鸡蛋”，不是市场上的所有鸡蛋．
鼓励学生举例，列举生活中含有全称量词和存在量词的例子，引导学生发现判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就根据命题所涉及的意义去判断．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等．
1．完善全称命题和特称命题的概念、感受数学符号表示
问题1：把（3）---（6）四个命题中量词用相应的符号取代：
预案：（3）, ；
（4），是整数．
（5），；
（6），是整数．
引导学生将全称量词和存在量词分别用符号“”和“”表示出来．
问题2：判断（3）---（6）四个命题的真假：
鼓励学生合作，讨论，发表判断方法．
（3）由于-2是实数，但-2不大于0，所以（3）是假命题．
（4）当时，是实数，但不是整数，所以（4）是假命题．
（5）2是整数且大于0，因而存在一个，，所以（5）是真命题．
（6）当时，是整数，是整数，所以（6）是真命题．
引导学生总结归纳判断全称命题和特称命题真假的一般方法：
①要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个，使得不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．
②要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个，使得成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
〖设计意图〗实例感知，总结归纳判断全称命题和特称命题真假的方法，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．
2．实例感知、探究含量词命题的否定
问题： 如何对含有量词的命题进行否定呢？先看下面两个例子
（1）这个篮子的鸡蛋都是好的；
（2）存在实数x，使得．
预案：命题（1）的否定为“这个篮子里的鸡蛋并非都是好的”，换言之，“这个篮子里有鸡蛋是坏的”．
命题(2)的否定为“不存在实数x，使得”，即 “对所有的实数，”．
引导学生发现，命题（1）否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”．命题（2）否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”．
问题：你能用准确的数学符号语言表述出含有量词的命题的否定吗
师生共同探究，得出全称命题的否定，然后学生类比得出特称命题的否定．
(1)板书全称命题的否定形式和特称命题的否定形式
(2)巩固命题的否定
一般地，命题“”的否定是“”；命题“”的否定是“”．即
〖设计意图〗实例感知，归纳含有量词的命题的否定的形式，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．
三、学以致用，深化概念，探究规律，适当延展
例1：指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代：
（1）对任意实数,
对某个大于10的正整数n,
预案：（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它作用的范围是正实数集合．该命题可以写成“”．
（2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可以写成“”．
鼓励同学们尝试其他形式表述，理解量词的意义的同时引导学生使用数学符号语言来表达全称命题和特称命题．
〖设计意图〗实例归纳、用符号语言表达全称命题和特称命题，既准确，又简洁，让学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，引导学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容．
例2.写出下列含量词命题的否定：
(1)p：所有二次函数的图象都是轴对称图形；
(2)q：R，-2x2+4x-3>0；
(3)r：三角形的垂心都在其外部；
(4)s：有一个小于210的正整数至少有4个质因数.
预案：(1)命题中有量词“所有”，它的否定就是不是所有，也就是“存在”，所以命题的否定就是存在一个二次函数的图象不是轴对称图形.
(2)命题中有量词“存在”，它的否定就是不存在，所以命题的否定就是
(3)命题中有量词“都在”，它的否定就是“存在”，存在一个三角形的垂心在其内部或边上.
(4)命题中有量词“有一个、至少”，它的否定就是“任意、至多”，所以命题的否定就是：任意小于210的正整数至多有3个质因数.
学生交流，讨论，引导学生总结写出特称命题与全称命题的否定的方法．
特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质非p，特称命题的否定是全称命题．
〖设计意图〗实例感知特称命题的形式，能够写出特称命题的否定，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．
练：1.判断下列全称量词命题的真假：
（1）
（2）
预案：（1）．因此是真命题．
（2）当x=0时，命题不成立．因此是假命题．
2.判断下列存在量词命题的真假：
（1）
（2）
（3）设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点P，使得PA=PB=PC．
预案：（1）当时，命题成立．因此命题是真命题．
（2）因为只有两个实数根，所以当
．所以是假命题．
（3）A，B，C三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是三角形ABC外接圆圆心，则PA=PB=PC．因此是真命题．
〖设计意图〗灵活运用判断全称命题和特称命题真假的方法．培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．
3.对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
（1）p：任意正实数都有算术平方根；
（2）q：，．
预案：（1）：存在正实数没有算术平方根，因为所有正实数都有算术平方根，所以这是假命题.
（2）：，．因为，，从而恒成立，所以这是真命题.
学生交流，讨论，引导学生
全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质非p．
〖设计意图〗实例感知含有量词的命题的否定，归纳全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养．
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1) 概念探究过程：具体到一般、感性到理性．
(2) 方法和步骤：判断命题是全称命题还是特称命题；写含有量词的命题的否定．
(3) 数学思想方法和思维方法：等价转化，类比等．
2．作业
课后探究：
（1）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
①，；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③，；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
（2）①已知，都有恒成立，则的取值范围是 ；
②已知，使得成立，则的取值范围是 ；

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