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第1章 集合
1.3 交集、并集
▍教学目标
理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集．
能使用Venn图和数轴表达集合间的“交”和“并”运算，体会图形对抽象概念的作用．
掌握区间的表示方法．
数学抽象：集合交集、并集的含义． 直观想象：用Venn图、数轴表示集合的关系及运算． 数学运算：集合的运算．
▍情境设置
[教师引导] 集合在集合中的补集是由给定的两个集合，得到的一个新集合．这种由两个给定集合得到一个新集合的过程称为集合的运算．其实，由两个集合（或几个集合）得到一个新集合的方式有很多，那么下面两个情境所蕴含的集合运算分别是什么？
【问题1】 已知6的正约数构成的集合为，10的正约数构成的集合为，那么6与10的正公约数构成的集合为　　　　．
[学生活动] ．
【问题2】 有一个小水果摊，第一次进货的水果有香蕉、草莓、猕猴桃、芒果、苹果．卖完后第二次进货的水果有猕猴桃、葡萄、水蜜桃、香蕉．大家想一想：哪些水果的销路比较好？（猕猴桃、香蕉）该水果店一共卖过多少种水果？
[学生活动] 7种．
[学生活动] 用Venn图分别表示下列各组中的3个集合： ① ，，； ② {香蕉，草莓，猕猴桃，芒果，苹果}，{猕猴桃，葡萄，水蜜桃，香蕉}，{香蕉，草莓，猕猴桃，芒果，苹果，葡萄，水蜜桃}．
▍概念的探究与建构
【问题3】 问题1中，，，之间具有怎样的关系？
[学生活动] 结合Venn图，集合中的每一个元素既在集合中，又在集合中．
【问题4】 问题2中，，，之间具有怎样的关系？
[学生活动] 结合Venn图，集合中的每一个元素在集合中或在集合中．
[教师引导] 在上述两个问题中，都涉及三个集合．由三个集合中元素的关系易知，新生的第三个集合是由集合与集合中共有的元素所组成的，即集合中的元素是集合，中的公共元素，我们就把集合叫作集合与的交集．将两个集合中的元素合并，重复的元素只记一次，就得到了集合中的元素，我们就把集合叫作集合与的并集．这种集合间的运算称为交运算和并运算，这是今天我们要学习的两个重要概念．
【问题5】 如何用文字语言、符号语言、图形语言分别表示上述3个集合的关系？
[教师引导] 请大家从元素与集合的关系试叙述交集的概念．
形成知识 交集： 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫作与的交集，记作，读作“交”； 符号语言为：； 图形语言为： （图1）
【问题6】 在上述条件下，由图1我们观察可以得到集合和集合有什么关系呢？
[学生活动] ，，．
【思考1】 可能成立吗？可能成立吗？
[学生活动] 成立的条件是，对于显然可能成立．
[教师引导] 让学生结合Venn图在理解的基础上记住．
[学生活动] 学生表达，师生共同完善并集的概念．
形成知识 并集： 由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合，叫作与的并集，记作，读作“并”； 符号语言为：； 图形语言为： （图2）
【问题8】 在上述条件下，由图2我们观察可以得到集合和集合有什么关系呢？
[学生活动] ，，．
【思考2】 可能成立吗？是什么集合？
[学生活动] 让学生结合Venn图在理解的基础上记住：成立的条件是，对于一个集合和它补集进行“并”运算结果是全集．
【问题9】 集合与集合有什么关系？能得出一般结论吗？
[学生活动] ．
[教师引导] 口答：已知集合，，求和．（教材P13例1）
[学生活动] ； ．
【问题10】 同学们再来看看这个问题：设，，求和．（教材P13例3）
[教师引导] 引导学生利用数轴来求两个集合的交集和并集．
[学生活动] ；.
[教师引导] 为了方便叙述，在以后的学习中，我们常常会用到“区间”的概念．
[学生活动] 通过具体问题的解决，进一步加深对概念定义的理解．
形成知识 区间的表示法： 设，是两个实数，且，我们规定： ；；；；；；． 其中，分别叫作闭区间、开区间；，叫作半开半闭区间；，叫作相应区间的端点．
▍知识的运用与升华
【例题1】 已知集合，，求和．
[解析] ，．
[反思] 求涉及不等式的集合运算时，常借助数轴．求交集是找数轴上重叠的区域，求并集是找数轴上包含的所有区域．
【变式】 若集合，，求；
[解析] 因为，， 所以；
【例题2】 学校举办了排球赛，高一（1）班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，高一（1）班共有多少名同学没有参加过比赛？（教材P13例2）
[提示] 方法可能有两种：一是用Venn图求解，二是列方程组求解．对比两种方法，可知用Venn图求解较方便．
[解析] 画出Venn图（如图）， 可知没有参加过比赛的同学有（名）， 即高一（1）班共有19名同学没有参加过比赛．
[反思] 利用Venn图是解决集合运算的常用方法．
方法归纳 对并集、交集概念的理解： 对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“，或”这一条件，包括下列三种情况：但xB；但xA；且．因此，是由所有至少属于、两者之一的元素组成的集合． 中的元素是“所有”属于集合且属于集合的元素，而不是部分，特别地，当集合和集合没有公共元素时，不能说与没有交集，而是． 集合的交、并运算中的注意事项： 对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． 对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
▍课堂反馈
已知集合，，则等于（　　）
A． B． C． D．
[答案] B
已知集合，，则等于（　　）
A． B． C． D．
[答案] C
已知集合，，则等于（　　）
A． B． C． D．
[答案] A
已知，，则集合等于（　　）
A． B． C． D．
[答案] A
已知集合，，，则等于（　　）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
[答案] B
▍课堂总结
【问题11】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[教师引导] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结： 集合的交集、并集的运算方法及性质的应用； 区间的概念．
知识框图 知识与技能层面： ，； 区间的表示法． 思想与方法层面：数形结合、类比……

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