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第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
▍教学目标
理解子集、全集、补集的概念．
能用符号和Venn图表达集合间的关系．
掌握列举有限集的所有子集的方法．
数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解． 逻辑推理：集合的子集、补集的辨析与应用． 数字建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义． 直观想象：利用Venn图表示集合相等以及集合间的关系． 数学运算：会计算集合的子集、真子集的个数．
▍情境设置
【问题1】 同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律．我们共同观察下面几组集合： ，； ，； ，； ，．
[学生活动] 通过观察上述集合间具有如下特殊性： 集合的元素1，2，3同时是集合的元素； 集合中所有大于3的元素，也是集合的元素； 集合中所有正方形都是集合的元素； 集合中元素、都是集合中的元素．
【问题2】 事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系．请同学们由下面的例子回答问题： ，， ， 那么、、三集合关系如何
[学生活动] 集合就是集合中除去集合之后余下来的集合．即为如图阴影部分．
▍概念的探究与建构
[教师引导] 由【问题1】特殊性可得其一般性，即集合都是集合的一部分．从而有下述结论．
形成知识 如果集合中的任何一个元素都是集合的元素（若，则），那么集合称为集合的子集，记为或，读作“集合包含于集合”或“集合包含集合”．
[学生活动] 请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义．
[教师引导] 对于空集我们规定，即是任何集合子集． 如果，并且，则集合是集合的真子集． 这应理解为：若，且存在，但，称是的真子集． 是的真子集，记作（或）．真子集关系也具有传递性：若，，则． 那么是任何非空集合的真子集．
【问题3】 和能否同时成立？ 集合与之间是否有子集关系？
[学生活动] 可以同时成立，此时； ．
形成知识 子集： 真子集定义中的的含义是“中至少有一个元素不在中”； 性质： 任何一个集合是它本身的子集，即； 空集是任何集合的子集，即； 空集是任何非空集合的真子集，即； 注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别： 元素与集合的关系及符号表示：属于，不属于； 集合与集合的关系及符号表示：包含于，包含； 注意关于子集的一个规定：规定空集是任何集合的子集．理解规定的合理性． 补集： 设一般地，由中不属于的元素组成的集合称为的子集的补集，记为（读作“在中的补集”），即； 图中阴影部分即表示在中补集． 全集：如果一个集合包含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作． 在中的补集是建立在的基础上的； ，．
▍知识的运用与升华
【例题1】 指出下列集合之间的关系： ，； ，； ，； ，； ，．
[解析] 用列举法表示集合，故． 集合的代表元素是数，集合的代表元素是实数对，故与之间无包含关系． ∵中，∴，与都表示偶数集，∴． 等边三角形是三边相等的三角形，故． 集合，用数轴表示集合，如图所示，由图可发现．
方法归纳 判断集合、之间是否有包含关系的步骤： 明确集合、中的元素，再分析集合、中的元素间的关系； 当集合中的元素都属于集合时，有； 当集合中的元素都属于集合且中至少有一个元素不属于集合时，； 当集合中的元素都属于集合，并且集合中的元素都属于集合时，有．
【例题2】 写出集合的所有子集．
[解析] ，，，，，，，，，，，，，，，．
[反思] 若一个集合有（）个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
形成知识 若一个集合有（）个元素，则它有个子集，个真子集．如，有即一个子集，即0个真子集．
【例题3】 在下列各组集合中，为全集，为的子集，求． 已知全集，； ，．
[解析] ∵至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形，即平行四边形和梯形． ∴． 把集合在数轴上表示出来（如图）， ∵，∴．
方法归纳 由集合间关系求参数的解题策略： 空集作为特殊情况，不能忽略； 数形结合方法更加直观易懂，尽量使用； 端点值能否取到，应注意分析．
▍课堂反馈
满足的集合有________个．
[答案] 7
[解析] 由题意可以确定集合必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合的元素个数分类如下： 含有3个元素：，，； 含有4个元素：，，； 含有5个元素：． 故满足题意的集合共有7个．
已知全集，集合，则________．
[答案]
[解析] 把集合在数轴上画出来（如图）， 由数轴知．
已知，且，求实数取值范围．
[解析] 在数轴上表示出，如图，故若要，则需，故实数的取值范围为．
▍课堂总结
【问题4】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[教师引导] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 子集、真子集、补集： 定义符号表示图形表示子集如果集合的任意一个元素都是集合的元素（若，则），那么集合称为集合的子集或真子集如果，并且，那么集合称为集合的真子集或 补集设，由中不属于的所有元素组成的集合称为的子集的补集
若集合有（）个元素，则它有个子集，让学生体会推理对发现新结论的作用．树立数形结合的思想，利用Venn图、数轴来解决有关补集问题，体会直观图示对理解抽象概念的作用．体会让问题直观化、形象化的解决之道． 思想与方法层面：数形结合、特殊到一般、类比……

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